高中物理奥林匹克竞赛专题磁场部分精选题(有详细解答)

电流与磁场、电磁感应、自感互感、磁场能
量
一
、选择题
1．如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I ，则下述各式
中哪一个是正确的
uuvvuuvv
（A）
?
?
H
g
dl?2 I
（B）
?
?
H
g
dl?I

L1L2


2I
L1
+
L2
I
L3
uuvvuuvv
（C）
?
?
H
g< br>dl??I
（D）
?
?
H
g
dl??I

L3L4
L4
分析：选D，根据安培环路定理
?
?
Bg
dl?
?
0
?
I
，

L
uvv
d
M
I
uv
B

b
当电流的流向与环路的绕行方向满足右手定
则时为正反之则为负，可得结论。 < br>2．如图，M、N为水平面内两根平行金属导轨，
ab与cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的
uv
F

a
v
v

N
c
两根直裸导线。外磁场垂直水平面向上。当外力使ab向右平移时，
cd
（A）不动。（B）转动（C）向左移动（D）向右移动
分析：选D，根据楞次定律即判定。
3． A,B两个电子都垂直于磁场方向射入一均匀磁场而作圆周运动，
A电子的速率是B电子 速率的两倍，设
R
A
,
R
B
分别为A电子与B电子
的轨道半径，
T
A
,
T
B
分别为它们各自的周期，则 （A）
R
A
:R
B
?2,T
A
:T
B
?2
（B）
R
A
:R
B
?,T
A< br>:T
B
?1

（C）
R
A
:R
B< br>?1,T
A
:T
B
?
（D）
R
A:R
B
?2,T
A
:T
B
?1

1
2
1
2
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分析：根据公式
R?
mv2
?
m
，即可得到答案，选D
,T?
e BeB
4．真空中一根无限长直细导线上通电流I，则距导线垂直距离拉为a
的空间某点处的磁 能密度为
（A）
?
0
(
1
2
?
0
I
2
1
?
0
I
2
12
?
a2
1
?
0
I
2
()
（C）
()
（D）
()

)
（B）
2
?
0
2
?
a2
?
0
I2
?0
2a
2
?
a
?
I
1B
2
分 析：
w
m
?
，而
B?
0
。代入可得答案B
2
?
a
2
?
0
5．如图，无限长直载流导线与正三角形载 流线圈在同一平面内，若
I I
0
长直导线固定不动，则载流三角形线圈将
（A） 向着长直导线平移（B）离开长直导线
平移
(C)转动 (D)不动
分析：利用安培力的方向判定，选A
6．如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K闭合时，小磁
针的N极的指向
N

S

(A)向外 转
90
o
(B)向里转
90
o
(C)保持图示位置不动(D)旋转
180
o
。
K

分析：利用右手定则可判定，螺线管内部的磁场方向从右向左，可得
答案选C
7.下列可用环路定理求磁感应强度的是( )
(A)有限长载流直导体； (B)圆电流；(C)有限长载流螺线管；
(D)无限长螺线管 。分析：安培环路定理所求的磁场要求场源，即
电流具备一些特殊性，如无限大，无限大什么的，故应选 D
第2页共26页

8.
( )
下

列正确说法有
(A) 若闭合曲线内未包围传导电流，则曲线上各点的B必为
零；
(B) 若闭合曲线上B皆为零，则曲线包围的传导电流必为零；

（C）穿过任意闭合曲面的磁通量均等于一常数；
(D)穿过任意闭合曲面的磁通量均为零。
分析：选D，可根据磁场的高斯定理得此结论。
9.在均匀磁场中放置三个面积相等且通过相 同电流的线圈，一个是矩
形，一个是正方形，一是三角形，则
( )
(A) 正方形受力为零，矩形最大； (B)三角形受的最大磁
力矩最小；
(C)三线圈的合磁力和最大磁力矩皆为零；(D)三线圈所受的最大
磁力矩均相等。
r
r
r
分析：平面线圈在均匀磁场中的磁力矩
M?ISe
n
?B
，根据题中条件，
可得答案D
10．通有电流为I的无限长直导线弯成如图形 状，其中半圆段的半径
为R，两直线段平行地延伸到无穷远，则圆心O点处的磁感应强度的
大小 为

