高一数学A参考答案(周瑜)

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高一数学A 参考答案：
第1讲：二次函数的最值问题
【课后巩固】
1．B 解析：
x
2
?4x?5?1

?
a?2?0
2．C 解析：①当
a?2
时符合题意；②
?
??2?a?2

?0
?
3．B 解析：
2x?3y
2
?3y
2< br>?2
?
1?2y
?
?3y
2
?4y?2
?< br>1
?
,y?
?
0,
?

?
2?
?
a
2
?2a?2?a?1
4．
?
解析：数形结合
?1a?1
?
5．
?或?1
解析：讨论对称轴
x??a
，
1
4
111
a??fx?f 2?5?4a?4?a??
????
，即时，
max
；
22411
?a?a??
②当，即时，
f
max
?
x
?
?f
?
?1
?
?2?2a?4?a??1
.
2 2
①当
?a?
2
6.(1)①当
a?0
时，
f?
x
?
?x?x
，则
f
?
?x
??f
?
x
?
，故
f
?
x
?
为 偶函数；
222
②当
a?0
时，
f
?
x
?
?x?x?a
，
f
?
a
?
?a
，
f
?
?a
?
?a?2a


f
?a
?
?f
?
?a
?
，故
f
?
x
?
不是偶函数；
?f
?
a
?
?f
??a
?
故
f
?
x
?
不是奇函数；
所 以
f
?
x
?
为非奇非偶函数（既不是奇函数又不是偶函数）.

?
x
2
?x?ax?a
?
(2)
f?
x
?
?x?x?a?
?
2


?< br>?
x?x?ax?a
2
111
1
?
1
?2
a????a?
fx?f???a?
??
①当时，
min；②当时，
f
min
?
x
?
?f
?
a
?
?a
；
??
222
4
?
2
?
③当
a?
1
1
?
1
?
fx?f?a???
时，
min
??
2
4

?2
?
11
?
?a?a??
?
42
?
1 1
?
2
fx?a??a?
综上所述
min
??
?< br>22

?
1
?
1
a?a?
?
42< br>?

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第2讲：一元二次方程根的分布
【课后巩固】
1．C 解析：数形结合，函数
f
?
x
?
?
?
x?a
?
(x?a?b)
两根（相对位置待定）为x
1
?a
，
x
2
?a?b
，而函数
g
?
x
?
?
?
x?a
?
(x?a?b)? 1
是将
f
?
x
?
向下平移一个单位.
?
??0
?
?
5
?
2．
?
2,
?
解析：法一：
?
?
x
1
?1
?
?
?x
2
?1
?
?0

?
2
?
?
?
?
x
1
?1
??
x
2
?1?
?0
??
?0
?
法二： 记
f
?
x
?
?x
2
?2ax?4
，
?
对称轴a?1

?
f1?0
?
??

x
2
?44
法三：
2a??x?
?
x?1
?
，
数形结合思想.
xx
3．
?
?3,
?
解析：逻辑上，“在区间
?
?1,1
?
内至少存在一个实数
c
，使
f(c)?0
”的否定
?
?
3
?
2
?
即为“在区间
?
?1,1
?
内的任意实数
c
，
f(c)?0
”， 故
?
?
f(?1)?0
?
3
?
?
?
??,?3
?
?
,??
?

?
2
??
f(1)?0
4．
?
2
2
?
2
?< br>,2
?
解析：
mx?
?
m?2
?
x?2?
?
mx?2
??
x?1
?
?0?1??3

m
?
3
?
5．
?
?4,??
?
解析：题意即为
f
?
x
?
?x
2
?(p?2)x? 1
解集为空或者非空但无正数解.
?
??0
?
p?2
?
?0

(1)
??0
(2)

?
对称轴?
2
?
?
?
f
?
0
?
?0
6．证明：记
F
?
x
?
?ax
2
?(b?1)x?1
?
a?0
?
，由
x
1
?2?x
2
?4
， < br>则
?
?
F(2)?0
?
4a?2b?1?0
b

?
?
??3F(2)?F(4)?0?4a?2b?0????1
，F(4)?016a?4b?3?0
2a
??
b
，即证
x
0
??1
.
2a
函数
f(x)
的对称轴为
x? x
0
??

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第3讲：函数的值域（最值）
【知识梳理】
?
4ac?b
2??
4ac?b
2
?
?
R
4．（1）
R
；（2）
?
；（3）；（4）
y|y?0
,??
?
，< br>?
??,
??
?
4a
??
4a
??
c
??
（5）
R
；（6）
?
y|y?
?
； （7）
??,?2ab
??
2ab,??
；（8）
R
； < br>??
a
??
（9）
?
?1,1
?
；（10）
R
；
??
【课后巩固】
1．B 解析：法一：反表示法
2
x
?
y?2
?0
；
y?1
法二：利用单调性
y??1?
2．A 解析：
y?
1
,x?
?
??,0
?
x
2?1
?
0,? ?
?

3
b
x?0
?
，利用函数
f(x) ?ax?(a?0,b?0)
的值域模型.
?
1
x
x??1
x
3．
?
?3,3
?
解析：利用函数单调减的性质，结合定义域求解.
??
4．
?
1
? ?
?
25
?
x
,8
?
解析：换元法，令
t?log
1
，则
y?t
2
?2t?5
，
t?< br>?
?1,?
?

