高中数学人教版A选修(2-3)综合测试题

高中数学选修（2-3）综合测试题（1）
一、选择题
1．已知
a?
?
?1，
则方程
(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?R
2
所表示的
2，3
?
，b?
?
013，，，4
?
，R?
?
1，2
?
，
不同的圆 的个数有（ ）
Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14
Ｄ．3+4+2=9
答案：Ａ
2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人 ，从这10名运动员
中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ）
Ａ．
(A
5
2
)
2
Ｂ．
(C
5
2
)
2
Ｃ．
(C
5
2
)
2
·A
4
2
Ｄ．
(C
5
2
)
2
·A
2
2

答案：Ｄ
3．
(1?x)
3
?(1?x)
4
?? (1?x)
n?2
的展开式中
x
2
的系数是（ ）
Ａ．
C
n
3
?3
Ｂ．
C
n
3
?2
Ｃ．
C
n
3
?2
?1
Ｄ．
C
n
3
?3
?1

答案：Ｄ
4．从标有1，2，3，?，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数
的概率为（ ）
Ａ． Ｂ．
答案：Ｃ
5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不 放回地依次
摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率
为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．
3
5
1
2
7811
Ｃ． Ｄ．
8918
2
5
15
Ｄ．
109
第 1 页 共 24 页

答案：Ｄ
6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品 占70%，乙厂产品占30%，甲厂产
品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买 到一个
是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）
Ａ．0.665 B．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285
答案：Ａ
7．正态总体的概率密度函数为
f(x)?
准差分别为（ ）
Ａ．0，8 B．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2
答案：Ｄ
2)B(2，，3)C(3，，4) D(4，5)
，8．在一次试验中，测得
(x，y)
的四组值分别是
A(1， ，
1
8π
e
?
x
2
(x?R)
8
，则总体的平均数和标
则
y
与
x
之间的回归直线方程为（ ）
Ａ．
y?x?1
Ｂ．
y?x?2

Ｃ．
y?2x?1

Ｄ．
y?x?1

答案：Ａ
9．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰
有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）
Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20
答案：Ｃ
10．若随机变量η的分布列如下：
?2

?1

0 1 2 3
第 2 页 共 24 页

000000
.1 .2 .2 .3 .1 .1
则当
P(
?
?x)?0.8
时，实数
x
的取值范围是（ ）
Ａ．
x
≤2 Ｂ．1≤
x
≤2 Ｃ．1＜
x
≤2 Ｄ．1＜
x
＜2
答案：Ｃ
11． 春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同
事中，给其发短信拜年的概率为1，0. 8，0.5，0的人数分别为8，
15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数 为（ ）
Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8
答案：Ａ
12．已知ξ的分布列如下：
1 2 3 4
1
4

并 且
?
?2
?
?3
，则方差
D
?
?
（ ）
1
3
1
6
1
4
Ａ．
179
Ｂ．
143
Ｃ．
299
Ｄ．
227

36367272
答案：Ａ
二、填空题
13．某仪表显示屏上一排有7个 小孔，每个小孔可显示出0或1，若
每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以
显示的不同信号的种数有 种．
第 3 页 共 24 页

答案：80
14．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中
的 四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有
对异面直线 ．
答案：15
15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是
1?(0.1)
4
．
其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．
答案：①③
16 ．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的
概率分别为0.4，0.1，0.5； 狙击手乙得1分、2分、3分的概率分
别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．
答案：乙
三、解答题
17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
第 4 页 共 24 页