I
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O
I
(A)
?
0
I
4R
?
0
I
4R
?
?
0
I
?
I
?
I
?
I 3
?
I
； (B)
0
?
0
； (C)
0
?
0
； (D)
4
?
R8R
2
?
R2R2
?
R
。
分析：两半无限长直导线在O点产生的磁场大小相同，方向相反，
故相互抵消，故O点磁场的大 小应为半圆形导线所产生磁场的大小，
故选D
11．下列说法中，错误的是
(A) 当铁磁质处于居里温度以上时，铁磁性就完全消失，铁磁质退化
为抗磁质。
(B) 铁磁质在没有外磁场作用的情况下，宏观体积内已有一定的磁化
强度，这是由于交换作用所导致的。
(C) 磁介质磁化后，产生的分子磁矩与外磁场的方向相同，若撤去外
磁场，由于分子磁矩回 到无序状态，磁介质的磁性立即消失，这种磁
性称为顺磁性。
(D) 矫顽力是使铁磁体剩余磁化强度全部消失时所必须施加的反向
磁场的磁场强度。
分析，：选B，铁磁质在没有外磁场作用的情况下，磁化强度为零。
?
?
12. 在磁场的安培环路定理中，
?
B?dl?
?< br>0
?
I
中，以下说法正确的是
L
（ ）
(A)若L上的B为零，则穿过L的电流的代数和为零；
(B)若没有电流穿过回路L，则回路L上各点的B均为零；
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(C)等式左边的B只是穿过闭合回路L的所有电流共同产生的磁感应
强度；
(D)以上说法都不正确。
分析：选A，C错在B是由空间所有电流所产生的。
1 3、一载流导线弯成如图所示形状，通入电流为I，圆弧段的半径为
R，则在O点处的磁感应强度的大小 为
?
0
I
?
0
I
；
?
2
?
R4R
4R
I
O
?
0
I
1
?
0
I
?
0
I
（C）。
(?1)
； （D）
?
2R
?
4R2
?
R
（A）
?
0
I
； （B）
分析：由于两半无限长直导线在 O点所产生的磁场大小相同，方向
相同，故相当于一无限长直导线所产生，而且和半圆形导线产生的方< br>向也相同，故选B
14．质量为m电量为q的粒子，以速率v与均匀磁场B成θ角射入
磁场，轨迹为一螺旋线，若要增大螺矩则要
(A) 增大磁场B； (B)减小磁场B；(C)减小速度v； (D)增加
夹角θ。 < br>分析：因为带电粒子在磁场中运动的周期与速度与关，故要增大螺距，
就要增加速度沿磁场方向的 分量，或者加大周期，故可增大磁场B
或者减小夹角θ。选A
15．下列正确的说法有
（A） 若一段通电直导线在某处不受力，则表明该处磁感应强
度B为零；
（B） 通电导线在磁场中受的力和电流及磁感应强度B三者
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互相垂直；
（C） 若导线的电流与磁感应强度B不垂直，则其受的力也与
B不垂直；
（D） 通电直导线受的力恒垂直于磁感应强度与电流方向所
构成的平面。
r
rr
分 析：根据矢量叉乘的数学定义，
dF?Idl?B
。可得答案选D
16放在平滑桌面上的铁钉被一磁铁吸引而运动，其产生的动能是因
为消耗了
（A）磁场能量； （B）磁场强度；（C）磁场力； （D）磁
力线。
分析：根本能量转化和守恒定律，动能只可能是别的能量转化而来，
故选A。
17.有一半径为R的单匝圆线圈，通以电流I，若将该导线弯成匝数N
= 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心
的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的
(A) 4倍和18． (B) 4倍和12． (C) 2倍和
14． (D) 2倍和12．
分析：因为导线长度不变，但匝数N = 2，故新的平面圆线圈半径变< br>为原来的12，
B?
?
0
I
2R
，再乘上匝数N = 2，故磁感强度变为原来的4
倍。磁矩
m?NIS
，变为原来的12。故选B
18.面积为S和2 S的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I．线
圈1的电流所产生 的通过线圈2的磁通用
?
21
表示，线圈2的电流所
产生的通过线圈1的磁通 用
?
12
表示，则
?
21
和
?
12
的大小关系为：
(A)
?
21
=2
?
12
．(B)
?
21
>
?
12
．
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(C)
?
21
=
?
12
(D)
?
21
=
?
12
．

分析：
??MI
，M
12
?M
21
。故当两者电流相同时，磁通是一样的。故
选C
20如右图所示，平行板间的匀强电场范围内存在着与电场正交的匀
强磁场，带电粒子以速度< br>v
0
垂直电场从
P
点射入平行板间，恰好沿纸
面匀速直线运动 ，以
Q
飞出，忽略重力，下列说法正确的是：




A．磁场方向垂直纸面向里；
B．磁场方向与带电粒子的符号有关；
C．带电粒子从
Q
沿
QP
进入，也能做匀速直线运动；
D．粒子带负电时，以速度
v
1
从
P
沿
PQ
射入， 从
Q'
飞出，则
v
1
?v
0
。
1
2
分析：这是一个速度选择器的问题，故选C
21如右图所示，由导体做 成的直角等腰三角形框架
abc
，放在磁感应
强度为
B
的匀强磁场中 ，框架平面与磁力线平行。导体中通有稳恒电
流I时，
ab、bc、ca
各边受到的安 培力分别为
F
1
、F
2
、F
3
，则：


A.
F
1
F
3
大小相等，方向相反 B．
F
1
和F
2
大小相等，方向相同；
C．
F
2
和F
3
大小相等； D．
F
2
?0，F
1
?F
3
。
分析：
ab
的有效长度即为
ac
的长，又因为电流方向相反故选A
22质 子和
?
粒子在垂直匀强磁场的磁感应强度方向的平面上作匀速
圆周运动，若质子和?
粒子速度大小之比为2∶1，则质子和
?
粒子的：
A．动量之比为1∶2； B．圆运动的轨道半径之比为
1∶1；
C．作圆运动的周期比为1∶2 ； D．动能之比为1∶2。
分析：该题主要是要我们记清楚洛仑兹力的情况，两个公式
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R?
mv2
?
m
,T?

