高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十一3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的

课时分层作业 二十一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·深圳模拟)为了得到函数y=cos2x的图象,只要将函数y=sin2x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选A.y=cos 2x=sin =sin 2,故只需将函数y=sin 2x的图象向左平移个
单位长度即可得到y=cos 2x的图象.
2.(2018·德州模拟)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象
如图,则ω等于 ( )
A.5B.4
C.3D.2
【解析】选B. 由题图可知=x
0
+-x
0
=,即T==,故ω=4.
3.(20 18·九江模拟)设ω>0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移
最小值是 ( )
个单位后与原图象重合,则ω的
A.B.C.D.3
【解析】选D.因为图象向左平 移个单位后与原图象重合,所以是一个周期的整数倍.所以=T≤
,ω≥3,所以ω最小是3.
4.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若 f
f(x)的最小正周期大于2π,则 ( )
=2,f=0,且

A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
【解析】选A.由题意其中k
1
,k2
∈Z,所以ω=(k
2
-2k
1
)-,又T=>2π,
所以0<ω<1,所以ω=,φ=2k
1
π+π,由<π得φ=.
【光速解题】选 A.由“f=2,f=0,”可推测=,T=3π,符合“f(x)的最小正周期大于2
π”,易得ω= ,代入解析式,结合“f=2,f=0,易求φ=.
5.(2018·太原模拟)将函数f(x)=c os2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x),则g(x)具有性质
( )
A.最大值为1,图象关于直线x=对称
B.在上单调递增,为奇函数
C.在上单调递增,为偶函数
D.周期为π,图象关于点对称
【解析】选B.将函 数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2(x-)=sin2x 的图
象,故当x∈时,2x∈,故函数g(x)在上单调递增,为奇函数.

【 变式备选】(2018·临汾模拟)把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来
的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:
①该函数的解析式为y=2sin
函数;
;②该函数图象关于点对称;③该函数在上 是增
④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号是________ .
【解析】将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin 2 =sin(2x+)的图象,然后
纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以①不正确.
f=2sin=2sin π=0,
所以函数图象关于点对称,所以②正确.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为
,k∈Z,所以③不正确.
y=f(x)+a=2sin+a,
当0≤x≤时,≤2x+≤,
所以当2x+= ,即x=时,函数取得最小值,y
min
=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,
所以④正确,所以正确判断的序号为②④.
答案:②④
二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2018·长沙模拟)将函数y=
θ的最小值是________.
cosx+sinx的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后关于y轴对称,则
【解析】函数 y=cos x+sin x=sin,图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,可得
sin关于y轴 对称,所以-θ=+kπ,k∈Z.即θ=--kπ.
因为θ>0,当k=-1时,可得θ的最小值为.
答案:
7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)
__________.
,y=f(x)的部分图象如图所示,则f等于

【解析】由题图可知T=2×=,所以ω==2.
即f(x)=Atan(2x+φ),又因为f=0,
故Atan=0,|φ|<,所以φ=,因为f(0)=1,所以Atan=1,即A=1,
即f(x)=tan,
所以f
答案:
=tan=tan=.

8.已知关于x的方程2sin
________.
+1-a=0 在区间上存在两个根,则实数a的取值范围是
【解题指南】将原方程化为sin
围.
=,数形结合分析满足的条件,求出a的取值范
【解析】2sin+1-a=0化为sin=,令t=x +,由x∈得,t=x+∈
,
画出函数y=sin t, t∈的图象和直线y=,当≤<1时,即2≤a<3时,
函数y=sin t, t∈的图象和直线y=有两个公共点,原方程有两个根.
答案:[2,3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数y=f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的周期为π.


(1)求函数y=f(x)的振幅、初相.
(2)用五点法作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
(3)说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
【解析】(1)因为函数y=f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0)的周期为T ==π,所以ω=2,
即y=f(x)=2sin
(2)列表
,振幅为2,初相为.
0
2x+
x
-
y
描点连线,
0 2


π
π
2π

0

-2 0

(3)由y=sin x的图象向左平移个单 位,再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的,再把所得图象上的
各点的纵坐标变为原来的2倍即可得 到函数y=f(x)的图象.
10.如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛 道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线
段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0 ,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,
求A,ω的值和M, P两点间的距离.

