国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第24届)

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第24届）



1. 试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f，使其满足 f(x(f(y)) = yf(x)对所有
x， y成立，并且当 x 趋向于无穷大时 f(x) 趋向于0.
2. 圆C
1
、C
2
的圆心分别是O
1
、O
2
，
它们相交于两个不同的点，设A是其中一个交点．这
两个圆的一条公切线切C
1< br>、 C
2
分别于点 P
1
、
P
2
，另外一条公切线分别切C
1
、 C
2
于点
Q
1
、
Q
2
，再设M
1
、M
2
分别是P
1
Q
1
和P
2
Q
2
的中点，求证：角O
1
AO
2
= 角 M
1
AM
2
．
3. a ， b， c是正整数，并且它们中的任何两个都没有大于1的公约数．求证 2abc - ab
- bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整数，其中x， y， z是非负整数．
4. 等边三角形ABC，设集合E是该三角形的所有边界点（即边AB，BC，CA），任意
将E分拆成两个不相交的子集合（它们的并集是E），试证明这两个集合中的至少一个
包含有三点构成 一直角三角形．
5. 问是否可能存在小于或等于10
5
的1983个不同的正 整数，任何三个都不构成一等茶
数列．
6. 设a，b，c是一个三角形的三边长，求证
a
2
b(a - b) + b
2
c(b - c) + c
2
a(c - a) ≥0.
并判断何时等号成立．