解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放
法，由分步乘法计数原理，放法共有：
4
4
?256
种．
（2） 为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1
个，即将4个球分成2，1，1的三组， 有
C
4
2
种分法；然后再从三个盒
子中选一个放两个球，其余两个球 ，两个盒子，全排列即可.由分步
1212
乘法计数原理，共有放法：
C
4< br>·C
4
·C
3
·A
2
?144
种．
（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.
因此，“恰有一个盒内放2球” 与“恰有一个盒子不放球”是一回事.
故也有144种放法.
（4）先从四个盒子中任意拿走 两个有
C
4
2
种，问题转化为：“4个球，
两个盒子，每盒必放球， 有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，
1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个， 然后放入指定的
1
一个盒子中即可，有
C
4
3
·C
2
种放法；第二类：有
C
4
2
种放法.因此共有
313C
4
·C
2
?C
4
?14
种.由分步乘法计数 原理得“恰有两个盒子不放球”的放
法有：
C
4
2
·14?84种．
18．求
(1?x)
2
(1?x)
5
的展开式中
x
3
的系数．
解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.
( 1?x)
2
(1?x)
5
?(1?x
2
)
2
(1?x)
3
?(1?2x
2
?x
4
)(1?3x?3x
2
?x
3
)
．
所以
x
3
是由第 一个括号内的1与第二括号内的
?x
3
的相乘和第一个括
号内的
?2 x
2
与第二个括号内的
?3x
相乘后再相加而得到，故
x
3
的系数为
1?(?1)?(?2)?(?3)?5
．
解法二：利用通项公式 ，因
(1?x)
2
的通项公式为
T
r?1
?C
2< br>r
·x
r
，
第 5 页 共 24 页

(1?x)
5
的通项公式为
T
k?1
?(?1)
k
C
5
k
·x
k
，
其中
r?
?< br>01，，2
?
，k?
?
01，，2，3，4，5
?
， 令
k?r?3
，
则
?
?
k?1，
?
k? 2，
?
k?3，
或
?
或
?

r?2，r?1，
r?0．
?
??
13
故
x
3
的系数为
?C
5
1
?C
2
·C
5
2
?C
5
?5
．
19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人
的调查结果如下：
患

胃病
生活不
60
规律
生活有
20
规律
合计 80 460
40
根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有
关吗？
解：由公式得
540?(60?200?260?20)
2
k?
3 20?220?80?460
未患
胃病
260
合
计
3
20
2
200
20
5

540? (12000?5200)
2
2496960
???9.638
．
2592
∵9.638?7.879
，
∴
我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有
第 6 页 共 24 页

关，即生活不规律的人易患胃病.
20．一个医生 已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否
有效，把它给10个病人服用，且规定若10个 病人中至少有4个被治
好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概
率；
（2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．
解：记一个病人服用该药痊愈率为事件
A
，且其概率为
p
，那么10个
病人服用该药相当于10次独立重复 实验.
(1) 因新药有效且
p
=0.35，故由
n
次独立重复试 验中事件
A
发生
k
次的概率公式知，实验被否定（即新药无效）的概率为：
001011922x337
P
10
(0)?P
10
(1) ?P
10
(2)?P
10
(3)?C
10
p(1?p)?C
10
p(1?p)?C
10
p(1?p)?C
10
p(1? p)?0.514
．
（2）因新药无效，故
p
=0.25，实验被认为有效的概率为：
P
10
(4)?P
10
(5)??P
10
(10)?1?(P
10
(0)?P
10
(1)?P
10
(2)?P
10(3))?0.224
．
即新药有效，但被否定的概率约为0.514；
新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.
21．
A，B
两个代表队 进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，
A
队队员是
A
1
，A
2
，A
3
，
B
队队员是
B
1
，B
2
，B
3
，按以往多次比赛的统计，对阵队员之
间的胜负概率如下：
对阵
队员
A
队队员胜的
A
队队员负的
概率
第 7 页 共 24 页
概率

