高中数学课堂笔记--必修1

第一章 集合与函数概念
第一节 集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实
数集R

1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号
内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
有限集 含有有限个元素的集合
(1) 无限集 含有无限个元素的集合
(2) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是
同一集合 。
?
B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?

?
A 或B
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相
等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，
记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算
类型
定 由所有属于 A且由所有属于集合A
义 属于B的元素所或属于集合B的元
组成的集合,叫做素所组成的集合 ，
A,B的交集．记叫做A,B的并
作A
?
B（读作‘A集．记作：A
?
B（读
交B’），即作‘A并B’），即
设S是一个集合，A
是S的一个 子集，
由S中所有不属于
A的元素组成的集
合，叫做S中子集A
的补集（或余 集）
交 集 并 集 补 集
A
?
B=｛x|x
?
A，A
?
B ={x|x
?
A，
记作
C
S
A
，即
且x
?
B｝． 或x
?
B})． C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

韦
恩
图
示
A
B
A
B
S
A
图1

图2


性 A
?
A=A



质
A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．















第二节 函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对< /p>

应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一
确定的数f(x )和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其 中，x叫做自变量，x的
取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数
值，函 数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它
的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值
的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标，函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y)的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象．C上每一点的坐标
( x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)
，反过来，以满足
y =f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐
标的点
(x
，< br>y)
，均在C上 .
(2) 画法
A、
B、
描点法：
图象变换法
常用变换方法有三种

1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对
应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯
一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A
?
B为从集合A到
集合B的一个映射。记作“f（对应 关系）：A（原象）
?
B（象）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
(1)集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并
集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)
称为f、g的复合函数。

第三节 函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x
1
，x
2
， 当x
1
2
时，都有f(x
1
)2)，
那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增
区间. < br>如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，
都有f(x
1
)
＞
f(x< br>2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D
称为y=f( x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的
图象从左到右是上升的，减函数的图象 从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1
○
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3；
○
变形（通常是因式分解和配方）
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5．
○
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调 性与构成它的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的单调性密切相关，其规律： “同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性
相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，
那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有f(－x)=—
f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1
○
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2
○
确定f(－x)与f(x)的关系；
3若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)
○
作出相应结论：
是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇
函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的必要条
件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非
奇非偶 函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式
（1） .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的
函数关系时，一是要求出它们之间的对应法 则，二是要求出函数的
定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1
○
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2
○
利用图象求函数的最大（小）值
3
○
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调
递减则
函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调
递增则
函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地 ，如果
x
n
?
a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，
其中
n
>1，且
n
∈
N*
．
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
?
a (a?0)
当
n
是奇数时，
a
?
a
，当
n
是偶数时，
a?|a|?
?

?a(a?0)
?
n
n
n
n

2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
，
a
?
?
1
m
n
?
1
n
a
? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
rr?s
r
（1）
a
·
a?a

a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)




(a?0,r,s?R)
；
(a?0,r,s?R)
；

(a?0,r,s?R)
．
rsrs
(a)?a
（2）
rrs
(ab)?aa
（3）
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x
(a?0,
且
a?1)
叫做指数
函数，其中x是自变量，函数的定 义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
4
06
5
4
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递
增
非奇非偶函数
函数图象都过
定点（0，1）

-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递
减
非奇非偶函数
函数图象都过
定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，
f(x)
?
a
x
(a
?
0
且
a
?
1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x) ?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
（3）对 于指数函数
f(x)
?
a
x
(a
?
0
且< br>a
?
1)
，总有
f(1)?a
；

二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a
x
?
N(a?0,a?1)
，那么数
x
叫
做以
记作：
x?lo g
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
．< br>a
为底
．．
N
的对数，
log
a
N
— 对数式）
说明：1
○
注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
x
2
○

a
?
N
?log
a
N
?
x
；
3
○
注意对数的书写格式．
log
a
N