新版高中数学A版必修第一册 集合的概念

集合的概念
第1课时 集合的含义

学 习 目 标
1.通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)
核 心 素 养
1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象
素养．
3． 体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表2．借助集合中元素的互异性的应用，培养
示符号并 会应用．(重点、易混点)

逻辑推理素养.


1．元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
3．常见的数集及表示符号
数集
符号
非负整数集(自然数集)
N
正整数集
N
*
或N
＋



整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R

1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学2019年入学的全体学生
D [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准 ，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，
故选D.]
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]
3．用“∈”或“?”填空：
1
*
________N；－3______ __Z；2________Q；0________N；5________R.
2
[答案] ? ∈ ? ? ∈
4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.
3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]

集合的基本概念

【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④
C．②③
B．②③④
D．②④
B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选
B.]

判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组 对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可
以组成集合；否则 ，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)
2
(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．
(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．
元素与集合的关系

【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②2?Q；③0∈N
*
；④|－5|?N
*
.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2
C．4
B．2或4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数 ，所以0∈N
*
错误；④|－5|＝5为正整数，所
以|－5|?N
*
错误．故选B.
(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.]

判断元素与集合关系的2种方法
?1?直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.

?2?推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合 中元素所具有的特征
即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

2．集合A中的元素x满足
6
0,1,2 [∵∈N，
3－x
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0,1,2.]
集合中元素的特性及应用

[探究问题]
1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
提示：a≠b.
2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
提示：a＝1或b＝1.
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a
2
，若a∈A，求实数a的值．
a∈A求a的值
[思路点拨] A中含有元素：1和a
2
――→a＝1或a< br>2
＝a――→检验集合中元素的互异性
[解] 由题意可知，a＝1或a
2
＝a，
(1)若a＝1，则a
2
＝1，这与a
2
≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a
2
＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0 ，满足集合中元素的互
异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.

1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解] 由集合中元素的互异性可知a
2
≠1，即a≠±1.
2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a
2
，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a
2
＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，

6
∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x

所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.

1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．

1．判断一组对象的全体能 否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组
成集合，否则不能组成集合． 2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的
互 异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．

1．思考辨析
(1)接近于0的数可以组成集合．( )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A
C．0∈A
B．1∈A
D．－1?A
C [∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x
2
－9＝0在实数范围内的解
C.3的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
C [A项，不 超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，
方程x
2< br>－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的
近 似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学

身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]
4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，
则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1.


课时分层作业(一) 集合的含义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．拥有手机的人
C．所有有理数
B．2019年高考数学难题
D．小于π的正整数
B [B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.5∈M
C．1∈M
B．0?M
π
D．－
2
∈M
π
D [5>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－
2
<1，故D正确．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
3
C.
7

B．－5
D.7
D [由题意知a应为无理数，故a可以为7.]
4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形
D [因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故
选D.]
5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x
2
＝1的解集
A [由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元
素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.]
二、填空题
6．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“?”)．
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B.]
7．设集合A是由1，k
2
为元素构成的集合 ，则实数k的取值范围是________．
{k|k≠±1} [∵1∈A，k
2
∈A，结合集合中元素的互异性可知k
2
≠1，解得k≠±1.]
8．用符号“∈”或“?”填空：
(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23__ ______B,1＋2________B；
(2)设集合C是满足方程x＝n
2
＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；
(3) 设集合D是满足方程y＝x
2
的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D ，(－
1,1)________D.
(1)? ∈ (2)? ∈ (3)? ∈ [(1 )∵23＝12>11，∴23?B；∵(1＋2)
2
＝3＋22<3＋2×4
＝11 ，∴1＋2<11，∴1＋2∈B.
(2)∵n是正整数，∴n
2
＋1≠3，∴3? C；当n＝2时，n
2
＋1＝5，∴5∈C.
(3)∵集合D中的元素是有序实数对 (x，y)，则－1是数，∴－1?D；又(－1)
2
＝1，∴(－1,1)∈D.]
三、解答题
9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
[解] ∵a∈A且3a∈A，
?
a<6，
∴
?
解得a<2.又a∈N，
?
3a<6，
∴a＝0或1.
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集 合B中含有两个元素0，x
2
，若A＝B，求实数x，y的