A
1
对
B
1

A
2
对
B
2

A
3
对
B
3

2
3



1

3
2
5
2
5
3

5
3

5
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设
A
队，
B
队最后所得总分分别为
?
，
?
．
(1)求
?
，
?
的概率分布列；
(2)求
E
?
，
E
?
．
解：（1）
?
，
?
的可能取值分别为3，2，1，0．
222822312223228
；
P(
?
?3)????
；
P(
?
?2)??????????
3557535535535575
2331231322
P(
?
?1)??????????
；
3553553555
1333
P(
?
?0)????
．
35525
由题意知
?
?
?
?3
，
所以
P(
?
?0)?P(
?
?3)?
P(
?
? 1)?P(
?
?2)?
P(
?
?2)?P(
?
?1 )?
P(
?
?3)?P(
?
?0)?
8
；
75
28
；
75
2
；
5
3
．
25
?
的分布列为
3 2 1 0
8
75
28
75
2
5
3
25

第 8 页 共 24 页

?
的分布列为
0 1 2 3
8
75
28
75
2
5
3
25
（2）
E
?
?3?
8282322
，
?2??1 ??0??
757552515
15
因为
?
?
?
? 3
，所以
E
?
?3?E
?
?
23
． 22．规定
A
x
m
?x(x?1)(x?m?1)
，其中
x?R
，
m
为正整数，且
A
x
0
?1
， 这是
排列数
A
n
m
(
n
，
m
是 正整数，且
m
≤
n
)的一种推广．
（1）求
A
?
3
15
的值；
（2）排列数的两个 性质：①
A
n
m
?nA
n
m
?
?
1
1
，②
A
n
m
?mA
n
m?1
?A
n
m
?1
(其中
m
，
n
是正整数) ．是否都能推广到
A
x
m
(
x?R
，
m
是 正整数)的情形？若能推
广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数
A
x
3
的单调区间．
解：（1）
A
?
3
15
?(?15)?(?16)?(?17)??4080
；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①
A
x
m
?xA
x
m
?
?
1
1
，
②
A< br>x
m
?mA
x
m?1
?A
x
m
?1
(x?R，m?N
?
)
．
事实上，在①中，当
m?1时，左边
?A
1
x
?x
，
右边
?xA
x
0
?1
?x
，等式成立；
01
在②中，当
m?1
时，左边
?A
1
x
?Ax
?x?1?A
x?1
?
右边，等式成立；
当
m≥
2
时，左边
?x(x?1)(x?2)
?
x(x?1)(x? 2)
(x?m?1)?mx(x?1)(x?2)(x?m?2)

(x?m?2)[(x?m?1)?m]

m
?(x?1)x(x?1)(x ?2)[(x?1)?m?1]?A
x?1
?
右边，
因此②
Ax
m
?mA
x
m?1
?A
x
m
?1< br>(x?R，m?N
?
)
成立．
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（3）先求导数，得
(A
x
3
)
?
?3x
2
?6x?2
．
令
3x
2
?6 x?2?0
，解得
x?
3?
3?
因此，当
x?
?< br>?∞，
?
?
3?
当
x?
?
?
??
3
?
3
3
或
x?
3?3
3
．
3
?
?
时，函数为增函数，
3
?
?
3
?
，?∞
?
?
时，函数也为增函数，
?
33
令
3x
2
?6x?2
≤
0
，解得
3 ?
因此，当
x?
?
3?
?
?
≤
x
≤
3?3
3
，
33?3
?
，
?
时，函数为减函数，
33
???
3?3
??
3?33?3
?
3?3
?
3< br>的增区间为
?
，；减区间为
?∞，，?∞，
∴
函数
A
x
???
??