2
??
?
4
?
4
5． ①
?
?3,3
?
解析：
?
?3x??1
?法一：利用分段函数各段求值域：
y?x?1?x?2?
?
2x?1?1?x?2

?
3x?2
?
法二：（数形结合）利用
x?a?
a?0
?
表示数轴上点x到点a的距离.
?
t?1
?
??
?2
1
2
?
7
?
??
?< br>?
t??2
?
， ②
R

解析：令
t?2 x?1?0
，
y?
t4
?
t
?
利用函数
y?x?
2
k
(k?0)
的值域模型.
x
③
?
?
3?133?13
?
,
?
解析：定义域
x?R

2
??
2
法）
yx
2

法一：（
（
i
） 当
y
?2
?
y?1
?
x?2y?1?0

?0
时，
?2x?1?0
有解；

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（ii）
当
y?0
时，
?0
?
3?13
?
?
?
,0
?
?
?
2
?
?
3?13
?

?
?
0,
2
?
??
?
0t?0
?
，

t4t
法二：令
t?2x?1
，
?
4
y??
2
?
?
t?0
2
t?6t?13
13
?
t?1
?
?
t??6
??
?
?
t?1
?< br>?2
?
t
?
?
2
?
利用函数
f(x )?ax?
b
(a?0,b?0)
的值域模型.
x
④
?
1,5
?

解析：定义域
x?R


法一：（
?
法）(i)
当
(ii)
当
?
y?2
?
x
2
?
?
y?1
?
x?y?2?0

y?2
时 ，
??0
?
?
1,2
?
y?2
时，
3x? 0
有解；

?
2,5
?

?
2x?0

?
法二：
3x
?
3
y?2?
2
?
?
2?x?0
x?x?1
?
1
x??1
?
x
?
第4讲：函数的单调性与最值
【知识梳理】
1．(2)增函数 减函数 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞)
【课后巩固】
1．C 解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a
2
>a，解得－22．A 解析∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．又∵x
1
＋ x
2
>0，x
2
＋x
3
>0，x
3
＋x< br>1
>0，
∴x
1
>－x
2
，x
2
>－x
3
，x
3
>－x
1
.又∵f(x
1
)>f(－x
2
)＝－f(x
2
)，f(x
2
)>f(－x
3
)＝－f(x
3
)，
f(x
3
)>f(－x< br>1
)＝－f(x
1
)，∴f(x
1
)＋f(x
2)＋f(x
3
)>－f(x
2
)－f(x
3
)－f(x
1
)．∴f(x
1
)＋f(x
2
)＋f(x
3)>0.]
?
?
－?x－3?x ?x≥0?
3
3．[0，] 解析 y＝
?
.画图象如图所示：
2
?
?x－3?x ?x<0?
?

3
可知递增区间为[0，]．
2
111111
4．4解析 y＝＋＝，当02
＋≤.
x
1－xx?1－x?
244
a
5．解 设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，由题意知，f(x)的对称轴为－.
2
a7
(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤.又a>4，故 此时的a不存在．
23

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aaa
2
(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f(－)＝3－a－≥0得－6≤a≤ 2.
224
又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.
a
(3)当－>2，即a <－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0得a≥－7.又a<－4，故－7≤a<－4.
2
综上得所求a的取值范围是－7≤a≤2.
6．解 (1)任取x
1，x
2
∈[－1,1]，且x
1
2
，则－x
2
∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，
∴f(x
1
)－f(x
2
)＝f(x
1
)＋f(－x
2
)＝
f?x
1< br>?＋f?－x
2
?f?x
1
?＋f?－x
2
?
·(x
1
－x
2
)，由已知得>0，x
1
－x
2
<0，
x
1
＋?－x
2
?x
1
＋?－x
2
?
∴f(x
1
)－f(x
2
)<0，即f(x< br>1
)2
)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．
3
(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增（注意定义域），∴－≤x<－1.
2
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m
2
－2am＋1≥1，
即m
2
－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．
下面来求m的取值范围．
设g(a)＝－2m·a＋m
2
≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．
②若m≠0，则g(a )为a的一次函数，若g(a)≥0恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.
第5讲：函数的奇偶性及周期性
【知识梳理】
1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x)
2．(2)y

原点 (3)相反
3．(1)最小正周期 (2)③2a
【课后巩固】
?
?
?
a＝
?
a－1＝－2a
1．B 解析：依题 意得
?
，∴
?
3
?
b＝0
?
?

