高中数学必修五角度问题-高中数学竞赛试题汇总及答案
第5届国际物理奥林匹克竞赛试题
【题1】质量为
m
1
和m
2
的物体挂在绳子的两端,绳子跨过双斜面顶部的滑轮,如图5.1。
斜面质量
为
m
,与水平面的夹角为
??
1
和
??
2
。整个系
统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。
m
1
m
2
斜面保持静止的条件是什么?摩擦可以忽略。
m
?
?
?
?
【题2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气
,在
圆筒内有空气。第一步,水银柱高度
h
1
=70cm,空气压强
p
k1
=1.314atm=133.4kPa=100cmHg,
0
温度为
0C=273K。第二步,向上提升活塞,直至水银柱高度降为
h
2
=40cm,这时
空气压强
为
p
k2
=0.79atm=80kPa=60cmHg。第三步,
保持体积不变,提高温度到
T
3
,此时水银柱的
高度为
h
3
=50cm。最后,第四步,温度为
T
4
,水银柱的高度为
h
4
=45cm,空气压强没有改变。
求出最后一步中氢气的温度和压强。
L
70cm
40cm
50cm
45cm
【题3】四个等值电阻
R
、四个
C
=1?F的电容器以<
br>及四个电池分别在立方体的各边连接起来,如图5.3所
示。各电池的电压为
U
1
=4V,
U
2
=8V,
U
3
=12V,
U
4
=16V,
它们的内电阻均可忽略。(
a
)求每个电容器的电压
和电
量,(
b
)若
H
点与
B
点短路,求电容器C
2
上的电量。
C
_
U
1
+
R
G
U
C
1
B
_
2
+
F
R
C
3
C
2
R
C
_
U
3
4
+
D
H
U
R
A
_
4
+
E
C
1
F
C
2
U
2
_
+
【题4】 在直立的平面镜前放置一个半径为
R
的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离
镜面3< br>R
,缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离
A< br>镜面最近处以速度
v
沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像
4
的相对 速度。水的折射率为
n?
。如图5.4(
a
),5.4(
b
)
3
2v
K
1
T
1
v
O
B
第5届国际物理奥林匹克竞赛试题
1、解:我们用
a
表示
双斜面在惯性参照系中的加速度(正号表示向右的方向)。用
a
0
表示
物体相
对斜面的加速度(正号表示左边物体
m
?
下降)两个物体在惯性系中的加速度
a
1
和
a
2
可由矢量
a
和
a
0<
br>相加得到(如解
图5.1
图5.1)。用
F
表示绳子中的张力。
a
对沿斜面方向的分量
应用牛顿第二定律。
a
0
a
1
m
1
m
2<
br>a
2
m
使物体
m
1
加速下降的力是
a0
m
1
g
sin
??
1
-
F
a
a
在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为
?
?
??
a
0
-
a
cos
??
1
所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为: 解图5.1
m
1
(
a
0
-
a
cos
??
1
)
=
m
1
g
sin
??
1
-
F
同样,对于
m
2
有
m
2
(
a
0
-
a
cos
??
2
)=
F
-
m<
br>2
g
sin
??
2
两式相加:(
m
1
cos
??
1
+
m
2
cos
??2
)
a
=(
m
1
+
m
2
)<
br>a
0
-(
m
1
sin
??
1
-m
2
sin
??
2
)
g
(1)
我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。
斜面在惯性系中的速度为
v
(
向右)。物体相对斜面的速度为
v
0
。故斜面上两物体在惯
性系中的速度的水
平分量(向左)分别为:
v
0
cos
??
1
-
v
和
v
0
cos
??
2
-
v
利用动量守恒原理:
m
1
(
v
0
cos
??
1
-
v
)+
m
2
(
v
0 cos
??
2
-
v
)=
m v
对
匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:
m
1
(
a
0
cos
??
1
-
a
)+
m
2
(
a
0
cos
??
2
-
a
)=
m
a
所以
a?
m
1
cos
?
1
?
m
2
cos
?
2
a
0
(2)
m?m
1
?m
2
上式给出了有关加速度的信息。很明显,只有当
两物体都静止,即两个物体平衡时,斜
面才静止,这是动量守恒原理的自然结果。
由方程(1)和(2),可得到加速度为:
a
0
?
(
m?m
1
?m
2
)(m
1
sin
?
