中国数学奥林匹克希望联盟夏令营第一天考试答案

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营
试卷（第一天）

一、填空题（每题7分，共70分）
1. 已知
k?N*
，且
k? 3
，若一元二次方程
(k?1)x?px?2k?0
的两个根都是正整数,
则
12(p?k)?51(p?k)?3
的值等于 。
【解析】设方程
(k?1)x?px?2k?0
的两个根
x
1
,x
2
都是正整数，由韦达定理，得
2
2
2
p2k
，①
x
1
x
2
?
，②
k?1k?1
2k2< br>由②，
x
1
x
2
??2?,
又因为
k?N*
，且
k?3
，所以
k?1?2,即k?3,

k?1k?1
于是
x
1
x
2
?3
，所以
x
1< br>?x
2
?4
，代入①得
p?8
，
x
1?x
2
?
故
12(p?k)?51(p?k)?3
?12?11 ?51
?11?3
=2019.

2. 若等腰直角三角形的三个顶点均在 边长为1的正方形的边上，且不与正方形的顶点重合，
则该等腰直角三角形面积的取值范围为_____ _________。
【解析】
[,)


3.2019年全国高 中数学联赛一试试卷由8道填空题和3道解答题组成，其中填空题每小题7
分；解答题分步给分，第一道 解答题14分，分三步各自分数为4,4,6分；第二和第三道解答
题均为15分，分三步每步5分，解 答题中若第n步不得分则第m步（
m?n
）也不得分; 那
么共有______种得分方式恰好能够得到80分。(用数字作答)
【解析】由于填空题 每题7分，解答题第二题和解答题第三题均为每步5分，所以我们优先
考虑解答题第一题的得分
（1）解答题第一题得14分时 由于总分被扣掉20分，因此只能是被扣掉4个5分，填空题
满分，这4个5分的扣分情况有3种（第二题扣15第三题扣5，第二题扣10第三题扣10，
第二题扣 5第三题扣15）
（2）解答题第一题得8分时 由于余下题目被扣掉14分，因此只能是余下题目中 恰只有两
个填空题被扣分，共有C
8
2
=28种情况
（3）解答题第一题得4分时 由于余下题目被扣掉10分，因此只能是被恰被扣掉2个5分，
讨论知这样的情况共有3种
（4）解答题第一题得10分或0分时，易知没有得80分的情况
综上知共有 3+28+3+0=34种情况

2
4.若关于
x
的方程
lg(x?20x)?lg(8x?6a?3)?0
有唯一解，则实数
a
的取值范围是
____________________。
【解析】
?
163
?a??
1

2
2
11
42
62

5.设集合
A?{1 ,2,
称集合
{A
1
,A
2
,
,n}
，< br>A
1
,A
2
,,A
t
(t?2)
是
A
的不同子集，若
A
1
?A
2
??A
t
， 则
,A
t
}
为
A
的一条长度为
t
的链；那 么
A
的所有长度为2的不同的链的条数
是___________.（两条链不同，当 且仅当其中一条链所包含的子集与另一条链所包含的子集
至少有一个不同）
nn
【解析】
3?2
.


6.如图，在△ABC
中，
AB?2
，
AC?1
，
?BAC?120< br>，
O
是△
ABC
的外心，且
A
B
O
C

AO?
?
AB?
?
AC
，则
?< br>?
?
?
_________。
13
【解析】.
6

7.已知四面体的6条棱长分别为2、2、2、2、a、a，且这样的四面体恰有 两个，则
a
的取
值范围是___________________。
【解析】
6?2?a?22且a?2


8. 设
[x]< br>表示不超过
x
的最大整数，则
[(
【解析】设
?
?< br>5?1
2010
)]
被11除的余数是_________.
21?51?5
，
?
?
，则
?1?
?
?0
，
1?
?
?2
，且
?
?
?
?1
，
??
??1
，
22
nn
2
故
?
,
?
是方程
x?x?1?0
的两个不等实数根，令
A
n?
?
?
?
，则可得
A
n?2
?A
n? 1
?A
n
，
且
A
1
?1
，
A2
?3
，得数列
{A
n
}
被11除的余数构成数列为： 1，3，4，7，0，7，7，3，10，
2，1，3，4，…，是周期为10的数列.
又 当
n
是奇数时，
[(
1?5
n
1?5
n
) ]?A
n
，当
n
是偶数时，
[()]?A
n
?1< br>，故
A
2010
被11
22
除的余数为1.
22
9.已知
A?{(x,y)||x|?|y|?2}
，
B?{(x, y)|(x?6)?y?4}
，则
C?{(x,y)|x?

x
1< br>?x
2
y?y
2
,y?
1
,(x
1
,y
1
)?A,(x
2
,y
2
)?B}
所表示区域 的面积是_______________。
22
xyxyxy
【解析】
(x?
1
?3)
2
?(y?
1
)
2
?(< br>2
?3)
2
?(
2
)
2
?1
表示以
P(
1
?3,
1
)
为圆心，
222222
半径为
1
的圆及其内部；而
P
点在
A'?{(x,y)||x?3| ?|y|?1}
内运动，由图像可知，
面积为
2?42?
?