值．
[解] 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
(1)当x＝0时，x
2
＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x
2
，解得x＝0或x＝1.
由(1)知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
[等级过关练]
1．已知集合M是方程x
2
－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M
C．－1∈M
B．0∈M
D．－2∈M
C [由2∈M知2为方程x
2
－x＋m＝0的一个解，所以2
2
－ 2＋m＝0，解得m＝－2.
所以方程为x
2
－x－2＝0，
解得x
1
＝－1，x
2
＝2.
故方程的另一根为－1.选C.]
3
2．由实数x，－x，|x|，x
2< br>，－x
3
所组成的集合，最多含元素( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3
A [当x>0时，x＝|x|＝x
2
，－x
3
＝－x<0，此时集合共有2个元素，
3
当x＝0时，x＝|x|＝x< br>2
＝－x
3
＝－x＝0，此时集合共有1个元素，
3
当x< 0时，x
2
＝|x|＝－x，－x
3
＝－x，此时集合共有2个元素，综上， 此集合最多有2个元素，
故选A.]
3．已知集合P中元素x 满足：x∈N，且26 [∵x∈N,2∴结合数轴(图略)知a＝6.]
| a||b|
4．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则
a
＋
b
的可能 取值所组成的集合中元素的个数为________．
|a||b|ab
3 [当a，b同正 时，
a
＋
b
＝
a
＋
b
＝1＋1＝2. < br>|a||b|
－a－b
当a，b同负时，
a
＋
b
＝< br>a
＋
b
＝－1－1＝－2.
|a||b|
当a，b异号时，
a
＋
b
＝0.

|a||b|
∴
a
＋
b
的可能取 值所组成的集合中元素共有3个．]
5．已知数集A满足条件：若a∈A，则
[解] 根据题 意，由2∈A可知，
11
由
2
∈A可知，
1
＝2∈A. < br>1－
2
1
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，
2
，2 .


1
∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
1－a
111
＝－1∈A；由－1∈A可知，＝
2
∈A；
1－21－?－1?
第2课时 集合的表示

学 习 目 标 核 心 素 养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学 抽象
法，感受集合语言的意义和作用．(重点)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集
合．(重点、难点)

的素养．
2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学
运算的素养.


1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成 的集合表示为
{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2){x|x<5，x∈R}．

1．方程x
2
＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2,2)}
C．{－2}
B．{－2,2}
D．{2}
B [由x
2
＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]
2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
C [该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.]
3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
{x|x<3} [用描述法可表示为{x|x<3}．]

用列举法表示集合

【例1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x
2
－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
3
(3)方程2x
2
－x－3＝0的实数根为－1，
2
，
所以
?
3
?
?
C＝
－1，
2
?< br>.
??
?
y＝x＋3，
?
x＝1，
(4)由
?
得
?

?
y＝－2x＋6，
?
y＝4.
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，
所以D＝{(1,4)}．

用列举法表示集合的3个步骤
?1?求出集合的元素；
?2?把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
?3?用花括号括起来.
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合 ，一定要写成实数对的形式，
元素与元素之间用“，”隔开.如{?2，3?，?5，－1?}.

1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)
2
(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组
?
?
2x＋y＝8，
?
x－y＝1

的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
[解] (1)满足－2 ≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，
(2)方程(x－2)
2
(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，
∴M＝{2,3}．
(3)解
?
?
2x＋y＝8，

?
?
x－ y＝1，
得
?
x＝3，
?
y＝2，

∴B＝{(3,2)}．
(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．
用描述法表示集合

【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解] (1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．


1,0,1,2}． －

描述法表示集合的2个步骤


2.用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x
2
＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
[解] (1)函数y＝－2x
2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x
2
＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． ??
3
?
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为
?
?x，y?
?
0≤x≤
2
，0≤y≤1
?
.
?
??

(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构 成的集合是{x|x＝12n，n∈N
*
}．
,
集合表示方法的综合应用

[探究问题]
下面三个集合：
①{x|y＝x
2
＋1 }；②{y|y＝x
2
＋1}；③{(x，y)|y＝x
2
＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
提示：(1)集合 ①{x|y＝x
2
＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x
2
＋1中的x∈R ，所以实质上{x|y＝
x
2
＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条 件y＝x
2
＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x
2
＋1} ＝
{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x
2
＋1}的代表元素是( x，y)，可以认为是满足y＝x
2
＋1的数对(x，y)的集合，也
可以认为是坐标 平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x
2
＋1，所以{(x，y)|y ＝x
2
＋1}
＝{P|P是抛物线y＝x
2
＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．

【例3】 集合A＝{x|kx
2
－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求 实数k的值组成的集合．
等价转化分类讨论
[思路点拨] A中只有一个元素――→方程kx
2
－8x＋16＝0只有一解――→求实数k的值
[解] (1)当k＝0时，方程kx
2
－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解 得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx
2
－8x＋16 ＝0}中只有一个元素，则方程kx
2
－8x＋16＝0只有一
个实数根，所以Δ＝6 4－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．

1．(变条 件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的
值组成的集合．
?
k≠0，
[解] 由题意可知，方程kx－8x＋16＝0有两个不等实根，故
?
即k<1且k≠0.
?
Δ＝64－64k>0，
2

所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个 元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k
的取值集合．
[解] 由题意可知，方程kx
2
－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2
－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．

1．若已知集合是用描述法 给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合
A中的元素就是所给方程的根，由此 便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．

1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，
集合元素为无限个，多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素， 特别要分清数集和点集；其次
要确定元素满足的条件是什么.

