人教版A版式高一数学知识点公式汇总

高一数学知识点汇总
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集
R
1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合
(2) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
B或B
?
?
A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集
二、函数
幂、指数、对数的运算
1.方根的定义、性质：
(1)，，；
(2)，，。
2.指数性质与运算法则：
， ， ，
， ，
3.对数性质：
若a＞0且a≠1，则， ， （3）零与负数没有
对数，
对数运算法则：
若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，b＞0且b≠1，则
，
， （4）换底公式
4.指数与对数式的恒等变形：
； 。

幂函数的图象与性质
1、幂函数在第一象限的图象特征
2、幂函数性质：
（1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；
（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；
（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如
（4）幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。

指、对数函数的图象与性质

一般式

分类

图

像
定义域


值域


过定点 （0，1） （1，0）

值分

布

图象关
图象关于轴对称 图象关于轴对称
系

图象关于直线对称

方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函 数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y ?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)的图
象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1
○
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
2
○
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二 次函数
y?ax
2
?bx?c
(
a?
0)
． （1）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?
0
有两不等实根，二次 函数的图象与
x
轴有两个交点，二次函
数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?
0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个交点，二次函
数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?
0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交 点，二次函数无零点．
三、平面向量
向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
相等向量：长度相等且方向相同的向量
平面向量
(一)、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：(1)向量法：|
a
| =
a?a?a
2
; (2)坐标法：设
a
=（x，y），则|
a
| =
x
2
?y
2

2、平行向量：规定：零向量与任一向量平 行。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x< br>2
，y
2
），λ为实数
向量法：
a
∥
b< br>（
b
≠
0
）<=>
a
=λ
b

坐标法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<= > x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0 <=>
x
1
x
2
y
?
（y
1
≠0 ，y
2
≠0）
1
y
2
3、垂直向量： 规定：零向量与任一向量垂直。设
a
=（x
1
，y
1
），< br>b
=（x
2
，y
2
）
向量法：
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0 坐标法：
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
4.平面两点间的距离公式
d
A,B
=
|
u
AB
uur
|?
uAB
uur
?
u
AB
uur
?(x
22
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
,y
2
)
).
(二)、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2） 坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（ x
2
，y
2
），则
a
+
b
=（x
1
+ x
2
，y
1
+ y
2
）
(三)、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法： 设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
-
b
=（x
1
- x
2
，y
1
- y
2
）
（3）、重要结论：| |
a
| - |
b
| | ≤ |
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|
(四)、两个向量的夹角计算公式：
（1）向量法：cos
?
=
a?b
|a||b|

（2）坐标法：设
a
=（x< br>1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2< br>），则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

x
2
?y
2
11
x
22
2
?y
2
(五)、平面向量的数量积计算公式：
（1）向量法：
a
·
b
= |
a
| |
b
| cos
?

（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2

（3） a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
1. 结合律:λ(μa) =(λμ)a;(2)分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)分配律:λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2< br>e
2
．不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内
所有向量的一组基底．
（七）.三角形的重心坐标公式 :△ABC三个顶点的坐标分别为< br>A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
3
,
3< br>)

四、三角函数
1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法4、
三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性

函



y?sinx

y?cosx

y?tanx

质
数
图象


定义
?
域
R

R

?
?
xx?k
?
?
?
?
2
,k??
?
?
值域
?
?1,1
?

?
?1,1
?

R

当
x?
2< br>k
?
?
?
k??
2
?
k??
?当
x?2k
?
??
时，
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

最值
时，< br>y
max
?1
；当
??
?
时，
y
m in
??1
．
既无最大值也无最小值
x?2k
?
?
?
?
k
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期
2
?

2
?

?

奇偶奇函数 偶函数 奇函数
性
单调
在
?
?
? ?
?
在
?
2k
?
?
?
,2k
?< br>?
?
k??
?
?
?
2
k
?
?
性
2
,2
k
?
?
2
?
?

?
上是增函数；在
在
?
?
k
?
?
???
2
,
k
?
?
2
?
?

k??
?
上是增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
?
2k
?< br>?
3
?
?
?
k??
?
上是减函数．
?
?
2
,2k
?
?
2
?
?

?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称中心
对称
?
k
?
性
对称轴
x?k
?
?
?
?
k??
?

?
?
k
?
?
?
,0
?
对称中心< br>?
2
?
2
?
?
?
k??
?

?
2
,0
?
?
?
?
k??
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴

必修四
角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限
角．
第一象限角的集合为
?
?
k?360
o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??
?

第二象限 角的集合为
?
?
k?360
o
?90
o
?k?36 0
o
?180
o
,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360
o
?180
o
?
?
?k?360
o
?270
o
,k??
?

第四象 限角的集合为
?
?
k?360
o
?270
o
??
?k?360
o
?360
o
,k??
?
< br>终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
o< br>,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
o
?90
o
,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90
o
,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
? k?360
o
?
?
,k??
?

4、已知
?
是第几象限角，确定
?
?
n??
*
n
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的
正半轴的上方 起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为
?
n
终
边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三 角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋ α）＝tanα
公式二：
设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα
公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosαcos（π2＋α）＝－sinαtan（π2＋α）＝－cotα
sin（π2－α）＝cosαcos（π2－α）＝sinαtan（π2－α）＝cotα
sin（3π2＋α）＝－cosαcos（3π2＋α）＝sinαtan（3π2＋α）＝－cotα < br>sin（3π2－α）＝－cosαcos（3π2－α）＝－sinαtan（3π2－α）＝cotα
(以上k∈Z)
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
商的关系：sinαcosα＝tanα
平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
两角和差公式






★倍角公式
★两角和（差）的正弦、余弦、正切公式 积化和差公式
①+②
?
?
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?



sin(
?
?
?
)?sin
?
cos< br>?
?sin
?
cos
?
①
①-②
si n(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?si n
?
cos
?
②
22
cos2
?
?c os
?
?sin
?
（
sin
2
?
?
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
co s
?
?sin
?
sin
?
③
③+④
③-④
?
?cos
?
?1
）→
?2cos
?
?1

2
22
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
? ④


?1?2sin
?

2tan
?

tan2
?
?

1?tan
2
?
?
?
?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
?tan
?
1
sin
?
?c os
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]

2
1
sin
?
?cos?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
??
)]

2
1
cos
?
?cos
?< br>?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?< br>)]
2
1
sin
?
?sin
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]

2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
令 则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2