1
?
b＝0

1
，∴a＋b＝.
3
11
2．D 解析：由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，那么f (x)的周期是4，得f(6.5)＝
f?x?f?x＋2?
f(2.5)．因为f(x)是偶 函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，
∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]
3．D 解析：因为奇函 数f(x)在x＝0有定义，所以f(0)＝2
0
＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f (x)
＝2
x
＋2x－1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.
4. -3，
1

2

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?
?f
?
?x
?
??x
2
?2x?3x? 0
?
5.
f
?
x
?
?
?
0

x?0
?
x
2
?2x?3x?0
?
6.
?
??,?
7.
?
?
3
??
5
?
?
?
0,
?
解析：数形结合
2
??
2
?
x111
f(?x)?g(?x)???f(x)?g(x)?
； 解析：构造方程
22
x?1x?1?x?1?x?1
8. 7；大；3 解析： 构造函数
g(x)?f(x)?5
为奇函数，利用奇函数对称区域单调性相
反的性质
第6讲：指数与指数函数
【知识梳理】
nnnn
1．(2)①a ②a －a ±a ③a ⑤a
1
n
2.(1)①a
m
②
m

a
n
1
n
a
m
③0 (2)①a
rs
②a
rs
③a
r
b
r

＋
3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y>1 01 (6)增函数 (7)减函数
【课后巩固】
x
?
a， x>0
xa
x
?
1．D 解析：函数 的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝
?
x
.当x>0时，函数是
| x|
?
?
－a，x<0

一个指数函数，其底数a满足0a
x
的图象关于x轴对称，函数 递增．
2．D 解析：方程|a
x
－1|＝2a有两个不等实根可转化为函数y＝| a
x
－1|与函数y＝2a有两个
1
不同交点，作出函数y＝|a
x
－1|的图象，从图象观察可知只有0<2a<1时，符合题意，即02
1
3．[，1)
3
?
?
01
解析 据单调性定义，f(x)为减函数应满足：
?
即≤a<1.
0
3
?
3a≥a，
?
－－

4．－1 解析 设g(x)＝e
x
＋ae
x
，则f(x)＝xg(x)是偶函数．∴g (x)＝e
x
＋ae
x
是奇函数．
∴g(0)＝e
0
＋ae
0
＝1＋a＝0，∴a＝－1.
－
5．解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
－1＋b－2
x＋1
∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝
x
＋
1< br>.又由f(1)＝－f(－1)知
2＋a2＋a
1
－＋1
2
－2＋1
＝－，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.
4＋a1＋a

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－2
x
＋1
11
(2)由(1)知f(x)＝
x
＋
1
＝－＋
x
.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
2
2＋12＋2
又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t
2
－2t)<－f(2t
2
－k) ＝f(－2t
2
＋k)．
因为f(x)是减函数，由上式推得t
2
－2t>－2t
2
＋k.
1
即对一切t∈R有3t
2
－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0 ，解得k<－.
3
6．解 方法一 (1)由已知得3
a2
＝18?3a
＝2?a＝log
3
2.
＋
(2)此时g(x)＝λ·2< br>x
－4
x
，设0≤x
1
2
≤1，因为g (x)在区间[0,1]上是单调递减函数，
所以g(x
1
)－g(x
2< br>)＝
(2
1
?2
2
)(
?
?2
即λ <
2
x
2
xxx
2
?2
x
1
)< br>>0恒成立，
?2
x
1
恒成立．由于
2
x
2
?2
x
1
?2
0
?2
0
＝2，所以，实 数λ的取值范围是λ≤2.
方法二（针对竞赛辅导过导数的同学） (1)由已知得3
a+2
＝18?3
a
＝2?a＝log
3
2.
(2)此时g( x)＝λ·2
x
－4
x
，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g′(x)＝λln 2·2
x
－ln 4·4
x
＝2
x
ln 2(－2·2
x
＋λ)≤0成立，
所以只需要λ≤2·2
x
恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.
7．解 由题意得1＋2
x
＋4
x
a>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
1 ＋2
x
1＋2
x
11
即a>－
x
在x∈(－∞，1 ]上恒成立．又因为－
x
＝－()
2x
－()
x
，
4422
11111
设t＝()
x
，∵x≤1，∴t≥且函数f(t)＝－ t
2
－t＝－(t＋)
2
＋(t≥)
22242
1＋2< br>x
11
x
133
在t＝时，取到最大值．∴()＝即x＝1时，－x
的最大值为－，∴a>－.
222444
第7讲：对数与对数函数
【知识梳理】
2.(1)①N ②0 ③N ④1
(2)①
log
a
N
②log
a
d (3)①log
a
M＋log
a
N ②log
a
M－log
a
N ③nlog
a
M
log
a
b
3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y>0 y<0 (5)y<0 y>0 (6)增 (7)减
4. y＝x
【课后巩固】
11
1．C 解析：∵＝log
2
3>1，＝log
2
e>1，log
2
3>log
2
e.
ab1111
∴>>1，∴03
2>log
3< br>3＝，∴a>.
ab22
11111
b＝ln 2>ln e＝，∴b>.c＝5－＝<，∴c222
5
2
2．C 解析： ①当a>0时，f(a)＝log
2
a，f(－a)＝
log
1
2< br>a
，