10.对于
n? 2
，
a
1
,a
2
,
?
,a
n为
1,2,?,n
的一个全排列，且满足有且只有一个
i?{1,2,?,n?1 }
，使得
a
i
?a
i?1
，则这种排
列的个数为_ _____________。
解：
a
1
?a
2
???a
i
,
a
i
?a
i?1
,
a
i?1
?a
i?2
?
?
?a
n

所以，对某个i 定下后，我们先从原集合中任意选出i个数，从小到大排列为
a
1
?a
2???a
i
,
剩下的数从小到大排列为
a
i?1
?a< br>i?2
?
?
?a
n
，由于
a
i
?a
i?1
，所以只要排除选出的恰好
是{1，2…，i}这种情况即可
i?p
n
?
?
(C?1)?
?
(C?1)?
?< br>C
n
?(n?1)?2
n
?n?1

i
n
i
n
i?1i?0i?0
n?1nn

(备选)11.使得
nsin1?5cos1?1
成立的最小正整数
n
的值 为_______________。
【解析】5

(备选)12.已知正方 体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
O
1
是底面
A
1
B
1
C1
D
1
的中心，
M
为
棱
BB
1
的中点，则四面体
O
1
ADM
的体积为________________ ___。

二、解答题（每题20分，共80分）
x
2
y
2
1
11、已知椭圆
?
的方程为
2
?
2
?1(a?b?0),
离心率e=,
F
1
是椭圆
?
的左焦点 ，直线
ab
2
111
??,
当△
ABF
1
的面积最大
l
过点M（
?2a,0)
交椭圆
?
于A、B两点 ，且
|AF
1
||BF
1
|12
时，求直线
l的方程。
1
解：∵椭圆
?
的离心率是，
2
3
1
∴c=a，b
2
=a
2
,
y
2
4
d
椭圆的方程可写为
22
2
B

3x?4y?3a
①
设直线l的方程为
x?my?2a
②
①、②联立 得
2
d
1
M
A
F
1
O
x
(3m
2
?4)y
2
?12may?9a
2
?0

依题意，该方程的判别式△>0，即
m?4?0
③ ................5分
设A（x
1
，y
1
)、B（x
2
，y
2
)两点到左准线的 距离分别为d
1
、d
2
，
则 |AF
1
|=
2
11
d
1
；|BF
1
|=d
2

22
又 d
1
=|my
1
| ；d
2
=|my
2
|
因此
11|m|
111
|?
??,
可化为
|?
④
|AF
1
||BF
1
|12y
1
y
224
9a
2
12ma
；
y
1
y
2
?

y
1
?y
2
?
3m
2
?4
3m
2
?4
|12ma| |m|
代入④式得 ，
?
2
9a24
解得 a=32， ................10分
S
?ABF
1

令
t?
9a
2
m
2
?4
13a
?
⑤ ...............15分
??|y
1
?y
2
|
=
23m
2
?4
22
m
2
?4(t? 0)

9a
2
t9a
2
t
?
2
? ??1923
， 则⑤式可化为
S
?ABF
1
?
23t?16
2
2?4?3t
16
2
当且仅当
t?
时，“=”成立，
3
221
此时
m??
，
3
221
y?64
， ∴ 直线l的方程为
x??
3

221
y?64?0
................20分
3
n
2
2
1a
n
?1
?a
n
?1
12、已知数列
?
a
n
?
满足
a
0
?,a
n
?
?1
, n?N
?
，求证：
n
2?1
2a
n?1
?1
证明：先证
a
n
?1

即
x?