qBqB
23静电场和磁场对比：
A．电场线不闭合，磁感线闭合；B．静电场和磁场都可使运动电
荷发生偏转；
C．静电场和磁场都可使运动电荷加速；D．静电场和磁场都能对
运动电荷做功。
分析：该题主要是让我们分辨清楚静电场和磁场作为矢量场的特征。
选A
24 两根 长度相同的细导线分别密绕在半径为R和r的两个长直圆筒
上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同， R=2r，螺线管通过的电
流相同为I，螺线管中的磁感应强度大小
B
R
,B
r
满足（）
（A）
B
R
?2B
r
（B）
B
R
?B
r
（C）
2B
R
?B
r
（D）
B
R
?4B
r

分析：对于通电螺线管，
B ?
?
0
nI
，
n
为单位长度的线圈匝数，根据
题意 ，可得答案C
25一电量为q的粒子在均匀磁场中运动,下列哪种说法是正确的?
(A) 只要速度大小相同,粒子所受的洛仑兹力就相同.
(B) 在速度不变的前提下,若电荷q变为－q , 则粒子受力反向, 数值
不变.
(C) 粒子进入磁场后,其动能和动量不变.
(D)洛仑兹力与速度方向垂直,所以带电粒子运动的轨迹必定是圆.
分析：选B。
二、判断题
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1．引入电流密度这个概念是为了细致 地描述导体内各点电流分布的
情况，它是一个标量。（错）
分析：电流密度是一个矢量，它的 方向是载流子的速度的方向。另外，
电流密度是一个微观量，而电流强度是一个宏观量，它是一个标量。
2．静电场的电场强度E和电源内部的非静电场的电场强度
E
K
矢量场
的性质是一样的。（错）
分析：在电源内部，
E
K
的方向与静电场强度E的方向相反。
3． 电源的电动势的大小相当于把单位正电荷从负极经电源内部移至
正极时百静电力所作的功。（对）
4．安培环路定理说明磁感应线是闭合曲线。（对）
5．回旋加速器和电子感应加速器的实质 是一样的，都是利用电子在
磁场中的旋转和电场中的加速。（错）
分析：回旋加速器是利用电 子在磁场中的旋转和电场中的加速，而电
子感应加速器是利用感应电场来对电子加速的。
6． 在磁场对载流平面线圈的作用中，当通过线圈的磁通量最大时，
线圈受到的磁力矩也最大。（错） 分析：当通过线圈的磁通量最大时，线圈受到的磁力矩最小为零。通
过线圈的磁通量最小时，即线圈 平面与磁场平行时，线圈受到的磁力
矩最大。
7．如果一个电子通过空间某一区域时，电子运 动的路径不发生偏转，
则可以判定这个区域没有磁场。（错）
分析：一种特殊的情况就是电子沿磁感应线运动的时候，不受磁场的
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作用。
8．在磁场中一小段通电导线受的力和磁感应强度及电流三者的方向
一定垂直；（对）
9．若闭合曲线上B皆为零，则曲线包围的传导电流必为零。（错）
分析：根据安培环路定理，应该是曲线包围的传导电流的代数和必为
零。
10．产生霍尔效应的根本原因就是运动的带电粒子在磁场中要受到洛
仑兹力的作用。（对）
11．若用一个闭合曲面包围一个运动电荷，则穿过该封闭曲面的磁通
量不为零。（错）
分析：根据磁场的高斯定理，通过任意闭合曲面的磁能量必为零。
12.无限长通电细直导线在自身上各点的磁感应强度均为零。（对）
r
r
分析：由毕奥-萨伐尔定律，磁感应强度与
Idl?r
有关，而 在直线上，
r
r
Idl?r
恒为零。
13.顺磁质和抗磁质都是由 于分子磁矩在外磁场的作用下产生的，只
不过顺磁质和抗磁质的分子磁矩在外磁场的作用下方向相反而已 。
（错）
分析：抗磁质是由于分子在磁场中运动的附加轨道引起的。
14.利用磁场的高斯定理，可以容易地求一些高度对称性的磁场分布。
（错）
r< br>r
分析：磁场的高斯定理
?
?
S
B?dS?0
，故不 易用来求磁场分布。
uvv
15.由安培环路定理
?
环路上各点的磁感应强 度仅由
?
B
g
dl?
?
0
?
I
可 知，
L
第10页共26页

穿过环路的电流所决定。（错）
分析：磁感应强度应由空间所有电流决定。
16.在速度选择器中，电场和磁场的大小和方向是可任意设定的。（错）
分析：速度选择器 中，电场和磁场的大小和方向必须保证对某一特定
的速度带电粒子产生大小相同方向相反的静电场力和洛 仑兹力。
17.在磁场中放入磁介质，始终会削弱原有的磁场。（错）
分析：磁介质分为抗磁质，顺磁质，铁磁质。对于顺磁质和铁磁质，
是会增加原有磁场的。 < br>18.铁磁质之所以非常容易被磁化，能大大增加原有磁场，是因为铁
磁质内部存在大量的磁畴。 （对）
分析：该题主要是为了让大家了解铁磁质的一些特性。
三、填空题
1．一 横截面为圆、圆半径为a的无限长直导线中均匀地通过电流I，
那么该导线内各点的电流密度大小为 。
分析：当载流子均匀分布时，
j?IS?
I
?
a
2