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f(a)>f(－a)， 即log
2
a>
log
1
2
a
＝log
2
a
，∴a>
a
，解得a>1.
11
②当a<0时，f(a )＝
log
1
(?a)
，f(－a)＝log
2
(－a)， f(a)>f(－a)，
2
即
log
1
(?a)
>log
2
(－a)＝
log
1
2
2
1
1
，∴－a<，解得－1－a
?a
由①②得－11.
3．C [当x>0时，函数a
x
，log
a
x的单调性相同，因此 函数f(x)＝a
x
＋log
a
x是(0，＋∞)上的单调
函数，f (x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a
2
＋a＋log
a
2，由题意得a
2
＋a＋log
a
2＝
6＋loga
2.即a
2
＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]
4．3
5．(1,2) 解析 因为f(x)＝lg
?
a＋
?a－2
a－2
?
在区间[1,2]上是增函数，所以g(x)＝a＋在区间[1, 2]
x
x
?
上是增函数，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0 ，即16. a>1
7．解 ∵f(x)＝2＋log
3
x，
2
∴y＝[f(x)]
2
＋f(x
2
)＝(2＋log3
x)
2
＋2＋log
3
x
2
＝log
2
3
x＋6log
3
x＋6＝(log
3
x＋3)－3.
?
1≤x
2
≤9，
?
∵函数f(x)的定义域为[1,9] ，∴要使函数y＝[f(x)]
2
＋f(x
2
)有意义，必须
?∴1≤x≤3，
1≤x≤9，
?
?

∴0≤log
3< br>x≤1，∴6≤(log
3
x＋3)
2
－3≤13.
当lo g
3
x＝1，即x＝3时，y
max
＝13.∴当x＝3时，函数y＝[f( x)]
2
＋f(x
2
)取最大值13.
?
?
x＋1>0，
8．解 (1)f(x)＝log
a
(x ＋1)－log
a
(1－x)，则
?
解得－1?
1－x>0，
?

故所求函数f(x)的定义域为{x|－1(2)由(1)知f(x)的定义域 为{x|－1a
(－x＋1)－log
a
(1＋x)
＝－[log
a
(x＋1)－log
a
(1－x)]＝ －f(x)，故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－10?
解得00的x的解集是{x|0x＋1
>1.
1－x
第8讲：函数的对称性与周期性
【知识梳理】
2.（1）
x?a
y轴
（2）
?
a,b
?

?
a,0
?

?
0,0
?

a?b

2
3. （2）①
a?b
②
2a
③
2a
④
2a
⑤
4 a
⑥
6a

（3）
y?b
y轴 （4）
x?
【课后巩固】

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1. D 解析：
T?4
，
f
?
f
?
5
?
?
?f
?
f
?
1
?
?
?f
?
?5
?
?f
?
?1
?
?
1 1
??

f
?
1
?
5
2. D 解析：< br>f
?
x?1
?
是偶函数，则
f
?
x
?
关于
x?1
对称
3. A 解析：
f
?
?x< br>?
??f
?
x?4
?
则
f
?
x?
关于
?
2,0
?
对称，由
x
1
?x
2
?4
得
x
2
?2?2?x
1
，
即
x
2
距2较远，利用函数单调性求解.
4.
2?1
解析：由
f(x?1)?
1?f(x)1
f(x?2)??
，得，故
T?4
，

1?f(x)f(x)
f(2015) ?f
?
3
?
?
1?f
?
2
?
?2 ?1

1?f
?
2
?
?
?
f(x?3)? f
?
x
?
?
3
?
?f
?
?x?
??f
?
x?3
?
?f
??
?0
，
5. 3 解析：
由
?
?
2
?
?
?f
?
?x
?
??f
?
x
?
?
3
??
9
?
f?f3?f
??
故
????
?0

2
???
2
?
6.
f(x)?2(x?1)
2
?4,x?
?
1,2
?

7. 解：（Ⅰ） 由于f（2-x）= f（2+x）， f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7，即f（x）不是奇函数.
联立f（2-x）=f（2+x），f（7-x）= f（7+x）
推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）即f（x）=f（x+10），T=10
又 f（1）= f（3）=0 ，而f（7）≠0故函数为非奇非偶函数
（Ⅱ）f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）= f（14-x）=f（x）且闭区间[0，7]上只有f（1）= f（3）=0
得f（11）=f（13）=f（-7）= f（-9）= 0 即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
则方程f（x）=0在闭区间[0，2015]上 的根为404个，方程f（x）=0在闭区间[－2015，0]上的根
为402个得方程f（x）=0 在闭区间[－2015，2015]上的根的个数为806个
第9讲：函数图象与性质
【课后巩固】
1.C 解析：由已知条件022
＋2b＝a＋，由对勾函数 知y＝x＋在(0,1)单调递减，得a＋2b>3，即a＋2b的取值范围是(3，
ax
＋∞ )．
2. A

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3. D解析：由 f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是以4为周期的周期函数，于
是可得f(x)在(－2,6] 上的大致图象如图中实线所示，令g(x)＝log
a
(x＋
2)(a>1)，则g( x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f(x)
－log
a
(x＋2) ＝0(a>1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需
?
g?2?<3
?
log
a
4<3
3
?
，即
?
，解得4< a<2.
?
log
a
8>3
?
g?6?>3


4. 4 ； 5 . (-2,1) 6．3
7．解 (1) 设点P(x，y)是C
2
上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′( 4－x,
1111
2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋ ，∴g(x)＝x－2＋.
x
4－xx－4x－4
y＝m，
?
?< br>(2)方法一（方程的思想）由
?
消去y，
1
y＝x－2＋
?
x－4
?
得x
2
－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝(m＋6)
2
－4(4m＋9)．
∵直线y＝m与C
2
只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.
当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
方法二（利用图象）y＝x－4＋
当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．