???
3
?
333
??????
高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）

一、选择题 < br>1．已知
a?
?
?1，2，3
?
，b?
?
0 ，1，3，4，2
?
，R?
?
1
?
，则方程
(x? a)
2
?(y?b)
2
?R
2
所表示的不同的
圆的 个数有（ ）
Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9

答案：Ａ

2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六 人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人
一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（ ）
Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种

答案：Ｄ


1
??
3．
?
xx?
4
?< br>的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式
x
??
n
中的常数项是（ ）
Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项

答案：Ｂ

4．从标有1，2，3，?，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（ ）
第 10 页 共 24 页

Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118

答案：Ｃ

5．在10个球中有6个红球和4个白球（各 不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次
摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ）
Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59

答案：Ｄ

6．正态总体的概率密度函数为
f(x)?
1
8π
e
?
x
2
(x?R)
8
，则总体的平均数和标准差分别为（ ）
Ａ．0，8 B．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2

答案：Ｄ

，，2)B(2，，3)C(3，，4)D(4，5)
，则
y
与
x< br>之7．在一次试验中，测得
(x，y)
的四组值分别是
A(1
间的回归 直线方程为（ ）
Ａ．
y?x?1

Ｃ．
y?2x?1



Ｂ．
y?x?2

Ｄ．
y?x?1


答案：Ａ

8．用0，1， 2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两
个奇数数字之间的五位数 的个数是（ ）
Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20

答案：Ｃ

9．若随机变量η的分布列如下：
0 1 2 3
?
?
000000
.1 .2 .2 .3 .1 .1



则当
P(
?
?x)?0.8
时，实数
x
的取值范围是（ ）
Ａ．
x
≤2 Ｂ．1≤
x
≤2 Ｃ．1＜
x
≤2 Ｄ．1＜
x
＜2

答案：Ｃ

10．春节期间，国人发 短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年
的概率为1，0.8，0.5，0的 人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到
第 11 页 共 24 页

同事的拜年短信数为（ ）
Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8

答案：Ａ

11．在4次独立重复试验中事件A
出现的概率相同，若事件
A
至少发生1次的概率为6581，
则事件< br>A
在1次试验中出现的概率为（ ）
1
Ａ．
3

答案：Ａ

Ｂ．
2

5
Ｃ．
5

6
Ｄ．
2

3?
1
?
12．已知随机变量
?
~B
?
9，?
则使
P(
?
?k)
取得最大值的
k
值为（ ）
?
5
?
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5

答案：Ａ

二、填空题
13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔 可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，
但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号 的种数有 种．

答案：80

14．已知平面上有20个不同的 点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这
20个点中的每两个点可以连 条直线．

答案：170

15．某射手射击1次，击中目标的概率是0 .9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标
相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是
1?(0.1)
4
．
其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．

答案：①③

16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸 出
5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 （以数值作答）．

答案：
13

63
第 12 页 共 24 页

三、解答题
17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球 都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原
理，放法共有：
4
4
?256种．
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2 ，
2
1，1的三组，有
C
4
种分法；然后再从三个盒子中选一个放两 个球，其余两个球，两个盒子，
1212
全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：
C
4
·C
4
·C
3
·A
2
?144种．
（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内 放
2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.
2
（4）先从 四个盒子中任意拿走两个有
C
4
种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中
3 12
先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有
C
4
种放法；第二类：有
C
4
种放法.因此
·C
2
3132
共有
C
4
“恰有两个盒子不放球”的放法有：
·C
2
?C
4
?14
种.由分步乘法计数原理得
C
4
·14?84
种．


18．求
(1?x)
2
(1?x)
5
的展开式中
x
3
的系数．

解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.
(1?x)
2
(1?x)< br>5
?(1?x
2
)
2
(1?x)
3
?(1? 2x
2
?x
4
)(1?3x?3x
2
?x
3
)
．
所以
x
3
是由第一个括号内的1与第二括号内的
? x
3
的相乘和第一个括号内的
?2x
2
与第二个
括号内的< br>?3x
相乘后再相加而得到，故
x
3
的系数为
1?(?1)? (?2)?(?3)?5
．
r
·x
r
， 解法二：利用通项公式， 因
(1?x)
2
的通项公式为
T
r?1
?C
2(1?x)
5
的通项公式为
T
k?1
?(?1)
kC
5
k
·x
k
，
，，2
?
，k?< br>?
01，，2，3，4，5
?
，令
k?r?3
， 其中
r?
?
01
，
?
k?2，
?
k?3，
?
k?1
则
?
或
?
或
?