2．电流的连续性方程为 ，恒定电流的条件
为 。
dQ
r
分析：
?
，
?
s
j?d s??
dt
r
r
r
?
?
s
j?ds?0< br>
3．边长为a的等边三角形回路，流过电流为I，则该三角形中心处的
磁感应强度为 。
分析：
设三角形中心O到三边的距离为d。由右手螺旋定则和电流分布的对
第11页共26页
?
1

称性可知，三边电流在O点产生的磁感应强度的方向相同，数值上
都等于 B
0
?
?
0
I
(cos
?
1
?cos
?
2
)
把
?
1
?
?
6< br>，
?
2
?5
?
6
代入上式，得
4
?
d
?
0
I
4
?
d
?
5
?
?
3
?
0
I
?
cos?cos?
，因此 ，在三角形中心处的
??
66
?
2
?
a
?
9
?
0
I

2
?
a
B
0
?
磁感应强度的大小为，
B?3B
1
?
4.几种（a）（b）（c ）三种形状的平面载流导线的电流均为
I
，它们在
O点的磁感应强度各为（a） ，（b）
（c） 。
分析：(a) 两条半无限长载流直导线的延长线都通过
O
点，它们在
O点
产生的磁场为零。因此，
O
点处的总磁感应强度为14圆弧电流所激
发 ，即
B?
?
0
I
8R
，方向垂直纸面向外。 (b) 将 载流导线看作由圆电流和长直
?
0
I
2R
?
电流组成，由叠 加原理可得
B?
?
0
I
，方向垂直纸面向里。
2
?
R
(c) 将载流导线看作由12圆电流和两段半无限长直电流组成，由
叠加原理可得
B
0?
?
0
I
4R
?
?
0
I
?< br>0
I
?
0
I
?
0
I
???
方向垂直纸面向外。
4
?
R4
?
R4R2
?
R
5. 在氢原子 中，设电子以轨道角动量
L?h2
?
，绕质子作圆周运动，
其半径
a
0
?5.29?10
?11
m
。质子所在处的磁感应强度
为 。（
h
为普朗克常量，其值为
6.63?10
?34
J?s
）
第12页共26页

分析：电子绕核运动的角动量
L?mva0
?h2
?
，则电子绕核运动的速
率
v?
heehe< br>?
，其等效圆电流为
i??

2
2
?
ma< br>0
T2
?
a
0
v
4
?
2
m a
0
该圆电流在质子所在处（圆心）产生的磁感应强度为
6. 如下图所示，载流长直导线的电流为I，则通过矩形平面的磁通量
为 。
分析：如上图右图所示，在矩形平面上取面元
dS?ldx
，
面元的方向与该处的
B
相同，即垂直纸面向里，则载流长
直导线的磁场通过该面元的磁通量为
d
?
?B?dS?
?
0
I
ldx
积分得通过矩形平面的磁通量为
2
?
x
7. 一通有电流I的导线，弯成如图所示的形状，放在磁感应强度为
B
的匀强磁场中，
B
的方向垂直纸面向里。则此导线受到的安培力
为 。
分析： 载流导线中两段直线部分所受安培力大小相等，方向相反，
两
力平衡。整个载流导线受力就是半圆形导线所受的磁场力。我们知道，
载流导线在匀强磁场中所受磁场力，等于从起点到终点连接的一根直
导
线通过相同电流时受到的磁场力。因此，整个载流导线受力的大小为
F?2BIR
方向竖直向上。
8.电流I =7.0A，流过一直径D =10cm的铅丝环。铅丝的截面积S =0.70
mm
2
，此环放在B =1.0 T的匀强磁场中，环的平面与磁场垂直，则铅
第13页共26页

丝所受的张力为 。
分析 如图中右图所示，载流半圆弧铅丝环受到的磁力的大小为，
F?IDB

方向水平向右 。用
T
表示半圆弧两端
a
，
b
受到另外的半圆弧的张力，< br>在平衡时有
F
?BIR?1.0?7.0?0.050?0.35N

2
uv
9. 如图所示，磁感强度
B
沿闭合曲线L的环流
2 T?F?0
，得
T?
uvv
?
?
B
g
dl ?

L
_______________________ 。
uvv
分析：根据安培环路定理
?
I
1


I
1
I
2
?
B
g
dl?
?
0
?
I
，当
L
L
电流的流向与环路的绕行方向满足右手定则时为正
反之则为负，可得该题
?
?
B
g
dl?
?
0
(I
2
?2I
1
)

L
uvv
uv
10．均匀磁场的磁感应强度
B
与半径r的圆
v
形平面的法线
n
的夹角为
?
，今以圆周为边界，作一个半 球面S，S
与圆形平面组成封闭面如图，则通S面的磁通量
?
?
______ ________。
分析：根据磁通量的定义，可得
?
?
?
r2
Bcos
?