1
＋2（图略）
x－4
1－mx
8．解 (1)∵函数f(x)＝log
a
(a>0，a≠1)的图象关于原点对称，
x－ 1
1＋mx1－mx(1－mx)(1＋mx)
∴f(－x)＋f(x)＝0，即log
a
＋log
a
＝log
a
＝0，
－x－1x－1(－x －1)(x－1)
由
(1－mx)(1＋mx)
＝1，得m
2
＝1， ∴m＝1或m＝－1.
(－x－1)(x－1)
1－mx
＝－1<0，舍去；
x－1
1－mx1＋x1＋x
＝，令>0，
x－1x－1x－1
当 m＝1时，
当m＝－1时，
解得x<－1或x>1.∴符合条件的m的值为－1.
x ＋1
(2)由(1)得f(x)＝log
a
，任取11
2
，
x－1
f(x
2
)－f(x
1
)＝lo g
a
x
2
＋1x
1
＋1(x
2
＋1)(x
1
－1)
－log
a
＝log
a
.
x< br>2
－1x
1
－1(x
2
－1)(x
1
＋1)
(x
2
＋1)(x
1
－1)
∵11
< x
2
，∴(x
2
＋1)(x
1
－1)－(x
2－1)(x
1
＋1)＝2(x
1
－x
2
)<0，∴0< <1，
(x
2
－1)(x
1
＋1)
∴当0a
当a>1时，log
a
(x
2
＋1)(x
1
－1)
>0，即f(x
2
)－f(x
1
)>0，此时f(x )为增函数；
(x
2
－1)(x
2
＋1)
(x
2
＋1)(x
1
－1)
<0，即f(x
2
)－f(x
1
)<0，此时f(x)为减函数．
(x
2
－1)(x
1
＋1)
(3)由(2)知，当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上为减函数；同理在(－∞，－1)上 也为减函数．

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当(t，a)?(－∞，－1)时，f(a)当(t，a)?(1，＋∞)时，∵函数f(x)的值域为(1，＋∞)，
∴f(a)＝1，解得a＝1＋2， t＝1.
第10讲：函数的零点与方程的根
【课后巩固】
1.B
2. A 解析：
x?
3
?
2
1?ln?2

，
3< br>?
2
ln
2
?
log
2
xx?0
3 . D 解析：设
g(x)?
?
则
f
?
x
?
的零点即为函数
y?g(x)
与
y??x
交点
?log(?x) x?0
?
2
的横坐标，又
y?g(x)
与
y??x
均为奇函数.
4.解析 若
a?0
,
f(x)?2x?3
,显然在
?
?1,1
?
上没有零点,
2
所以
a?0
.令
??4?8a
?
3?a
?
?8a?24a?4?0
, 解得
a?
?3?7

2
①
a?
?3?7
时,
y?f
?
x
?
恰有 一个零点在
?
?1,1
?
上；
2
②
f
?
?1
?
?f
?
1
?
?
?
a?1
??
a?5
?
?0
，即
1?a?5
时，
y ?f
?
x
?
在
?
?1,1
?
上也恰有一< br>个零点；
③当
y?f
?
x
?
在
?
?1,1
?
上有两个零点时, 则
a?0a?0
??
?< br>??8a
2
?24a?4?0
?
??8a
2
?24a ?4?0
??
??
11
?3?7
?1???1?1???1

?
或
?
解得
a?5
或
a?

2a 2a
2
??
f
?
1
?
?0f
?
1
?
?0
??
??
f?1?0f
?
?1
?< br>?0
??
??
综上所求实数
a
的取值范围是
a?1< br>或
a?
?3?7
.
2
第11讲：任意角的三角函数及诱导公式
【知识梳理】
1．始边 顶点 终边 逆 顺 零 (1)第几象限
π
kπ
????
(2){α|α＝kπ，k∈Z}
?
α|α＝kπ＋
2
，k∈Z
?

?
α|α＝
2
，k∈Z
?
(3){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
????

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{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} (4)半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 (5)2π π
弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积
2. (2)α的正弦线 α的余弦线 α的正切线
3．(1)sin
2
α＋cos
2
α＝1 (2)
4.(1)sin α cos α
sin α
＝tan α
cos α
11
lr |α|r
2

22
180
?
π

?
° (6)|α|·r
180
?
π
?
tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －
(6)cos α －sin α cos α －tan α (5)cos α sin α
【课后巩固】
1.C 2.C
3．B 解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝1－cos
2
80°＝1－k
2
.
1－k
2
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
k
4.
89

2
解析 原式＝sin
2
1°＋sin
2
2°＋…＋sin
2
45°＋…＋sin
2
(90°－2°)＋sin
2
(90°－1°)
2
?
2
＋ …＋cos
2
2°＋cos
2
1°
2
?
＝sin
2
1°＋sin
2
2°＋…＋
?
?
1189
＝(sin
2
1°＋cos
2
1°)＋(sin
2
2°＋ cos
2
2°)＋…＋(sin
2
44°＋cos
2
44° )＋＝44＋＝.
222
?
sin α>cos α，
?
ππ
??
5π
，
∪
π，
?
解析 由已知得
?
5.
?

