高中数学等比数列听课记录

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等比数列及基本概念其相关性质
一、导入（由教材例题直接引入，PPT展示） 教学点评：由
1. (必修5P
55
习题2(1)改编)设S
n
是等 比数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＝1，a
6
＝32，则 S
3
＝________．
于是复习课，
2. (必修5P
49
习题1改编) {a
n
}为等比数列，a
2
＝6，a
5
＝162，则{a
n
}的通项公式a
n
＝___ _____．
直接点题。复
3. (必修5P
49
习题6改编)等比数列{ a
n
}中，a
1
>0，a
2
a
4
＋2a< br>3
a
5
＋a
4
a
6
＝36，则a
3
＋a
5
＝________．
习过程，结合
4. (必修5P49
习题7(2)改编)已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．
学生情况，充
5. (必修5P
51
例2改编)等比数列{a
n}中，S
3
＝7，S
6
＝63，则a
n
＝______ __．
分调动课堂
积极性
二、知识点回顾
1.等比数列相关概念
2.等比数列相关性质

三、典例分析
题型1 等比数列的基本运算

例1 等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
1
，S
3
，S
2
成等差数列．

(1) 求{a
n
}的公比q；(2) 若a
1
－a
3
＝3，求S
n
.

解：(1) ∵ S
1
，S
3
，S
2
成等差数列，∴ 2S
3＝S
1
＋S
2
，即2(a
1
＋a
2
＋ a
3
)＝a
1
＋a
1
＋a
2
，


a
3
1
∴ 2a
3
＝－a
2
，∴ q＝＝－.
a
2
2

n
对例题的讲
1
??
4
1－
－
n
解，充分体现
2
11
??
188
(2) a
3
＝a
1
q
2
＝a
1
，∴ a
1
－a
1
＝3，∴ a
1
＝4，∴ S
n
＝
＝－
－
2
.
133
44
了以学生为
1＋
2
主体，教师为
变式训练

引导者的教已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，且2 a
n
＋
1
＝S
n
＋2(n∈N)．
学理念。
(1) 求a
2
，a
3
的值，并求数列{a
n
}的通项公式； (2) 求解S
n
(n∈N)．

题型2 等比数列的判定与证明

例2 已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，3S
n
＝a
n
－1(n∈N)．

(1) 求a
1
，a
2
； (2) 求证：数列{a
n
}是等比数列； (3) 求a
n
和S
n
.


11
(1) 解： 由3S
1
＝a
1
－1，得3a
1
＝a
1
－ 1，∴ a
1
＝－.又3S
2
＝a
2
－1，即3a
1
＋3a
2
＝a
2
－1，得a
2
＝.
24

11a
n
11

(2) 证明：当n≥2时 ，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝(a
n
－1)－(a
n
－
1
－1)，得＝－，所以{a
n
}是首项为－，公
3322
a
n
－
1


1
比为－的等比数列．
2




()
()
1

变式训练

在数列{a
n
}中，a
1
＝ 2，a
n
＋
1
＝4a
n
－3n＋1，n∈N
*.

(1) 求证：数列{a
n
－n}是等比数列； (2) 求数列{a
n
}的前n项和S
n
；

题型3 等比数列的性质


1
例3 已知等比数列{a
n
}中， a
2
＝32，a
8
＝，a
n
＋
1
n
.
2

(1) 求数列{a
n
}的通项公式； (2) 设T
n
＝log
2
a
1
＋log
2
a
2
＋…＋log
2
a
n
，求T
n
的最 大值及相应的n值．


1

a
8
2
11a
2
32
解：(1) q
6
＝＝＝， a
n
＋
1
n
，所以q ＝.以a
1
＝＝＝64为首项，
a
2
32642q1

2


1
－－
所以通项公式为a
n＝64
·
2
n1
＝2
7n
(n∈N)．

－
(2) 设b
n
＝log
2
a
n
，则b
n
＝log
2
2
7n
＝7－n.所以{b
n
}是首项为6，公差为－1的等差数列．


n（n－1）
113113 169
T
n
＝6n＋(－1)＝－n
2
＋n＝－(n－)
2
＋.因为n是自然数，所以n＝6或n＝7
222228

时，T
n
最大，其最大值是T
6
＝T
7
＝21.



变式训练


1
已知{a
n
}是等比数列，a
2
＝2，a
5
＝，则a
1
a
2
＋a
2
a
3
＋…＋a
n
a
n
＋< br>1
(n∈N
*
)的取值范围是________．
4



四、当堂小练



4
1.已知数列 {a
n
}满足3a
n
＋
1
＋a
n
＝0，a
2
＝－，则{a
n
}的前10项和为________．
3


21
2. 若数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝a
n
＋，则数列{a
n
}的通项公式是a
n< br>＝________．
33
对课堂练习，
3. 等比数列{a
n}的前n项和为S
n
，已知S
3
＝a
2
＋10a
1
，a
5
＝9，则a
1
＝________．
采取先预留
4. 若数列{a
n
}满足lga
n
＋
1
＝1＋lga
n
，a
1
＋a
2
＋a
3< br>＝10，则lg(a
4
＋a
5
＋a
6
)＝_____ ___．
时间，再讲

解。充分体现
五、小结
了以学生为
1.等比数列相关概念及其性质
主体，教师为
2.运用等比数列性质求解问题需要注意的几个要点
引导者的教

学理念。
六、课后巩固


老师精炼的
总结，系统的
巩固知识。
?
－
1
?< br>?
1－
?
－
1
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
1
?
n
1
?
?
1
?
n
?
?
(3) 解：由(2)可得a
n
＝
?
－
2
?
，S
n
＝＝－
1 －
－
2
.
1
?
3
?
??
??
1－
?
－
2
?
n
()
2

听课随感：在课业压力较大的的高三，该老师做到了效率和时间有 机结合，能力和容量相兼容。给予学
生自主探索的时间和空间，让学生在自主探索中，获得知识，体验知 识的形成过程，获得学习的主动权。
在课堂中，教师花了充足的时间让学生多次进行合作学习，在合作探 索中得出结论。不过该老师对时间
的把握还有所欠缺，语言方面也有待提高。

3