11. 电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周做功为
v
_________。
S
n
?


uv
B

电荷在磁场中沿任一闭合曲线移动一周，磁场力做功_________。
分析：由于静电场 力是保守力，故电荷在静电场中沿任一闭合曲线移
动一周做功为零，而磁场力即洛仑兹力，它的方向与速 度垂直，也不
做功，故也为零。
12．两条无限长的平行直导线相距a，当通以相等同向电流 时，则距
I
直导线距离都为a的一点P的磁感应强度的大
a
小
是 。
a
第14页共26页
P
I
a

分析：无限长通电直导线的磁场
B?
的磁
感应强度的大小是
B?
3
?
0
I

2?
a
?
0
I
，利用矢量合成，可得P点
2
?< br>a
13．有一半径为a，流过稳恒电流为I的14圆弧形载流导线bc，按
图示方式置于 均匀外磁场
B
中，则该载流导线所受的安培力大小为
_______________ __．
分析：圆弧bc的有效长度即为半径的长度，故安培力大小为BIa
14一根无限 长直导线通有电流I，在P点处被弯成了一个半径为R的
圆，且P点处无交叉和接触，则圆心O处的磁感 强度大小为
_______________，方向为______________．
分析 ：将载流导线看作由圆电流和长直电流组成，由叠加原理可得
B?
?
?
0I
2R
?
?
0
I
方向垂直纸面向里。
2?
R
15有一匀强磁场，它的磁感线与一矩形线圈平面成30?角，线圈面积
为< br>10
?2
米
2
， 穿过此线圈的磁通量为
1?10
?3
韦伯，那么磁场的磁感应
强度应是 。
分析：
??BScos
?
，可得，B=0.2T
16在垂直纸 面向里的匀强磁场中，有一段弯折
成直角的金属导线
abc
，
ab?bc?L
。导线中通有
如右图所示方向的电流，电流强度为I，磁场的
磁感应强度为
B
。要使该段导线保持静止不动，应在
b
点加一大小为
牛顿的力，其方向为 。
分析：
F?2BIL
，方向为直角的角平分线方向。
第15页共26页

四、计算题
1.如图所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I且在宽度上均匀 流过。
求在薄板的平面上距板的一边为r处P点的磁感应强度。
解 在薄金属板所在的平面内 ，以
板左边为原点O，作Ox轴如图
5.8中右图所示。把薄金属板分割
成长度为dx 的平行窄条，其电流
为
dI?Idxb
，可视为长直线电流，
它在P点激发的 磁感应强度为
所有线电流在P点激发的磁场方向都相同，因而P点的磁感应强度
为
B?
?
dB?
?
b
?
0
I
2
?< br>(b?r?x)
0
dx?
?
0
I
r?b
ln
，方向垂直纸面向里。
2
?
br
2 如图所示，半径为R的木球上 绕有密集的细导线，线圈平面彼此平
行，且以单层线圈覆盖住半个球面，线圈的总匝数为N，通过线圈的
电流为I，求球心O处的磁感应强度。
解 如上图中右图所示，把半球
面分割为无数薄圆环，任一薄圆
环均可视为圆电流，其大小为
在球心O处激发的磁感应强度
为
它们的方向都一致。因此，球心O处的总磁感应强度为
d
?

第16页共26页

?
2
将
x?Rcos
?
,y?Rsin
?
代入上式，得
B?
方向由电流的流向用右手定则确 定。
?
0
?
0
NI
2
?
NI
s in
?
Rd
?
?
0

?
R4R
3 如图所示，在半径分别为R和r的两个圆周之间，有一个总匝数为
N的均匀密绕平面螺旋线圈，当导线中 通有电流I时，求螺旋线圈中
心点（圆心）的磁感应强度。
解 因螺线管绕得很密，则可视为 由许多同心圆线圈
组成。在半径r到R范围内，单位长度半径上的线圈
匝数为
n?N( R?r)
。因此，在距离线圈中心从
?
到
d
?
范围内共有线 圈匝数为
nd
?
?
dB?
N
d
?
，当线 圈中通有电流I时，在圆心处的磁感应强度为
R?r
?
0
I
?0
IN
d
?
nd
?
?
，总磁感应强度的大小为
2
?
2(R?r)
?
2(R?r)
?
?
r
B?
?
dB?
?
0
IN
R
d
?< br>?
?
0
IN
2(R?r)
ln
R
，方向垂直 纸面向外。
r
4 电流I均匀地通过半径为R的圆形长直导线，试计算磁场通过如
图所示导线内单位长度剖面的磁通量。
解 在导线内部距轴线为r处的磁感应强
度为
如图5.11所示沿轴线方向在剖面上 取面元
dS?ldr
。在此剖面上各点的磁场方向相同，
因此导线内单位长度剖面的磁 通量为
5 如图所示，一个半径为R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电
流I 在柱面上均匀分布。求半圆柱面轴线
OO
?
上的磁感应强度。
第17页共26页