?
42
??
4
?
?
tan α>0，
?

ππ5π
∴＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.
424
ππ5π
∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，<α<或π<α<.
424
6．解 (1)∵α＝120°＝
2π2π
，r＝6，∴AB的弧长为l＝αr＝×6＝4π.
33
111
2π
13
(2)∵S
扇形
OAB
＝ l r＝×4π×6＝12π， S
△
ABO
＝r
2
·sin ＝×6
2
×＝93，
222322
∴S
弓形
OAB
＝S
扇形
OAB
－S
△
ABO
＝12π－93.
7．解 (1)f(α)＝
sin?π－α?cos?2π－α?tan?－α＋π?sin αcos α?－tan α?
＝＝－cos α.
tan αsin α
－tan?－α－π?sin?－π－α?
3π
11
)＝－sin α＝，∴sin α＝－，
255
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－
∴cos α＝－1－sin
2
α＝－
12626
1－?－
?
2
＝－，∴f(α)＝－ cos α＝.
555
8．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)
2
－4a≥0，∴a≥4或a≤0.
?
?
sin θ＋cos θ＝a
又
?
，(sin θ＋cos θ)
2
＝1＋2sin θcos θ，则a
2
－2a－1＝0，
?
sin θcos θ＝a
?

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从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2.
ππ
(1)cos
3
(－θ)＋sin
3
( －θ)＝sin
3
θ＋cos
3
θ
22
＝(sin θ＋cos θ)(sin
2
θ－sin θcos θ＋cos
2
θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.
(2)tan(π－θ)－
11sin θcos θ11
＝－tan θ－＝－(＋)＝－＝－＝1＋2.
tan θtan θcos θsin θsin θcos θ
1－2
第12讲：三角函数的图象与性质
【知识梳理】
1.
2
?
?
；2.
?

?
π
3.定义域：{x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域：[－1,1] [－1,1] R 周期：2π 2π π
2
奇偶性：奇函数 偶函数 奇函数
ππππ
增区间：[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) (kπ－，kπ＋)(k∈Z)
2222
π
3
减区间：[2kπ＋，2kπ＋
π](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
22
ππ
最大值：2kπ＋(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 最小值：2kπ－(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z)
22
π
kπ
kπ＋，0
?
(k∈Z)
?
，0
?
(k∈Z) 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
?
2
???
2
?
π
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
2
【课后巩固】
2π4π
1．A 解析：画出函数y＝sin x的草图(图略)，分析知b－a的取值范围为[，]
33
2．B 解析：由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，
π
πππ
x－
?
的单调增区间满足：2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z) 故f(x)＝＝sin
?
?
6
?
262
π2π
解得2kπ－≤x≤2kπ＋.]
33
3．D
x
π
4．4π解析 由f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2< br>)知，f(x
1
)、f(x
2
)分别为f(x)的最小值和最大值，而 当＝2kπ－，
42
x
π
即x＝8kπ－2π (k∈Z)时，f(x)取最小值；而＝2kπ＋，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)时，f(x)取最大值，< br>42
∴|x
1
－x
2
|的最小值为4π.
π
2
0，
?
，解得sin x5. 解析 线段P
1
P
2
的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x＝5tan x，x∈
?
?
2
?
3
22
＝.所以 线段P
1
P
2
的长为.
33

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π
kπ
π
6．解 由题意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋，解得x≠＋ (k∈Z)．
224
kπ
π
∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．
24
?2cos
2
x－1??cos
2
x－1?
又 f(x)＝＝cos
2
x－1＝－sin
2
x
2
2cosx－1
又∵定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数．
kπ< br>π
1
显然－sin
2
x∈[－1,0]，又∵x≠＋，k∈Z，∴－s in
2
x≠－.
242
11
??
∴原函数的值域为
?
y|－1≤y<－
2
或－
2
?
.
??
7．解 (1)∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，
π2π
∴二 者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋)＋a∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
6 2
ππ3ππ2π
(2)当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋(k ∈Z)时，函数f(x)单调递减，
26263
π2π
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
63
πππ7πππ
(3)当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，∴2sin(2·＋)＋a＝－2，∴a＝－1.
266626
第13讲：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【知识梳理】 π3π
－φ－φ
0－φ
2
π－φ
2
2π－φ
π 3π
1. 0 π 2π
ωωωωω
22
2. (1)左 右 |φ| (2)伸长 缩短
3. A
4.
2π
1
ωx＋φ φ
ω
T
1
(3)伸长 缩短 A
ω
2ππ

|ω||ω|
【课后巩固】
1. A ；2. D ；3. C； 4.
6．解 (1)由图象知A＝2，∵T＝
3
9π
－，3
?
； 5.
?
?
2
?
10
2ππ
＝8，∴ω＝.
ω
4
πππππ
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0.∵|φ| <，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋)．
42444
πππππ
(2)y＝f (x)＋f(x＋2)＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)
44424
πππ
23π
ππ
＝22sin(x＋)＝22cosx.∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－. < br>4243246
ππ
2
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2) 取得最大值6；
463