【解析】依题意,有A=2,=3,又T=,
所以ω=,
所以y=2sin x,x∈[0,4],
所以当x=4时,y=2sin
所以M(4,3),又P(8,0),
所以MP=
=3,
=

=5(km),
即M,P两点间的距离为5 km.
1.(5分)(2018·锦州模拟)定义运算=ad- bc.将函数f(x)=的图象向左平移
（ ） )
φ(φ>0)个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值为
A.B.πC.D.π

【解析】选D.f(x)==cosx-sinx=2cos,向左平移φ个单位得到< br>y=2cos,由题意y=2cos是偶函数,所以+φ=kπ(k∈Z),即
φ=kπ-(φ> 0).故当k=1时,φ的最小值为π.
2.(5分)2017年,某市将投资1510.77亿进行 城乡建设.其中将对奥林匹克公园进行二期扩建,拟建该市最
大的摩天轮建筑.其旋转半径50米,最高 点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上
摩天轮,则第7分钟时他距地面大 约为 ( )

A.75米B.85米
C.100米D.110米
【解析】选B.设该人与地面高度与时间t的关系f(t)=Asin(ωt+φ)+B (A>0,ω >0,φ∈[0,2π)),由题意
可知:A=50,B=110-50=60,T==21,所以ω= ,
即 f(t)=50sin+60,
又因为f(0)=110-100=10,即sin φ=-1,故φ=,所以f(t)=50sin+60,
所以f(7)=50sin+60=85.
22
【变式备选】(2018·郑州模拟)动点A(x,y)在圆x+y=1上绕坐标原点沿逆 时针方向匀速旋转,其初始位置
为A
0
,12秒旋转一周,则动点的纵坐标关于时间( 单位:秒)的函数解析式为 ( )
A.y=sinB.y=cos
C.y=sinD.y=cos

【解析】选C.因为动点初始位置为A
0
(,),所以t=0时,y=
转一周,所以函数周期为12,可排除选项D.
, 可排除选项A,B;又因为动点12秒旋
3.(5分)(2018·杭州模拟)已知y=f(x)=As in(ωx+φ)的图象如图所示,
为了得到y=cos2x的图象,则只需将y=f(x)的图象向_ _______平移________个单位长度.

【解析】由题图可知,A=1,T=π,所以ω==2,
又f=sin=-1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),
故φ=+2kπ(k∈Z),又因为|φ|<,故φ=,
所以f(x)=sin=sin=cos.
故将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=cos=cos 2x的图象.
答案:左
4.(12分)(2017·山东高考)设函数f(x)=sin(ωx-)+sin

(1)求ω.
,其中0<ω<3,已知f=0,
(2)将函数y=f(x)的图象上 各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单
位,得到函数y=g(x )的图象,求g(x)在
【解析】(1)因为f(x)
上的最小值.

=sin+sin,
所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
=sin ωx-cos ωx
=
=sin.
由题设知f=0,
所以-=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,
所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin,所以
g(x)=sin=sin,
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
5.(13分)(2018·济宁模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.
(2)令ω=2,将函数y=f(x )的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图
象.
①求函数y=g(x)的解析式,并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象;
②对任意a∈R,求函数y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值.

【解题指南】(1)利用正弦函数的单调性可得ω·≤,由此求得ω的取值范围. (2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,再用五点法作函数y= g(x)在一个周期上
的图象,进而判断零点个数.
【解析】(1)因为在上,函数f(x)=2sin(ωx)单调递增,所以ω·≤,
求得ω≤,所以ω的取值范围为.
(2)①令ω=2,将函数y=f(x)=2sin 2x 的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin 2
的图象,再向上平移1个单位长度,得到函数y= g(x)=2sin
即函数y=g(x)的解析式为 y=g(x)
+1的图象.
=2sin+1.列表:
0
2x+
x
-
y 1 3

1

-1 1


π

2π
作图:

②对任意a∈R,由于函数y=g(x)的周期为π,g( x)在区间[a,a+10π]上,共有10个周期,
故函数g(x)最多有21个零点,最少有20个零点.零点个数的所有可能值为20,21.