r?2，
r?1，
r?0．
?
??
第 13 页 共 24 页

1123
故
x
3
的系数为
? C
5
?C
2
·C
5
?C
5
?5
．


19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：

生活不
规律
生活有
规律
合计
患
胃病
60
20
80
未患
胃病
260
200
460
合
计
3
20
2
20
5
40

根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？

解：由公式得
540?(60?200?260?20)
2

k?
320?220?80?460
540?(12000?5200)
2
249 6960
???9.638
．
2592
∵9.638?7.879
，
∴
我们有99.5%的把握 认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的
人易患胃病.


20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病
人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，
试求：
（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率；
（2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．

解：记一个病人服用该药痊 愈率为事件
A
，且其概率为
p
，那么10个病人服用该药相当于
10 次独立重复实验.
(2) 因新药有效且
p
=0.35，故由
n
次 独立重复试验中事件
A
发生
k
次的概率公式知，实验被
否定（即新药 无效）的概率为：
001011922x337
P
10
(0)?P
10
(1)?P
10
(2)?P
10
(3)?C
10p(1?p)?C
10
p(1?p)?C
10
p(1?p)?C
10
p(1?p)?0.514
．
（2）因新药无效，故
p
=0.25，实验被认为有效的概率为：
P?P< br>10
(4)?P
10
(5)?
10
(10)?1?(P
10
(0)?P
10
(1)?P
10
(2)?P
10(3))?0.224
．
即新药有效，但被否定的概率约为0.514；
新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.

第 14 页 共 24 页

21．
A，B
两个代表队进行乒乓球对抗赛，每 队三名队员，
A
队队员是
A
1
，A
2
，A
3
，
B
队队
员是
B
1
，B
2
，B
3
，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵
队员
A
1
对
B
1

A
2
对
B
2

A
3
对
B
3

A
队队员胜的
概率
2

3
2

5
2

5
A
队队员负的
概率
1

3
3

5
3

5

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队 得0分，设
A
队，
B
队最后所得总分分别为
?
，
?
．
(1)求
?
，
?
的概率分布列；
(2)求
E
?
，
E
?
．

解：（1）
?
，
?
的可能取值分别为3，2，1，0．
222822312223228
；
P(
?
?3)????
；
P(
?
?2)??????????
3557535535535575
2331231322
P(
?
?1)??????????
；
3553553555
1333
P(
?
?0)????
．
35525
由题意知
?
?
?
?3
，
所以
P(
?
?0)?P(
?
?3)?
8
；
75
P(
?
?1)?P(
?
?2)?
P(
?
?2)?P(
?
?1)?
P(
?
?3)?P(
?
?0)?
28
；
75
2
；
5

3
．
25
3 2 1 0
?
的分布列为
8
75

28
75
2
5
3
25
?
的分布列为
0 1 2 3
8
75

28
75
2
5
3
25
第 15 页 共 24 页

（2）
E
?
?3?
8282322
，
?2??1??0??
757552515
23
．
15
因 为
?
?
?
?3
，所以
E
?
?3?E
?
?


22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之 间的关系，从这个工业部门
内随机抽选了10个企业作样本，有如下资料：
产量（千
件）
x

40
42
48
55
65
生产
费用
（千
元）
y

150
140
160
170
150


完成下列要求：
（1）计算
x
与
y
的相关系数；
（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；
（3）设回归直线方程为
y ?bx?a
，求系数
a
，
b
．

解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定
r
0.05
．
(1)制表
xy
i

x
i
y
i

产量（千
件）
x

79
88
100
120
140
生产
费用
（千
元）
y

162
185
165
190
185
i

1

2
3
4
5
6
7
8
0
x
i
2

y
i
2

4
50
4
2
4
8
5
5
6
5
7
9
8
8
1
85
62
50
70
60
40
1
1
1
1
1
1
1
1
1
600
1
764
2
304
3
025
4
225
6
241
7
744
1
22
500
19
600
25
600
28
900
22
500
26
244
34
225
27
60
00
58
80
76
80
93
50
97
50
12
798
16
280
16
第 16 页 共 24 页