解 上图中右图是过轴线
OO
?
上
P
点的截面图（在图的上部竖直向下
看），沿轴线方向把半圆柱面导体分割成许多 长直细导线，其电流
dI?Idl
?
R
，它在
P
点激发的磁 感应强度的大小为
dB?
?
0
dI
，方向在Pxy平面内，且与由 P点引向
dl
的半径垂直。由
2
?
R
对称性可知，所有长直 细电流在P点的总磁感应强度
y
轴分量为零，
即
B
y
??
dBcos
?
?0

因此总的磁感应强度等于其
x
轴分量，即
??
B?B
x< br>?
?
dBsin
?
?
?
0
?
0I
?
0
I
，方向沿Ox轴负向。
Rd
?
si n
?
?
2
2
?
R
?
R
?
R
0
6 有一同轴电缆，其尺寸如下图所示。两导体中的电流均为I，但电
流的流向相 反，导体的磁性可以不考虑。试计算以下各区域的磁感应
强度：（1）
r?R
1
；(2)
R
1
?r?R
2
；（3）
R
2
?r?R
3
；（4）
r?R
3
。画出
B—r图线。
解 同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场轴对称分布。取半径为
r的同心圆为积分路径，
?
B?dl?2
?
rB
，利用安培环路定理
?
B? dl?
?
?
I
，即得各区域的磁感应强度。
0
（1）
r?R
1

2
?
rB
1
?
?
0
?
0
rI
I
2
B?
?
r
，
1
2
2
2
?< br>R
1
?
R
1
（2）
R
1
?r?R< br>2

2
?
rB
2
?
?
0
I
，
B
2
?
（3）
R
2
?r ?R
3

?
0
I(R
3
2
?r
2
)
B
3
?
22
2
?
r
(R
3
? R
2
)
第18页共26页
?
0
I

2< br>?
r
?
?
(r
2
?R
2
2
)
?
2
?
rB
3
?
?
0
?
?
I?
?
(R
2
?R
2
)
I
?
?
，
32
??

（4）
r?R
3
2
?
rB
4
?
?
0
(I?I)?0
，
B
4
?0

B—r图线如上图中右图所示。
7 如图所示，一根半径为R的无限长载流直导体，在导体上有一半径
为
R
?
< br>的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d。导体中
有电流I沿轴向流过，并均匀分布 在横截面上。试用安培环路定理求
空腔中心的磁感应强度，你能证明空腔中的磁场是匀强磁场吗？
解 圆柱形空腔可以看成是由半径分别为
R
（电流为
I
）和
R
?
（电流
为
?I
）的两个无限长圆柱形导体叠加而成。设电流< br>I
垂直于纸面向外
流出，则如图中右图所示，空腔内任一点P处的磁感应强度可表示为< br>B?B
1
?B
2

式中
B
1
和B
2
分别为电流
I
和
?I
在点P激发的磁感应强度，并 且有
B
1
?r
1
和
B
2
?r
2< br>，其中
r
1
和
r
2
分别为P点距O点和
O< br>?
点的位矢。由安
培环路定理可得
可以看出
B
1
B
2
?r
1
r
2
。由图可知
?
?
?
，因而
?
OPO

∽
?
APC
。由相似三角形的几何关系，可得
B?
?
0
jd?
1
2
?
0
Id
2
?
(R
2
?R
2
)< br>
这表明，
B
的大小与
P
点在空腔中的位置无关。此外
B?OO
?
，证明
如下：用
d
代表由
O
点指向< br>O
?
点的矢量，则有
因此，空腔内的磁场是匀强磁场。
8 如图所 示，彼此相距10cm的三根平行的长直导线中，各通有10A
的同方向的电流，求各导线上每1.0c m上作用力的大小和方向。
解 由安培力公式可知，当两条导线电流方向相同时，两导线相互吸引。如图中右图所示，导线2对导线1单位长度的引力的大小为
第19页共26页

?
0
I
1
I
2
?
0
I
2
f
12
??

2
?
r2
?
a
?
0
I
1
I
3
?
0
I
2
?
导线3对导线1单位长度的引力的大小为
f
13
?
< br>2
?
r2
?
a
引力
f
12
和
f
13
正好在等边三角形的两条边上，它们之间的夹角为60
o
，
而且在数值上
f
12
?f
13
，所以合力的大小为
?0
I
2
f
1
?f
12
cos30?f
13
cos30?cos30
0
?
a
00
方向如图所示。
3
4
?
?10?10?
2
?3.46?10
?4< br>Ncm?
?
?10?10
?2
?72
9通有电流
I< br>1
?50A
的无限长直导线，放在如图所示的圆弧形线圈的轴
线上，线圈中的电 流
I
2
?20A
，线圈高
h?7R3
，求作用在线圈上的力 。
解 在线圈的上下两段圆弧
da
和
bc
上，因长直电流
I
1
激发的磁场与
电流
I
2
方向平行，所以圆弧
da
和
bc
受力为零。长直电流
I
1
在线圈的直
线 部分
ab
和
cd
处激发的磁场的方向分别沿
y
轴的正向和负 向，磁感
应强度的大小均为
B?
?
0
I
1
。因此， 作用在线圈上的合力为
2
?
R
?
0
I
1
7?4
?
?10
?7
?50?20
F?2I
2
h? ?9.33?10
?4
N
，方向沿
x
轴负向。
2
?
R3
?
10 如图所示，一长直导线通有电流
I1
?30A
，矩形回路通有电流
I
2
?20A
。试计算 作用在回路上的合力。已知
d?1.0cm,b?8.0cm,l?0.12m
。
解 矩形回路的上、下两段导线所受安培力
F
1
和
F
2
的矢量和 为零，则
回路所受总的安培力等于左、右两段所受安培力
F
3
和
F< br>4
的矢量和，
它的大小为
第20页共26页

