高中数学课堂笔记--必修5

必修5知识点总结
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则有
a bc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；②
sin??
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；④
abc
，
sin??
，
sinC?
；
2R2R2R
a?b?cabc
???
．
sin??sin??sinCsin?sin?sin C
（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边 ，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
C
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
a
b
当有两个交点则B有两个解。
bsin
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当aA
D
当bsinA当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
111
bcsin??absinC?acsin?
．
222
22 2222222
4、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos ?
，
b?a?c?2accos?
，
c?a?b?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
3、三角形面积公式：
S
???C
?(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判 断三角形的形状：设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c< br>，则
C?90
；
②若
a?b?c
，则
C?90；③若
a?b?c
，则
C?90
．
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增 数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a
n+1
>a
n
）．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+1
n
）．
13、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差
数列的公差．符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注 ：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
? a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
18、由三个 数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列， 则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
b?
为< br>a
与
c
的等差中项．
第 1 页 共 8 页
222?
222
?
222
?
a?c
，则称
b
2

19、若等差数列
?
a
n
?
的 首项是
a
，公差是
d
，则
a
1
n
?a1
?
?
n?1
?
d
．
a
n
?a
m
a
n
?a
1
a
n
?a
1< br>?1
；20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
??
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
；④
n?⑤
d?
．
n?m
n?1
d
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、< br>n
、
p
、
q??
*
），则
a
m?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p、
q??
*
），则
2a
n
?a
p
?a
q
．
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
．③
s
n
?a
1
?a
2
???a
n
22、等差数列的前
n
项和的公式：①
n
；②
S
n
?na
1
?< br>2
2
S
奇
a
n
*
?
S?S?nd< br>S?na?a
?
nn?1
?
，且
偶奇
，
Sa
． 23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2n
?
n??
?
，则
2n
n?1
偶
*
②若项数为
2n?1n??
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?< br>a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
??
S
奇
n
（其中
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n< br>）．
?
S
偶
n?1
24、如果一个数列从第
2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数
列 的公比．符号表示：
a
n?1
?q
（注：①等比数列中不会出现值为0的项； ②同号位上的值同号）
a
n
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)
②
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零 常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
logx
a
n
}（
x?1
）成等比数列.
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的 等比中项．若
G?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．（注：由
G?ab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
?
G?ab）
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a< br>1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q< br>n?1
．
27、通项公式的变形：①
a
n
22
2< br>?a
m
q
n?m
；②
a
1
?a
n< br>q
?a
p
?a
q
．
?
?
n?1< br>?
；③
q
n?1
?
a
n?m
a
n< br>?
n
． ；④
q
a
m
a
1
28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
*
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
2
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?< br>a
n
?
的前
n
项和的公式：①
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．②
s
n
?
1n
?
q?1
?
?
1 ?q
?
1?q
?
s
1
?a
1
(n?1)< br>a?
30、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n
?

s?s(n?2)
n?1
?
n
?a
1
?a
2???a
n

[注]： ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d< br>?
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若
d
不为0，
则是等差数列充分条件）.
d
?
d
?
d
??
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?
?
n
→可以为零也可不为零→为等差的充要 条件→若
d
为零，则是等
2
?
2
?
2
??
差数列的充分条件；若
d
不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为< br>S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求 使
a
n
?0,a
n?1
?
0
，成立的
n< br>值；二是由
S
n
?
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
第 2 页 共 8 页
d
2
d
n?(a
1
?) n
利用二次函数的性质求
n
的值.
22