1?m
2
sin
?
2
)
g
2
(m
1
?m
2
)(m?m
1
?m
2
)?(
m
1
cos
?
1
?m
2
cos
?
2
)
a?
(m
1
cos
?
1
?m
2
cos
?
2
)(m
1
sin
?
1
?m
2
sin
?
2
)
g
2
(m
1
?m
2
)(m?m
1
?m
2
)?(m
1
cos
?
1
?m
2
cos
?
2
)
m
1
sin
?
2
?
m
2
sin
?
1
如果
m
1
s
in
??
1
=
m
2
sin
??
2
即
则两个加速度均为零。
2、解:我们将空气和氢气的数据列成
表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用
L
表示。为
了简单起见,我们以装有氢气的管
子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg为
单位给出(见解图5.2第一步至第四步)。
L
70cm
40cm
50cm
45cm
次 数 1 2 3 4
氢气压强
p
h1
p
h2
p
h3
p
h4
氢气体积
V
h1
V
h2
V
h3
V
h4
空气压强
100cmHg 60cmHg
p
k3
=
p
k4
空气体积
V
k1
V
k2
=
V
k3
V
k4
两者温度 273K 273K
T
3
T
4
解图5.2
从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律:(
L
-70)(100
-70)=(
L
-40)(60-40)
由此式求得玻璃管的长度
L
=130cm,
因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:
V
h1
=60cm,
V
h2
=90cm,
V
h3
=80cm,
V
h4
=85cm
从第二步到第三步,氢气的
状态方程为:
(60?40)?90
?
(p
h3
?50)?80
273T
3
对空气应用盖吕萨克定律:
p
k3
60
?
T
3
273
从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便
使空气压强保持不变。氢气的状态方
程为:
(p
k3
?50)?80
?
(p
k4
?45)?85
T
3
T
4<
br>解以上方程组,得:
p
k3
=
p
k4
=80cmHg
,
T
3
=364K,
T
4
=451K,
所以氢气的压强为:
p
h3
=30cmHg
p
h4
=35cmHg
算出空气的体积比为:
V
k1
:
V
k2
:
V
k4
=6:10:12.4
(注:cmHg为实用单位,应转换成国际单位Pa)
_
+
C
<
br>G
R
C
1
C
1
(如解图5.3.1)3、解:(a
)将这个网络展开成平面图。
U
2
_
电
F
器
,所以只在图
由于电流不能通过
+
容
B
U
2
图5.3
R
_
+
C
3
FB
C
2
解图5.3.1
U
R
_
3
+
中A-B-C-G-H-E-A回路的导线中有
电流。在这个回路
H
C
4
D
A
U
4
_+
E
R
C
2
U
1
_
+
CR
C
3
D
R
A
C
4
U
4_
+
U
1
U
_
3
+
R
HR
E
G
中,电压为12V,电阻为4
R
。
因此电流为:
I?
U
4
?U
1
4R于是就知道了电阻和电源两端的电压。设
A
点的电势为零,就能很容易地算出各点的电势。
A
0 V
B
(
U
4
-
U
1
)4
3 V
C
(
U
4
-
U
1
)2
6 V
G
(
U
4
-
U
1
)2+
U
1
10 V
H
(
U
4
-
U
1
)2+
U
1
+(
U
4
-
U
1
)4 13
V
E
(
U
4
-
U
1
)2
+
U
1
+(
U
4
-
U
1
)2
16 V
D
(
U
4
-
U
1
)2+
U
1
+(
U
4
-
U
1
)
4-
U
3
1 V
F
(<
br>U
4
-
U
1
)4-
U
3
+
U
2
11 V
从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下:
-6
C
1
(11-10)V=1V, 1×10C。
C
2
(16-11)V=5V, 5×10
-6
C。
C
3
(6-1)V=5V, 5×10
-6
C。
C
4
(1-0)V=1V, 1×10
-6
C。
_
+
2
C
G
我们可以算出各电容器的储能量
CU
2。电容器
C
1
和
U
1
C
4
各有
0.5×10
-6
J,电容器
C
2
和
C
3
各有12.5×10
-6
J。
R
R
(
b
)<
br>H
点与
B
点连接,我们得到两个分电路。如解图
U
5.3.2
。在下方的分电路中,电流为
4
,
E
点相对A点的电
2R
势
是
U
4
=16
V,
H
点与
B
点的电势是
U
4
/2=8 V。F
点的电
势为
U
2
_
+
B
U
4
_
+
H
R
E
C
2
R
A
U
4
?U
2
=16 V
2
于是,电容器
C
2
两极板的电势均为16
V,结果
C
2
上无电量。 解图5.3.2
4、解:鱼在1秒钟内
游过的距离为
v
。
图5.4(
a
)
我们把这个距离
v
C
D
?