00
9
1
0 40
1
20
1
65
1
90
1
85
0000
1
4400
1
9600
225
36
100
34
225
27
7119
500
22
800
25
900
13
2938
合717
计 77 657 0903
x?
7771657
?77.7
，
y??165.7
1010
2
i
?
x?70903
，
?
y
i
2
?277119
，
?
xy
ii
?132938


r?
13 2938?10?77.7?165.7
(70903?10?77.7)(27719?10?165 .7)
22
?0.808
．
即
x
与
Y
的相关关系
r?0.808
．
（2）因为
r?0.75
．
所以
x
与
Y
之间具有很强的线性相关关系．
（3）
b?















132938 ?10?77.7?165.7
?0.398
，
a?165.7?0.398?77. 7?134.9
．
70903?10?77.7
高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）

一、选择题
1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤 ，只能爬，
不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂< br>房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（ ）
第 17 页 共 24 页

Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种

答案：Ｃ

2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中 选出4人进行男女混
合双打比赛，选法种数为（ ）
Ａ．
(A
5
2
)
2


答案：Ｄ

3．已知集合
M?
?
1，2，3，4，5，6
?
，
N?
?
6，7，8，9
?
，从
M
中选3个元素，
N
中选2个元素，组成一
个含有5个元素的集合
T
，则这样的集合< br>T
共有（ ）
Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个

答案：Ｃ

4．
(1?x)
3
?(1?x)< br>4
?
3
Ａ．
C
n?3

Ｂ．
(C
5
2
)
2

2
Ｃ．
(C
5
2
)
2

·A4
2
Ｄ．
(C
5
2
)
2

· A
2
?(1?x)
n?2
的展开式中
x
2
的系数是 （ ）


3
Ｂ．
C
n?2

3
Ｃ．
C
n?2
?1

3
Ｄ．
C
n?3
?1


答案：Ｄ

5．
2005
2006
?2008
被2006除，所得余数是（ ）
Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1

答案：Ｂ

6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙
厂 产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）
Ａ．0.665 B．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285

答案：Ａ

7．抛 掷甲、乙两颗骰子，若事件
A
：“甲骰子的点数大于4”；事件
B
：“甲、乙 两骰子的点
数之和等于7”，则
P(B|A)
的值等于（ ）
1
11
1
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
186
39

答案：Ｃ

8．在一次智力竞赛的“风险选 答”环节中，一共为选手准备了
A
，
B
，
C
三类不同的题目 ，
第 18 页 共 24 页

选手每答对一个
A
类、
B
类、
C
类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如 果答错，
则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个
A
类、
B
类、
C
类题目的概率分别为0.6，
0.7，0.8，则就每一次答题而言， 选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ）
Ａ．A类 Ｂ．B类 Ｃ．C类 Ｄ．都一样

答案：Ｂ

9．已知ξ的分布列如下：
1 23 4
1
4
1
11

3
64

并且
?
?2
?
?3
，则方差
D
?
?
（ ）
Ａ．
179143
36
Ｂ．
36
Ｃ．
299
72
Ｄ．
227
72


答案：Ａ

10．若
?
~N(?1，6
2
)且
P(?3
≤
?
≤
?1)
?0.4
，则
P(
?
≥
1)
等于（ ）
Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4

答案：Ａ

11．已知
x
，
y
之间的一组数据：
12
35

则
y
与
x
的回归方程必经过（ ）
Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)

答案：Ｃ

12．对于
P(K
2
≥
k)
，当
k?2.706
时，就约有的把握认为“
x
与
y
有关系 ”（
Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%

