垂径定理听课记录

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中学数学听课记录
课题

听课人


27.3(1) 垂径定理
听课班级

初三5班

授课教师

听课时间


2014年11月3日
（一）情景引入
1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（ 弧所对的弦
长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径< br>（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣
1、观察与思考：
圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？
（二）学习新课
1、思考
如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为
M，则图中有哪些相等的线 段和弧？(半圆除外）为什么？
教
学
内
容

（学生观察，猜想，并得出以下结论）
①CO=DO（同圆的半径相等）
②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？）
（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）
联结OA、OB，则OA=OB.
∵ AB⊥CD,
∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）,
∠AOD=∠BOD,
∴ 弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.
∵ ∠AOC=∠BOC,
∴ 弧AC=弧BC.
1．定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 ，且平分这条
弦所对的弧.
结合图形写成符号语言：
∵直径CD⊥弦AB，垂足为M
∴ AM=BM
∴ 弧AD=弧BD（同圆中，相等的
.

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圆心角所对的弧相等）.
弧AC=弧BC.

例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，
它的 跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）
为7.2米，求桥拱的
分析：首先将实际问
如图，假设弧AB表
高为7.2米，求桥拱
1、结合图形 解释桥
2、图中哪些表示圆O的半径？
3、如何建立等量关系？
解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R
根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=
R?7.2

∵ 半径OC⊥AB，垂足为D
∴ AD=
1
AB=18.7
2
半径（精确到0.1米）
题转化为数学图形。
示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱
所在圆的半径.（精确到0.1米）
拱的跨度、拱高及弓形的含义.
在Rt△AOD中，∠ADO=90°
∵ AD
2
+OD
2
=OA
2

∴ 18.7
2
+
(R?7.2)
2
=
R
2


R?27.9

答：桥拱所在圆的半径约为27.9米.
（三）巩固练习
1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.
2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.
1．如图，已知P是⊙O内一点，画一条弦AB，使AB经过经过点P,并且AP=PB.





.
A
2
O
D
C
5
B

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（四）课堂小结
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机 结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键
是构造由半径、半弦、弦心距的直角三角形——作弦心距 ；(2)为了更好理解垂径定
理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦 所对的优
弧；⑤平分弦所对的劣弧．
五、作业布置
练习册：P
5
，习题27.3（1）







(1) 本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中 提出问题，引导学生直观
感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定 理的
导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.
(2) 对于垂 径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”
可以是直径,结论中“平分弦 所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条
件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径 垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线
评
价

.
段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.
(3) 例题1 是垂径定理的初步运用.学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来
证明，要引导学生对不同的证 明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中
所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本 中证明过程的简约.
(4) 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱 桥，教学
时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过
程， 渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情.
例题中有拱高，后面又 提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中
对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说 明.

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探究中验证两个三角形全等的活动，老师 可以让学生自己动手来验证，这样学生可以体会
“SAS”的正确性，或者老师也可以通过几何画板等工 具进行演示。另一方面，由于时间的限制，
本节课老师没有让学生进行课堂练习，这样不容易发现学生对 知识理解的错误区。
建
议



.