2
a
n
?a
n?1
a
n?1
(a
n?1
?1)
易知
a
n
?0
，
a
n
?1?
?1
........... . 5分
?
a
n?1
?1a
n?1
?1
?
a
n?1
?1
与
a
n
?1
同号
1由
a
0
?
可得，
a
n
?1
，
?0?a
n
?1
..............10分
2
2
n
再证
a
n
?
n

2?1
2a
n?1
111
?a
n
??0
，
???
. ...............15分
a
n?1
?1an
2a
n?1
2
11111111
?0??1?(?1)?2
(?1)?
?
?
n
(?1)?
n

a
n
2a
n?1
2a
n?2
2a
0
22
n
11
??1?
n
，
?
a
n
?
n

a
n
2
2?1
.................20分
故结论成立。

13、已知正实数< br>x,y,z
满足
x?y?z?3
，求
u?
值。
解：因为正实数
x,y,z
满足
x?y?z?3

∴
0?x?3?2

由
222
222
2?x2?y 2?z
??
的最小
222
4x?x4y?y4z?z
92
? ?5

4x?x
2
2?x
2?x18?5x

?[ 5(2?x)?2]?
4x?x
2
99
2?y8?5y2?z8?5z
?,?

4y?y
2
94z?z
2
9
得
同理
∴
又
2?x2?y2?z85
????(x?y?z)

4x?x
2
4y?y
2
4z?z
2
39
(x?y ?z)
2
?3(x
2
?y
2
?z
2
)?9

?x?y?z?3

85
??(x?y?z)?1

39

?
2?x2?y2?z
???1
……20分
4x?x
2
4y?y
2
4z?z
2

14、求所有的实数
p
，使不等式：
11?3
p
1?3< br>p
?5
p
1?3
p
?????(2n?1)
p
成立。
?
p
?
p
?????
ppppppp
3 5?77?9?11(2n?1)?(2n?3)?????(4n?1)
答案: 0<
p
<1
考虑
p
=0,1时
11?3
p1?3
p
?5
p
1?3
p
?????(2n?1)p
?
p
?
p
????
?

pppp< br>ppp
35?77?9?11
(2n?1)?(2n?3)?????(4n?1)再考察
p
=2，
?1
时不等式不成立，所以猜测0<
p
<1，以下证明。
p
当
p
∈（0,1）时
x
为上凸函数， 所以
x?
（0,1）时
(1?x)?(1?x)
为减函数。令
x?< br>pp
1
2k
得：
(1?
1
p
111
)?(1?)
p
?(1?)
p
?(1?)
p
整理得： 2k2k2k?22k?2
bd
(2k?1)
p
?(2k?1)
p
(2k?3)
p
?(2k?1)
p
1
p
?3p
。利用：
?
时有
??????
ppp
ac
k(k?1)1
bb?dd
??(a,b,c,d?0)
得：
aa?cc< br>1
p
?3
p
?????(4n?1)
p
1
p
?3
p
?5
p
?7
p
1
p
?3< br>p
。
??????
pppp
1?3?????(2n?1)1?31
两边减1既得所求不等式。




(备选)定义在(0,1]
上的连续函数
f(x)
满足对所有的
x,y?(0,1]有
a?f(x?y?xy)?f(x)f(y)?f(x)?f(y)
.……①
求所有的实数
a
，使得存在
f(x)
是非常值函数.
解：在式①中，令
x?y?1
，得
a?f(1)?f
2
(1)?2f(1)
，故
a?
1?[f(1)?
1
]
2
?
1
. ……5分
424
若
a?
1
，取函数
f
：定义域是
(0,1]
，值域是
[
1
,min{
3
?a,1} ]
，则对
x,y?(0,1]
，有
424
a?f(x?y?xy)?f(x)f(y)?(f(x)?f(y))

?a?f(x?y?xy)?(1?f(x))(1?f(y))?1

?a?
3
?a?
1
?
1
?1?0
. ……10分
422
若
a?
1
，仍然在式①中令
x?y?1
，有
(f(1)?
1
)
2
?0
，则
f(1 )?
1
.
2
42
在式①中，令
y?1
，得 a?f(1)?f(1)f(x)?f(1)?f(x)
，故
f(x)?
1
(x?(0,1]).

2
在式①中令
x?y
，得
f( 2x?x
2
)?2f(x)?f
2
(x)?
1
?
3
.
44

当
x
取遍
(0,1]
的所 有实数时，
2x?x
2
?1?(1?x)
2
也取遍
(0,1 ]
的所有实数，故
13
24
设
t
是函数
f(x)
的最大值，则
总有
f(x)?[,]
. ……15分
t?f
max
(x)?f
max
(2x?x
2
)
?[2f(x)?f
2
(x)?
1
]
max?[?(f
2
(x)?1)
2
?
3
]
max< br>
44

?
3
?(1?t)
2
.
4
即
(t?1
)
2
?0
，从而，
t?
1
.故
f( x)?
1
.
222
故所求的
a
的取值范围是
a?
1
.

4