1．思考辨析

(1){1}＝1.( )
(2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．( )
(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．( )
(4){x|x
2
＝1}＝{－1,1}．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
C．{(－2,1)}
B．{x＝1，y＝－2}
D．{(1，－2)}
?
y＝x－3，
?
x＝1，
D [由
?
得
?
∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]
?
y＝－2x，
?
y＝－2，
4．设集合A＝{x|x
2
－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.
[解] ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x
2
－3x－4＝0}＝{－1,4}．




课时分层作业(二) 集合的表示
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )
A．0∈A
C．－1?A
B．1.5?A
D．6∈A
D [∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，
∴6?A，故选D.]

2．把集合{x|x
2
－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2}
C．{x
2
－3x＋2＝0}
B．{x|x＝1，x＝2}
D．{1,2}
D [解方程x
2
－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x
2
－3x＋2＝0}用列举法可表示为{ 1,2}．]
3．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2}
C．{2}
B．{x＝2}
D．{x|x
2
－4x＋4＝0}
B [{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．]
?
x＋y＝1，
4．方程组
?
22
的解集是( )
?
x－y＝9
A．(－5,4)
C．{(－5,4)}
B．(5，－4)
D．{(5，－4)}

?
x＋y＝1，
?
x＝5，
D [解方程组
?
22
得
?
故解集为{(5，－4)}，选D.]
?
x－y＝9，
?
y＝－4，
5．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
D [选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不 符合描述法的规范格式，缺少
了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复． ]
二、填空题
6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．
{x|x＝2n，n∈N
*
} [正整数中所有的偶数均能被2整除．]
7 ．设集合A＝{1，－2，a
2
－1}，B＝{1，a
2
－3a,0}，若A ，B相等，则实数a＝________.
?
a
2
－1＝0，
1 [由集合相等的概念得
?
2
解得a＝1.]
a－3a＝－2，
?< br>8．设－5∈{x|x
2
－ax－5＝0}，则集合{x|x
2
＋ax ＋3＝0}＝________.
{1,3} [由题意知，－5是方程x
2
－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)
2
＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x
2
＋ax＋3＝0，即x
2
－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3，所以{x|x
2
－4x＋3＝0}＝{1,3}．]
三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合．
(1)由方程x(x
2
－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)大于2且小于6的有理数；
(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
[解] (1) 方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为
{ x|x(x
2
－2x－3)＝0}．
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个， 故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示
该集合为{x∈Q|2(3)用描述法表示该集合为
M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；
或用列举法表示该集合为
{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
??
?
4
∈Z
?
. 10．已知集合A＝
?
x∈Z
?
3－x
?
??
(1)用列举法表示集合A；
(2)求集合A的所有元素之和．
[解] (1)由
4
∈Z，得3－x＝±1，±2，±4.解得x＝－1,1,2,4,5,7.
3－x

又∵x∈Z，∴A＝{－1,1,2,4,5,7}．
(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.
[等级过关练]
1．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有( )
A．a∈A
C．{a}∈A
B．－a?A
D．{a}?A
A [由题意，当k＝2时，x＝5，所以a∈A.当k＝－3时，x＝－5，所以－a∈A.故选A.]
2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的 个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [当a＝ 1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b
＝ 5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4
个元素．]

3．已知集合A＝{－1,0,1}，集合 B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
{0,1} [∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.]
4．已知集合A＝{a－2 ,2a
2
＋5a,10}，若－3∈A，则a＝______.
3
－ [因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a
2
＋5a＝－3，当a－2＝－3时，a＝－1，
2
此时2a
2
＋5a＝－3，与元素的互异性不符，所以a≠－1.
当2a
2
＋5a＝－3时，即2a
2
＋5a＋3＝0，
3
解得a＝－1或a＝－
2
.显然a＝－1不合题意．
37
当a＝－
2
时，a－2＝－
2
，满足互异性．
3
综上，a＝－
2
.]
5．已知集合A＝{x|ax
2
－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
2
[解] (1)当a＝ 0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝
3
，符合题意．当a≠0时，方程ax
2
－3x
99
＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝
8
.所以当a＝0或a＝
8
时，集合A中只有
一个元素．
?
a≠0，
(2)由题意得，当
?

?
Δ＝9－8 a>0，
9
即a<
8
且a≠0时方程有两个实根，
?
?< br>?
?
9
?
9
又由(1)知，当a＝0或a＝
8
时方程有一个实根．所以a的取值范围是
?
a
?
a≤
8
?
.
?
?
?
??


9
(3)由(1)知，当a＝0或a＝
8
时，集合A中只有一个元素．
当集合A中没有元素，即A＝?时，
?
a≠0，
9
由题意得
?
解得a>
8
.
?
Δ＝9－8a<0，

9
综上得，当a≥
8
或a＝0时，集合A中至多有一个元素.