F?F
3
?F
4
?
?
0
I
1
I
2
l
?
IIl
?
012
2
?
d2
?
(d?b)
?
0
I
1
I
2
lb
4
?
?10
?7
?30?20?0.12?8.0?10
?2
，方向水平向左。
??
?2?2
2
?
d(d?b)
2< br>?
?1.0?10?(1.0?8.0)?10
?1.28?10
?3
N
11 如图所示，电阻率为
?
的金属圆环，其内外半径分别为
R
1
和
R
2
，
厚度为
d
，圆环放入匀强磁场中，
B
的方向与圆环平面垂直，将圆环
内外边缘分别接在如图所示的电动势为
?
的电源两极，圆环可绕通过
环心且垂直环面的轴转动。求圆环在图示位置时所受的磁力矩。
解 金属圆环的径向电阻
R
2
R?
?
?
R
R
?
2
??
d
dr
?
?ln
2
，径向电流，
I??

R
?
ln(R
2
R
1
)
2
?
rd2
?
dR
1
金属环所受的磁力距，等于沿 径向电流所受安培力的力矩之和。在
d
?
范围内圆环上
r
处的电流为 ，
dI?
I
2
?
r
rd
?
?
Id
?
，在
d
?
范围内圆环上
r
2
?
到
r?dr
处的小电流元
dIdr
所受的安培力为
BdIdr
，对转轴的力矩为
rBdIdr
，因此圆环所受磁力矩为
M?
??
rBdIdr?
?
Bd
R
2
2
?
?
ln (R
2
R
1
)
R
?
rdr
?
d< br>?
?
1
?
B
?
d
?
ln(R
2
R
1
)
2
(R
2
?R
1
2< br>)
，方向垂直纸面
0
向外。
12 一半圆闭合线圈半径
R?0.10m
，通过电流I =10A，放在匀强磁场
中，磁场 方向与线圈位置如图5.23所示，
B?0.50T
，求：(1)线圈所受
的磁力矩的 大小和方向；(2)若此线圈受力矩的作用转到线圈平面与
磁场垂直的位置，则力矩做功多少？
第21页共26页

I
?
R
2
解 （1）线圈磁矩为
m?IS?

2
方向垂直纸面向里，与
B
垂直。因此，线圈所受的磁力矩
的大小为
按照公式
M?m?B
，磁力矩的方向为竖直向下。
（2）线圈平面由平行于
B
的位置转到垂直于
B
的位置，
m
与
B
的 夹
角
?
由
?
2
减小到
0
，转动方向与?
的增加方向相反，因此磁力矩做功
为
13如图所示，半径为
R
的圆片均匀带电，电荷密度为
?
，令该圆片以
角速度
?
绕通过其中 心且垂直于圆平面的轴旋转。求轴线上距圆片中
心为
x
处的P点的磁感应强度和旋转圆 片的磁矩。
解 旋转的带电圆盘可等效为一组同心圆
电流。半径为
r
宽度为
dr
的圆电流为
dI?
?
2
?
rdr
T< br>?
??
rdr

它在轴线上P点的磁感应强度的大小为
r< br>2
dI
，方向沿
x
轴正向。因此，
dB?
2232< br>2
(r?x)
?
0
轴线上P点的总磁感应强度的大小为
方向 沿
x
轴正向。半径为
r
宽度为
dr
的圆电流的磁矩为
?
r
2
dI
，因此整
R
2
个旋转圆片的磁矩的大 小为
m?
?
?
rdI
?
?
r
3< br>??
dr?
???
R
4
，方向
0
1
4
沿
x
轴正向。
14 测定质子质量的质谱仪如图所示，离子源S产
第22页共26页

生质量为m， 电荷为q的离子，离子的初速很小，可看作是静止的。
经电势差U加速后离子进入磁感应强度为
B
的匀强磁场，并沿一半圆
形轨道到达离入口处距离为x的感光底片的P点上，试证明该离子的
B
2
q
2
x
。 质量为
m?
8U
证 设离子进入磁场时的速度为
v
，由动能定理可知
1
2
mv?qU< br>，离子以进入磁场后，在洛仑兹力的作用下以直径
x
作圆
2
2mv2
B
2
q
2
x
周运动，有
qvB?
，求解上述两式，得，
m?
x8U
15 在螺绕 环的导线内通有电流20A，螺绕环上绕圈共400匝，环的
平均周长是40cm，利用冲击电流计测得 环内磁感应强度是1.0T。计
算环的横截面中心处的：(1) 磁场强度；(2) 磁化强度；(3) 磁化率；
(4) 磁化面电流和相对磁导率。
解 (1) 磁场强度
H?
(2) 磁化强度
M?
B
NI400?20
? ?2.0?10
4
A?m
?1

l0.40
?H?
1.0
45?1
?2.0?10?7.76?10A?m

?7
4< br>?
?10
?
0
M7.76?10
5
?38.8
(3) 磁化率
?
m
??
H
2.0?10
4
(4) 磁化面电流
I
?
?j
?
l?Ml?7.76?10
5
?0.40?3.10?10
5
A