答案：Ｄ

二、填空题
9
13．
?
?
?
2x?
1
?
x
?
的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
?
第 19 页 共 24 页
）

答案：672

14．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法 国人和5个中国人组成．现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表
示）．

答案：
119

190

15．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．

答案：乙

16．空间有6个点，其中任何三点 不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出
个四面体，经过其中每两点的直线中，有 对异面直线．

答案：15，45

三、解答题
17．某人手 中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的
A
，他有5次出
牌机会 ，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？

解：由于张数不限 ，2张2，3张
A
可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方
法可分为以 下几类：
5
（1）5张牌全部分开出，有
A
5
种方法；
（2）2张2一起出，3张
A
一起出，有
A
5
2
种方法；
（3）2张2一起出，3张
A
分开出，有
A
5
4
种 方法；
3
（4）2张2一起出，3张
A
分两次出，有
C
3
2
A
5
种方法；
3
（5）2张2分开出，3张
A
一起出，有
A
5
种方法；
（6）2张2分开出，3张
A< br>分两次出，有
C
3
2
A
5
4
种方法； 52423324
?A
5
?A
5
?C
3
A5
?A
5
?C
3
A
5
?860
种． 因此共有不同的出牌方法
A
5


18．已知数列
?
a
n
?
的通项
a
n
是二项式
(1?x)
n
与
(1?x)
2n
的展开式中所有
x
的次数相同的各第 20 页 共 24 页

项的系数之和，求数列的通项及前
n
项和
S
n
．

解：按
(1?x)
n
及
(1?x)
2n
两个展开式 的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当
(1?x)
2n
中出现
x< br>的偶数次幂时，才能与
(1?x)
n
的
x
的次数相比较． < br>0122
由
(1?x)
n
?C
n
?C
nx?C
n
x?
nn
?C
n
x
，

(1?x)
2n

?(C?Cx?Cx?
0
2n
2
2n
4
2n
2
?Cx)?(Cx?Cx?
n2n
? (C
n
?C
2n
)

2n
2n
n1
2n
1
2
3
2n
3
2
?C
2n?12n
x
2n?1
2
)

001224
可得a
n
?(C
n
?C
2n
)?(C
n
? C
2n
)?(C
n
?C
2n
)?
012
? (C
n
?C
n
?C
n
?
n024
?Cn
)?(C
2n
?C
2n
?C
2n
?
2n
?C
2n
)

?2
n
?2
2n?1
，
∵a
n
?2
n
?2
2n?1
，
1
2
12
2
n462nn
∴
S
n
?(2?2??2 )?(2?2?2??2?2(2?1)??(4?1)

223
21
?2< br>n?1
?2?(2
2n
?1)?(2
2n?1
?3·2
n?1
?8)
，
33
2n
1
∴S
n
? (2
2n?1
3·2
n?1
?8)
．
3


19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参 加
一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有
放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值
a
元的礼品，标号之和为11
或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．
(1)求各会员获奖的概率；
(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱 ，
a
最多可设为多少元？

解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为< br>P
1
?
抽两次得标号之和为11或10的概率为
P
2
?
故各会员获奖的概率为
P?P
1
?P
2
?
（2）
30?a30?100
111
??
；
6636
5
，
36
151
??
．
36366
3
0
1

36
5

36
30
36
第 21 页 共 24 页

由
E
?
?(30?a)?
1530
?(?70) ??30?
≥
0
，
363636
得
a
≤
580
元．
所以
a
最多可设为580元．


20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：

未用
新药
用新
药
合
计

试分析新药对防治猪白痢是否有效？

存
活数

死
亡数
38
20
58
合
计
1
39
1
49
2
88
10
1
12
9
23
0 288?(101?20?38?129)
2
解：由公式计算得
k??8.658
，
139?149?230?58
由于
8.658?6.635
， 故可以有
99%
的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．