数列
等差数列
等比数列
通项公式


对应函数
（时为一次函数）
（指数型函数）

数列
等差数列
等比数列
前n项和公式

对应函数
（时为二次函数）
（指数型函数）

我们用函数的观点揭开了数列神秘的 “面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关
问题提供了非常有 益的启示。
例题：1、等差数列
分析：因为
中，，则 .
是等差数列，所以是关于n的一次函数，
)三点共线，
，得=0（图像如上），这 里利用等差数列通项公式与一次
一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,所以利用每两点形成直线斜率相等，即
函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：2、等差数列中，，前n项和为，若
=
，n为何值时
，
最大？
分析：等差数列前n项和
是抛物线
则因为欲求
=
可 以看成关于n的二次函数
上的离散点，根据题意，，
，即当时，最大。 最大值，故其对应二 次函数图像开口向下，并且对称轴为
，对任意正整数n，
递增得到：
恒成立，求 例题 ：3递增数列
分析：构造一次函数，由数列
对一切
，所以
对于一切
， 则只需求出
恒成立，即
的最大值即可，显然
恒成立，所以
有最大值恒成立，设
。 的取值范围是：
看成函数构造二次函数，，它的定义域是
,抛物线对称轴
在
，因为是递增数列，即函数
为递增函数，单调增区间为，因为函数f(x)为离散函数，要函 数单调递增，
的左侧 就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴
也可以（如图）， 因为此时B点比A点高。于是，，得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的 对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比数列前
n
项和的推倒导方
111
法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项， 公差是两个数列
第 3 页 共 8 页

公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
2. 判断和证 明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
a
n
?a
n?1
(
2
数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证< br>2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1< br>?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
a
n
)
为同一常
a
n?1
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
时，满足
?
?
am
?0
的项数m使得
s
m
取最大值. (2)当
a1
<0,d>0
?
a
m?1
?0
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。
?
a
m?1
?0
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
c
?
?
其中{
a
n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 aa
?
nn?1
?
1
例题：已知数列{a
n
} 的通项为a
n
=,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
11
解：观察后发现：a
n
=
?
< br>nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a< br>n
2.裂项相消法:适用于
?
?
11111
?(1?)?(? )?????(?)

223nn?1
1
?1?
n?1
3. 错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列，
?
b
n
?
是各项不为0的等 比数列。
∴
例题：已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
n
，求这个数列的前n项之和
s
n
。
解：由题设得：
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
?????a
n

=
1?2?2?2?3?2?????n?2

即
s
n
=
1?2?2?2?3?2?????n?2
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2?2?2?3?2??? ??n?2
123n
234n?1
123n
123n
②
用①-②，即：
s
n
=
1?2?2?2?3?2?????n?2
①
2s
n
=
1?2
2
?2?2
3
?3? 2
4
?????n?2
n?1
②得
?s
n
? 1?2?2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n? 1
2(1?2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?2< br>n?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
∴
s
n
?(n?1)2
n?1
?2

n(n?1)
?
1
?
2
1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
3）
13
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?

2
?
2
?
1
111
1111< br>2222
??
?(?)
4）
1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)
5）
6
n(n?1)nn?1
n(n?2)2nn?2
第 4 页 共 8 页
2

1111
?(?)(p?q)

pqq ?ppq
31、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②< br>a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c ?d?a?c?b?d
；
6）
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1< br>?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：
a0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0)(a
0
?0)

解法：①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x- x
2
)?(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；( 为了统一方便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方 穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”, 则找“线”在x轴下方的
区间.

+

+

+

+


X


XXX
n-2
X
n-1
—
X
—
X
（自右向左正负相间）
例题：求不等式
x?3x?6x?8?0
的解集。
解：将原不等式因式分解为：
(x?2)(x?1)(x?4)?0

由方程：
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
由图可看出不等式
x?3x?6x?8?0
的解集为：
22
22
+
+
1
?
x|?2?x?1,或x?4
?

例题：求解不等式
一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.


??0

二次函数
?

-
?

4
x
(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。 解：略
(x?6)(x?4)

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程

有两相等实根


无实根

R


?

ax?bx?c?0
2
有两相异实根

?< br>a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解 集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
, x
2
(x
1
?x
2
)

b
x
1
?x
2
??

2a

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?


?
xx
1
?x?x
2
?

第 5 页 共 8 页

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
f(x)f(x)
f( x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
（2）转化为整式不等式（ 组）
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)

1
例题：求解不等式：
??1
解：略
x
x
?1
的解集。 例题：求不等式
x?1
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|?a?x?a
?

②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
x|x??a,或x?a

变型：
|ax?b|?c(c?0)< br>解得。其中-c型的不等式的解集可以由
?
x| ?c?ax?b?
?
c
??
?
ax?b?c
在解-c?
?
ax?b??c
ax?b?c (c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax?b?c,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题：求解不等式
|x?2|?1
解：略
例题：求解不等式：
|x?2|?|x?3|?10

解：零点分类讨论法：
分别令
x?2?0和x?3?0
解得：
x??3和x?2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当
x??3
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
3 2
x
11
?
?
?(x?2)?(x?3)?10
11
?
x??

