高中数学d是什么意思啊-北京市高中数学课本
江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(174)(无
答案)
第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)
1. 如图1,已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的边长为<
br>4
,
P、Q、R
分别是棱
AB、AD、AA
1
上的点,
AP?1,AQ?2,AR?3
.则四面体
C
1
PQR<
br>的体积为.
2. 从
1,2,L100
中取出三个不同的数,使得其不能组成
一个三角形的三边长的不同取法有
种.
3. 已知集合,
A?xx?a
0<
br>?a
1
?7?a
2
?7?a
3
?7
?
23
?
其中,
a?
?
1,2,L,6
?
(i?0
,1,2,3)
.
i
若正整数
M、n?A
,且
m?n?20
14(m?n)
则符合条件的正整数数对
(m,n)
有个.
4. 如图2,
设
P、Q
分别是两个同心圆(半径分别为6、4)上的动点.当
P、Q
分别在
圆上运
动时,线段
PQ
的中点
M
所形成的区域面积为.
5.
函数
f(x,y)?x?y?2xy?2xy?3x?3y?2x?2y?2
的最小值为. <
br>442222
?
9?x
y
?
9?x?y
z
?
?
6. 计算:
?
C
?
?
C
9?x
?
?
C
9?x?y
?
?
?
.
x?1<
br>?
z?0
?
??
y?0
9
x
9
7.
在三棱锥中
O?ABC
,已知
OA?OB?OC?3,AC?22,AB?2
,且
OB?AC
.
以
O
为球心、1为半径作一个球.则三棱锥
O?ABC
不在球内部的部分体积为.
8. 抛一颗色子三次,所得点数分别为
m
、n、p
.则函数
y?
为增函数的概率为.
2
3
n
2
mx?x?px?1
上
?
1,??
?32
二、解答题(共56分)
x
2
y
2
??1
.试求实数数对
(a,b)
,满足对任意斜率为
a
的直线<
br>l
a
与椭圆9.(16分)已知椭圆
364
的交点
A、B及直线
x?b
与椭圆上半部分的交点
P
可组成
?PAB
,均有
?PAB
的内心在直线
x?b
上.
10.(20分)黑板上写有
1,2,L,2014
这
2014<
br>个正整数.现进行如下操作:第一步划去最
前面的两个数
1
并在
201
4
后面写上这两数的和3;第二步划去最前面的三个数
3、、2
,
4、5,
并在最后面写上这三数的和12;如此继续下去.当
t
第步时,黑板上的数不够
t?1
个,停
止操作.求在黑板上出现过的不同数的个数及这些不同数的和(若一个数
多次出现,只计
算一次).
11.(20分)擎
天柱为了防止魔方落入霸天虎手中,打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方
法是:每次切割可将魔方分
成两个体积之比为
2:7
的六面体,每个六面体恰包含魔方的一个
面,且任两次操作得
到的截面在魔方中均有交点.而魔方的属性决定每次切割只能暂时将它割
开,而无法分离,且只要它有<
br>1
的小正方体区域始终未被割到,就无法被销毁.证明:无论擎
8
天柱切割多少
次,均无法销毁魔方.
加
试
一、(40分)如图3,
AB
为
eO
的一条切线,满足
BD?AO
,
AB
与
eO
的半径
OC
交于
点
E
,
K
为线段
AE
上一点,作
AL∥OK
与
CK
交于点
L
.证明:当且仅当
CK
与
eO<
br>相切
时,
CK?KL
.
二、(40分)已知
x
i
?
?
2?1,2?1(i?1,2,L,2013)
,令
?
S?x
1
x
2
?x
2
x
3
?L?x
20
12
x
2013
.求
S
能取到的不同的整数值的个数.
三、(50分)已知正整数
n
满足
n?2014,(n,2014)?1
.
令
A
n
?
?
k?N1?k?n,(n,k)?1
?
,B
n
?
?
k?A
n
k?1?A
n
?,C
n
?
?
k?A
n
k?1?A
n
?
.对
任意的
k?A
n
,记
S
k
?
?
元素的个数.证明:
(1)
?kA
n
?
?
,其
中,
?
x
?
表示不超过实数
x
的最大整数,
A表示集合中
?
n
?
k?B
n
?
(S
k
?S
n?k
)??
?
(S
k
?S
n?k<
br>)
;
k?C
n
(2)
k?C
n
?
(S
k
?S
n?k
)?A
n
B
n
(mod
n)
.
四、(50分)某国
建了一座时间机器,形似一条圆形地铁轨道,其上均匀设置了2020个站台
(编号依次为
1,
2,L,2014
)分别对应一个年份,起始站及终点站均为第1站(对应2020年).
为节
约成本,机器每次运行一圈,只在其中一半的站台停靠.出于技术原因,每次至多行驶三
站必须停靠一次
,且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点.试求不同的停靠方式的种
数.