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π
当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.
4
7．解 根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，
则有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，即sin ωxcos φ＝0，
ππ
∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋ (k∈Z)．而0≤φ≤π，∴φ＝.
22
3π
?
π3π
3ω
，0
对称，f()＝2cos(
π)＝0
再由f(x)＝2sin(－ωx＋)＝2cos ωx的图象关于点N
?
?
4
?
244
∴cos
1
3ω3ω
π
4
k＋
?
(k∈Z)．
π＝0，即π＝kπ＋
(k∈Z)，ω＝
?
4423
?
2
?
2
又0<ω≤2，∴ω＝或ω＝2.最后根据f(x)在区间[0，π]上是减函数 ，
3
22
可知只有ω＝满足条件．所以f(x)＝2cos x.
33
第14讲：平面向量及其线性运算
【知识梳理】
1.（1）大小 方 向 （2）有向线段 （3）长度 |a|
AB

?
a
(4)任意的 (5)1个 ± (6)相同 相反 非零 共线向量 平行 (7)相等 相同 2.(1)和
|a|
→
a＋b a＋b AC 三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b＋a a＋(b＋c)
3.(1)长度相等 方向相反 －a (2)①(－b) 相反向量 ②a＋b a－b
4.(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①(λμ)a ②λa＋μa ③λa＋λb
5.重心
【课后巩固】
1．D 解析：题目考查两向量共线定理应把握好两点：
(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．
2. A
3．1＋
33
解析 作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1?BC＝DE＝2，
22
6
.由∠DBF＝45°，
2
∵∠DEB＝60°，∴BD＝
得DF＝BF＝
623
×＝， < br>222
3
→→
3
→→
所以BF＝AB
?
FD ＝AC，
22
→→→→
所以AD＝AB＋BF＋FD＝（
1?
3< br>→
3
→
）AB＋AC.
2
2

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1
→→→→→
1
→→
4．0 解析：由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ＝，得AP－（AB＋AC)，即点P为△ABC中BC
2
2
→→→→→→
边的中点，∴PB＋PC＝0.∴PA·(PB＋PC)＝PA·0 ＝0.
5．2 解析 方法一 若M与B重合，N与C重合，则m＋n＝2.
→→→→→→
m
→
m
→
方法二 ∵2AO＝AB＋AC＝mAM＋nAN，AO＝AM＝AM.
22
mn
∵O、M、N共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2.
22
1
6. 解 取AE的三等分点M，使|AM|＝|AE|，连结DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.
3< br>1|AD||AM|1
又|AE|＝|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，＝＝，
4|AB||AE|3
∴DM∥BE，∴
|PC||PE||EC|92
＝＝ ＝.∴|DP|＝|DC|.
|DC||DM||MC|1111
→→→→
2
→
1
→
2
→→
∴AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AB＋(DA＋ AC)
11311
1
→→
1
→
23
→
2
→
32
－AB＋AC
?
＝AB＋AC＝a＋b. ＝AB＋
?
?
11311
?
3
111111
→→→
7.（1 ）证明∵AB＝e
1
－e
2
，BC＝3e
1
＋2e
2
，CD＝－8e
1
－2e
2
，
11
→→→→< br>∴AC＝AB＋BC＝e
1
－e
2
＋3e
1
＋2e< br>2
＝4e
1
＋e
2
＝
?
（－8e
1
－2e
2
) ＝
?
CD．
22
→→→→
∴AC与CD共线．又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．
→→→
（2）AC ＝AB＋BC＝（e
1
＋e
2
)＋（2e
1
－3e
2
) ＝3e
1
－2e
2
，∵A、C、D三点共线，
→→ →→
∴AC与CD共线．从而存在实数λ使得AC＝λCD即3e
1
－2e
2
＝λ(2e
1
－ke
2
)．
?
?
3＝2 λ，
由平面向量的基本定理得
?
解之，得
?
－2＝－λk.
?

?
?
4
?
k＝
3
.
3
λ＝
，
2

4
∴k的值为.
3
第15讲：平面向量的基本定理及坐标表示
【知识梳理】
1．不共线 有且只有 λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
基底
π
2.(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3) a⊥b
2
3.互相垂直
4.(x，y) 坐标 (x，y) x轴 y轴
5 .(1)(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
) (x
1
－x
2
，y
1
－y
2
) (λx
1
，λy
1
) (2)终点 始点
6．x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0

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7.(1)
?
x
1< br>＋x
2
y
1
＋y
2
?
x
1
＋x
2
＋x
3
y
1
＋y
2
＋y
3
?
(2)
?
，，
2
?
33
?
2
??