?
?
?
2
?
??x??3

2
?
x??3
?
x??3
?
②当
?3?x?2
时，（去 绝对值符号）原不等式化为：
?
?3?x?2
?
?3?x?2
?< br>?
?
?3?x?2

?
?
?(x?2)?(x?3) ?10
?
x?R
③当
x?2
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
x?2
?
x?2
9
?
2?x?

??
?
9
?
2
(x?2)?(x?3)?10
x?
?
?
?2
119
??
由①②③得原不等式的解集为：
?< br>x|??x?
?
（注：是把①②③的解集并在一起）
22
??
y
函数图像法：令
f(x)?|x?2|?|x?3|

?
?2x?1 (x??3)
?
?
则有：
f(x)?
?
5(?3?x?2)

?
2x?1(x?2)
?
?
在直角坐标系中作出此分段函 数及
f(x)?10
的图像如图
?
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f(x)
=10
5
11
?3
2

o
2

9
2

x

由图 像可知原不等式的解集为：
?
x|?
2
?
?
119
?
?x?
?

22
?
4.一元二次方程ax+bx+c=0 (a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
22
设ax+bx+c=0的两根为< br>?
、
?
，f(x)=ax+bx+c,那么：
y
?
??0
?
①若两根都大于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
?
?
?
?0

?
?
?
?
?0
?
y
o
?
?
x
?
??0
?
b
?
②若两 根都小于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
??0< br>
2a
?
?
?
f(0)?0


?
b
对称轴x=
2a
?

?

o
x
y

b
?
对称轴x=

2a
y


③若两根有一根小于0一根大于0，即
??0?
?
，则有
f(0)?0

④若两根在两实数m,n之间， 即
m?
?
?
?
?n
，
?

o x
?

?
??0
?
b
?
?n
?
m??
则有
?

2a
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
?
f(m)?0
?
⑤若两个根在三个实数之间，即
m?
?
? t?
?
?n
，则有
?
f(t)?0

?
f(n)?0
?

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
o
m
?

X=
?
?

b

2a
y
n
x
例如：若方程
x
2
?2 (m?1)x?m
2
?2m?3?0
有两个正实数根，求
m
的取值范 围。
?
4(m?1)
2
?4(m
2
?2m?3)?0?
??0
?
m??1
o m
??
?
解：由① 型得
?
?
?
?
?0
?
?
2(m?1)?0
?
?
m??1
?
m?3

?
?
?
?
?0
?
m??1,或m?3
?
m
2
?2 m?3?0
??
?
所以方程有两个正实数根时，
m?3
。
又如：方程
x?x?m?1?0
的一根大于1，另一根小于1，求
m
的范围。
22
?
t
?
n
x
b

X=
?

2a
?
55
22
?
(? 1)?4(m?1)?0
??0
?
?
?m?
?
?
解 ：因为有两个不同的根，所以由
?
?
?
2
?
?
22
?
?1?m?1

2
?
?
f(1)?0
?
1?1?m?1?0
?
?1?m?1
?
35、二元一次不等式：含有 两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的 集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y ?C?0
的上方．
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②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y? C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
（一）由B确定：
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表 示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的
区域．
②若
??0
，则
?x ??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C? 0
表示直线
?x??y?C?0
上方的
区域．
（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题：画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。解：略
?
2y?x?5?0
?
40、线性约束条件：由
x
，
y< br>的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称 为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
． 42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
41、设
a、
b
是两个正数，则
a
2
?b
2
a?b
?
43、常用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?< br>；②
ab?
?
a,b?R
?
；③
ab?
?< br>?
a?0,b?0
?
；
??
2
?
2
?
22
2
a
2
?b
2
?
a?b
?
④
?
??
?
a,b?R
?
．
2
?
2
?
s
2
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．⑵若
xy?p
4
（积为定值），则当
x? y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
5
1
例题：已知
x?
，求函数
f(x)?4x?2?
的最大值。
44x?5
5
解：∵
x?
，∴
4x?5?0
由原式可以化为：
4
1111
f(x)?4x?5?5?2???(5?4x)?? 3??[(5?4x)?]?3??(5?4x)??3??1?3?2

4x?55?4x5 ?4x5?4x
13
2
当
5?4x?
，即
(5?4x)?1
?
x?1，或x?(舍去）
时取到“=”号
5?4x2
也就是说当
x?1
时有
f(x)
max
?2

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2