当作物,而必须求
?
出两个不同的像。
K
2
B
r
EF
在计算中,我们只
T
2
O
考虑近轴光线和
小角度,并将
角度
的正弦用角度本身 图5.4(
b
)
去近似。
在
T
1
点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,
如图5.4(
a
)所示。从
T
1
点以角度
r
=∠A T
1
O
发出的光线,在
A
点水中的入射角为
r<
br>,在空气中的折射角为
n r
。把出射光线
向相反方向延长,给
出虚像的位置在
K
1
,显然∠
K
1
A
T
1
=
n
r
-
r
=(
n
-1)
r
从三角形
K
1
T
1
A
,有:
K
1
T
1
(n?1)r
??n?1
K
1
Ar
利用通常的近似:
K
1
A
≈
K
1
O<
br>+
R
,
K
1
AT
1
≈
K
1
O
-
R
于是
K
1
O?R
?n?1
K
1
O?R
n
R
2?n
所以这个虚像与
球心的距离为
K
1
O?
水的折射率
n?
4
,从而<
br>K
1
O
=2
R
。若折射率大于2,则像是实像。有像距与物距
之商
3
得到放大率为
K
1
O
n
?
T
1
O2?n
对水来说,放大率为2。
以与速度<
br>v
相应的线段为物,它位于在
E
处的平面镜前的距离为2
R
处
,它在镜后2
R
远的
T
2
处形成一个与物同样大小的虚像。
T
2
离球心的距离为5
R
。在一般情形下,我们假设
T
2<
br>O
=
kR
。
T
2
处的虚像是我们通过球作为一个透镜
观察时的(虚)物。因此,我们只要确定
T
2
的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.
4(
b
)所示。
我们需要求出以
r
角度从
T
2
发出的光线在
C
点的入射角β,其中
r
=∠
CT
2
F
。
在三角形
T
2
OC
中,
?
r
?
T
2
O
kR
??k
β=
k
r
COR
?
kr
??DCO??CDO
n
玻璃中的折射角为:
?
n
需要算出∠
DOB
。
因为:∠
COF
=β-
r
=
k
r-r
=
r
(
k
-1)
而且∠
COD
与
C
点和
D
点的两角之和相加,或与∠
COF
和∠
D
OB
之和相加,两种情况都
等于180,因此
?DOB?r(k?1)?
0<
br>2kr
n
即
?DOB?r(
2k
?k?1)
n
从三角形
DOK
2
,有
OK
2
?
DK
2<
br>?
2k
r(?k?1)
n
?
k
2k
?k?1
n
此外
OK
2
k
?
,
2k<
br>OK
2
?R
?k?1
n
因此像距为:
OK
2
?
nk
R
n(2k?1)?2k
若
k
=5,
n
=
410
R
,得
OK
2<
br>?
33
放大率为
OK
2
n
?
OT
2
n(2k?1)?2k
42
,则放大率为
33
若
k
=5,
n
=
综合以上结果,如鱼以速度
v
向上运动,则鱼的虚像以速度2
v
向上运动,而鱼的实像
以速度
2
28
v
向下运动。两个像的相对速度为2
v
+
v
=
v
,
333
是原有速度的
83
倍。
我们还必须解决的最
重要的问题是:从理论上已经知道了像是如何运动的,但是观察者
在做此实验时,他将看到什么现象呢?
两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察到两
个反
向的速度,其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看,
因为我们要同时看
清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实
用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面
镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻像是可
能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可
。题目中讲到“在远处的观察者”,
是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足
够远,尽管有距离差,
但所看到的速度将逐渐增加而接近
8
。他当然必须具有关于鱼的
实际速度(
v
)的一些信息。
3
两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为:
壁运动的杆代表一条鱼。
2n(k?1)(n?1)
?
璃缸
2?n2k(n?1)?n