2019年全国高中数学联赛一试A卷(word版)

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2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.
已知正实数满足，则的值为.
2.
若实数集的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的
值为.
3.
平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意
实数成立，则的取值范围是.
4.
设为椭圆的长轴顶点，为的两个焦点，，
，
为上一点，满足，则的面积为.
5.
在中随机选出一个数，在中随机选出一个数
，则被整除的概率为.
6.
对任意闭区间，用表示函数在上的最大值.若正数满足
，则的值为.
7.
如图，正方体的一个截面经过顶点
及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，
则的值为.
8.
将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数（首位不为），则
产生的不同的位数的个数为.
二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.
在中，，，.若是与的等比中项，且是
与的等差中项，求的值.
10.
在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴
相切于的焦点.求圆的半径.
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11.
称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数，均有
.求最大的常数，使得对一切有趣的数列及任意正
整数，均有
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