21 ．甲有一个箱子，里面放有
x
个红球，
y
个白球（
x
，y
≥0，且
x
+
y
=4）；乙有一个箱子，
里面放有2 个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1
个球．若取出的3个球颜 色全不相同，则甲获胜．
(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？
(2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．

解：(1)要想使 取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红
球一个白球，乙取出黄球的概 率是
C
1
·C
1
xy
2
C
4
1< br>，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是
4
?
xy
1xyxy
，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是
P?·?
，即甲获胜的概率为
6< br>4624
2
1
xyxy1
?
x?y
?
且x?y?4
，所以
P?
≤
·
?
P?
，由
x，y
≥
0
，
?
?
，当
x?y?2
时取 等号，
6
242424
?
2
?
即甲应在箱子里放2个红球2 个白球才能使自己获胜的概率最大.
(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.
21
C< br>2
C
2
1
P(
?
?0)?
2
·1
?
，
C
4
C
4
12
第 22 页 共 24 页

11121
C
2
C
2C
2
C
2
C
2
5
P(
?
?1 )?·?·?
，
2121
C
4
C
4
C
4
C
4
12
21111
C
2
C
2
C
2
C
2
C
2
5
P(
?
?2)?< br>2
·
1
?
2
·
1
?
，
C
4
C
4
C
4
C
4
12
21
C
2
C
2
1
P(
?
?3)?
2
·
1
?
，
C
4
C
4
12
所以取 出的3个球中红球个数的期望：
E
?
?0?


m
22．规定
A
x
?x(x?1)
1551
?1??2??3??1. 5
．
12121212
0m
(
n
，
(x?m? 1)
，其中
x?R
，
m
为正整数，且
A
x
?1
，这是排列数
A
n
m
是正整数，且
m
≤
n
)的一种推广．
3
（1）求
A
?15
的值；
mm?1mm?1m
（2）排列数的两个性质：①
A
n
?nA
n< br>?A
n?1
，②
A
n
?mA
n?1
(其中
m
，
n
是正整数)．是否
都能推广到
A
x
m
(
x?R
，
m
是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给 予证明；若不
能，则说明理由；
3
（3）确定函数
A
x
的单调区间．

3
解：（1）
A
?15
?(?15)?(?16)?(?17)??4080
；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是
mm?1
①
A
x
?xA
x?1
，
mm? 1m?
②
A
x
?mA
x
?A
x?1
(x? R，m?N)
．
事实上，在①中，当
m?1
时，左边
?A
1
x
?x
，
0
右边
?xA
x?1
?x
，等式成立；
01在②中，当
m?1
时，左边
?A
1
x
?A
x< br>?x?1?A
x?1
?
右边，等式成立；
当
m
≥< br>2
时，左边
?x(x?1)(x?2)
?
x(x?1)(x?2)(x?m?1)?mx(x?1)(x?2)(x?m?2)

(x?m?2)[(x?m?1)?m]

m
?(x?1)x(x?1)(x ?2)[(x?1)?m?1]?A
x?1
?
右边，
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mm?1m?
因此②
A
x
?m A
x
?A
x?1
(x?R，m?N)
成立．
3
（ 3）先求导数，得
(A
x
)
?
?3x
2
?6x?2
．
令
3x
2
?6x?2?0
，解得
x?
3?33?3
或
x?
．
33
?
3?3
?
因此，当
x?
?
?∞，
?
??
时，函数为增函数，
3
??
?
3?3
?
当
x?
?
，?∞?
?
3
?
时，函数也为增函数，
??
令
3x
2
?6x?2
≤
0
，解得
3?33?3
≤
x
≤
，
33
?
3?33?3
?
因此，当
x?
?
，
?
时，函数为减函数，
33
??
???
3?33?3
?
3?3
??
3?3
3
的增区间为< br>?
，；减区间为
?∞，，?∞，
∴
函数
A
x
???
??
．
???
3
?
333
??????












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