【课后巩固】
1.A
→→→
2.B 解析：由于点P落在第Ⅲ部分，且 OP＝aOP
1
＋bOP
2
，则根据实数与向量的积的定义及平
行四 边形法则知a>0，b<0.
3．A 解析：∵2b＝(2m，m＋2sin α)，∴λ＋2＝2m，
λ
2
－cos
2
α＝m＋2sin α，∴(2m－2)
2
－m＝cos
2
α＋2sin α，
即4m
2
－9m＋4＝1－sin
2
α＋2sin α.又∵－2≤1－sin
2
α＋2sin α≤2，
111
∴－2≤4m
2
－9m＋4≤2，解得≤m≤2，∴≤≤4.又∵λ＝2m－2，
42m
λ
22
∴＝2－，∴－6≤2－≤1.]
mmm
4. 证明 m∥n得sin Acos B＝sin Bcos A，即sin(A－B)＝0.∵A、B为三角形的内角，
∴－π2
＝9，∴8sin
2
B＋C
＋4sin
2
A＝9.
2
∴4[1－cos(B＋C)]＋4(1－cos
2
A)＝9.∴4cos
2
A－4cos A＋1＝0，
1
π
解得cos A＝.又∵023
→→
5．解 （1）由A，M，N三点共线，得A
Ｍ
∥A
Ｎ
，
1
→→< br>1
→→→→
设A
Ｍ
＝λAN(λ∈R)，即(AE＋A
Ｆ)＝
λ(
Ａ
B
＋AC)，
22
→→→→
所以 m
Ａ
B＋nAC＝λ(
Ａ
B＋AC)，所以m＝n.
1
→ →→
1
→→
1
→→
1
→→
（2）因为
Ｍ< br>N＝AN－AM＝(AB－AC)＝(AE－AF)＝ (1－m)AB ＋ (1－n)AC，
2222
1
→→
1
→
又m＋n＝1，所以MN＝ (1－m)AB ＋mAC，
22
111
→→
1
→
1→→
1
所以|MN|
2
＝(1－m)
2
AB
2
＋m
2
AC
2
＋(1－m)mAB·AC＝(1－m)
2< br>＋m
2
＋(1－m)m
442444
1
1133
→
＝(m－)
2
＋.故当m＝时，|MN|
min
＝.
42164
2
第16讲：平面向量的数量积及其应用

【知识梳理】
1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (2)①|a|cos〈a，e〉 ②a·b＝0 ③|a|
2

2.(1)b·a (2)a·c＋b·c (3)λ(a·b)
3.(1)x
1
x
2
＋y
1
y
2
(2) x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0 (3)
a·b
a·a ④ ⑤≤
|a||b|
x
1
2
?y
1
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

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(4)(x
2
－x
1
，y
2
－y
1
)
【课后巩固】
?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?< br>2

1．D 解析：由(2a＋3b)·(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.
1151
2．C 解析：∵S
△
ABC
＝|a||b|sin∠BA C＝，∴sin∠BAC＝.又a·b<0，∴∠BAC为钝角．
242
∴∠BAC＝150°.
3．B 解析：因为a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，
所以，a在b上的投影为|a|·cos〈 a，b〉＝
1365
a·b
21－8
＝
2
＝＝.
5
|b|
65
4＋7
2
4．120° 解析 设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴c·a＝0，即(a＋b)·a＝0.∴a
2
＋a·b＝0.又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0.
1
∴cos θ＝－，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
2
5．(－1,0)或(0，－1)
解析 设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1.①
由m与n夹角为
3π3π
，有m·n＝|m|·|n|cos ，∴|n|＝1，则x
2
＋y
2
＝1.②
44
??
?
x＝－1
?
x＝0
由①②解得
?
或
?
，∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
y＝0y＝－1
??
??

6．－2 解析:合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(23，0)， B(3，
313135
→→→
3)，这样利用向量关系式，求得MA＝
?，－
?
，MB＝
?
，－
?
，MB＝
?
－，
?
，所以
2
?
2
??
2
?
2
?
22
?
→→
MA·MB＝－2.
→→
7．解 设存在点M，且OM＝λOC＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，
→→→→
MA＝(2－6λ，5－3λ)，MB＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA⊥MB，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
111
即45λ
2
－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
315
2211
?
∴M点坐标为(2,1)或
?
?
5
，< br>5
?
.
2211
→→
故在线段OC上存在点M，使MA⊥M B，且点M的坐标为(2,1)或(，)．
55
π
??
π
－θ
?

－θ
＋sin
(
－θ
)
·8．(1)证明 ∵a·b＝co s(－θ)·cos
?
sin
?
2
??
2
?
＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.
(2)解 由x⊥y得，x·y＝0，
即[a＋(t
2
＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴ －ka
2
＋(t
3
＋3t)b
2
＋[t－k(t
2
＋3)]a·b＝0，
∴－k|a|
2
＋(t
3
＋3t) |b|
2
＝0.又|a|
2
＝1，|b|
2
＝1，

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k＋t
2
t
3
＋t
2
＋3t
2
∴－k＋t＋3t＝0，∴k＝t＋3t.∴＝＝t＋t＋ 3
tt
33
＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.
(2)解 由x⊥y得，x·y＝0，
即[a＋(t
2
＋3)b]·(－k a＋tb)＝0，∴－ka
2
＋(t
3
＋3t)b
2
＋[t －k(t
2
＋3)]a·b＝0，
k＋t
2
t
3
＋t
2
＋3t
2
∴－k|a|t.∴＝＝t＋t＋3
tt
1k＋t
11111
t＋
?
2
＋.故当t＝－时，＝
?有最小值.
?
2
?
42t4
2