相对磁导率
?
r
?1?
?
m
?39.8

16 一铁制的螺绕环，其平均周长30cm，截面积为10cm
2
，在环上均
匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032A时，环内磁通量为
2.0?10
?6< br>Wb。试计算：(1)环内平均磁感应强度；(2)环内截面中心处
的磁场强度；(3)磁化面电 流；(4)环内材料的磁导率、相对磁导率及
第23页共26页

磁化率；(5)环内的磁化强度。
2.0?10
?6
?0.020T
解 (1) 平均磁感应强度
B ??
S
1.0?10
?4
?
（2）在通过截面中心的闭合回路上，应 用安培环路定律
?
H?dl?
?
I
，由对称性可以得
NI300?0.032
??32A?m
?1

l0.30
B?
?
0
H
B0.020
4?1
j
?
?? ??1.59?10A?m
?
0
?
0
4
?
?10< br>?7
（3）磁化面电流
Hl?NI
，因此磁场强度为
H?
I
?
?j
?
l?1.59?10
4
?0.30?4.77?1 0
3
A
(4) 磁导率
?
?
B0.020
?? 6.25?10
?4
H?m
?1

H32
?
6.2 5?10
?4
相对磁导率
?
r
???497

?7
?
0
4
?
?10
磁化率
?
m
?< br>?
r
?1?496

(5) 磁化强度
M?j
?
?1.59?10
4
A?m
?1

17如图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁
介质的相对磁导率为
?
r
(
?
r
?1)
，导体的磁化可以忽略不计。沿轴向有
稳恒电流I通过电缆，内外导体上电流的方向相
反。内导体半径
R
1
，外导体为
R
2
?R
3
的导体管。
求：（1）空间各区域内 的磁感应强度和磁化强度；
（2）介质表面的磁化电流。
解（1）取与电缆轴同心的圆为积分 路径，根据磁
介质中的安培环路定理，有
H2
?
r?
?
I< br>f
对
r?R
1
，有
?
I
f
?
得磁场强度为
H
1
?
I
2
?
r
< br>2
?
R
1
Ir
忽略导体的磁化（即导体相对磁导率
2
?
R
1
2
第24页共26页

?
r
?1)
，磁化强度为零，即
M
1
?0
则磁感应强度为
B
1
?
?
0
H
1
?
R
2
?r?R
1
：
?
I
f
?I
，磁场强度为
H
2
?
I
2
?
r
?
0
Ir
，
2
2
?
R
1
，填充介质的相对磁导率
为
?
r
，则磁化强度为
M
2
?(
?
r
?1 )H
2
?
B
1
?
?
0
?
r
H
2
?
(
?
r
?1)I
，磁感应强度为
2
?
r
?
0
?
r
I
I
2
?
?
(r
2
?R
2
)
，磁场，
R
2
?r?R
1
：
?
I
f
?I?
22
?
(R
3
?R
2
)
2
?
r
I( R
3
2
?r
2
)
强度为
H
3
?< br>，同样忽略导体的磁化，得
M
3
?0
，
2
2
?
r(R
3
2
?R
2
)
2
?
0< br>I(R
3
?r
2
)

B
3
?
22
2
?
r(R
3
?R
2
)
r?R3
：
?
I
f
?I?I?0
，得
H
4< br>?0
，
M
4
?0
，
B
4
?0

（2）由
I
?
?2
?
rM
，介质内、外表面磁 化电流的大小为
因为是抗磁质
(
?
r
?1)
，介质内表面
R
1
处的磁化电流与内导体传导电流
方向相反；介质外表面
R
2
处的磁化电流与外导体传导电流方向相反。
18 如图所示，一个截面为正方形的环形铁 心，其相对磁导率为
?
r
。
若在此环形铁心上绕有N匝线圈，线圈中的电流为 I，环的平均半径
为r，求此铁心的磁化强度。
解 如上图所示选取
路定理得铁心内磁
由磁化强度和磁场
磁化强度为
19．一根 磁棒具有矫顽力
4.0?10
3
Am
，把它放在长为12cm绕有60
匝导线的长直螺线管中退磁，问绕组中至少应通入多大的电流？
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C

闭合回路C，由安培环
场强度为
H?
NI

2
?
r
强度的关系，得铁心的

解 传导电流所产生的 磁场强度数值上应大于或等于矫顽力
H
C
，即
H?
NI
?H
C

l
H
C
l
4.0?10
3
? 0.12
??8.0A
因此，绕组中至少应通入的电流为
I?
N60
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