三角函数与平面向量听课正文

全品高考第二轮专题 | 数学(文科)


第6讲

平面向量


=
1
.
(1)[2018·全国卷Ⅰ] 在△
ABC
中,
AD
为
BC
边上的中线,
E
为
AD
的中点,则

(

)

-



B
.

-


A
.





+



C
.






+



D
.



=
(

)

+

(2)[2014·全国卷Ⅰ] 设
D
,
E
,
F
分别为△
ABC
的三边
BC,
CA
,
AB
的中点,则





D
.


A
.



B
.




C
.


(3)[2018·全国卷
Ⅲ
] 已知向量
a=
(1,2),
b=
(2,
-
2),
c=
(1,λ),若
c
∥( 2
a+b
),则λ
= .

[试
做]
< br>_______________________________________________ ___________________________________________
__ __________________________________________________ ____________________________________________
命题角度

平面向量的线性运算
解题策略:
①
观察各向量 的位置;
②
寻找相应的三角形或平行四边形;
③
运用法则找关系;
④
用好平面向量基本定理
和向量共线定理
.

2
.
【引·全国卷】
(1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量
a
,
b
满足
|a|=
1,
a
·
b=-
1,则
a
·(2
a-b
)
=

A
.
4

B
.
3

C
.
2

D
.
0

·

= .

(2)[2013·全国卷
Ⅱ
] 已知正方形
ABCD
的边长为2,
E
为
CD
中点,则


[试
做]

_____________________________ __________________________________________________ ___________
__________________________________ __________________________________________________ ____________
【荐·地方卷】
[2017·山东卷] 已知
e
1
,
e
2
是互相垂直的单位向量,若


e
1
-e
2
与
e
1
+
λ
e
2
的夹角为60°,则实数λ的值
是
.

命题角度

平面向量数量积的公式及应用
(

) ①
定义法;
②
坐标法;
③
将向量数量积的几何意义转化为一个向 量在另一个向量上的投影与另一向量模的积
.


小题1平面向量的线性运算

=a
,

=b
,

=c
,则有下列各式: 1 (1)已知
D
,
E
,
F
分别是△
ABC
的边
BC
,
CA
,
AB
的中点,且

=-
a+b
;
④

=
0
.
其中正确的等式有

=
c-b
;
②

=a+
b
;
③


+

①



+




(

)

A
.
1个
C
.
3个




B
.
2个
D
.
4个

+
μ

, 则λ
+
μ
=
(2)在△
ABC
中,点
D
是 边
BC
上任意一点,
M
是线段
AD
的中点,若存在实数λ和 μ,使得


=
λ





(

)






B
.-



A
.

C
.
2 D
.-
2
[听课笔记]
____ __________________________________________________ ________________________________
_____________ __________________________________________________ _________________________________
【考场点拨】
高考中向量线性运算的关注点:
(1)解决向量的线性运算问题时应关注两点:
①
尽 可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中(注意已
知条件);
②
选用从同一顶 点出发的基本向量或首尾相接的向量
.

(2)向量共线有两个常用结论:
①
向量
a=
(
x
1
,
y
1
),b=
(
x
2
,
y
2
) 平行,坐标满足的关系 为
x
1
y
2
-x
2
y
1
=
0;
②
若
O
为直线
AB

=
α

+
β

且α
+
β
=
1
.
外一点,点
P
在直线
AB
上,则有

【自我检测】
1
.
下列各组向量中,可以作为基底的是 (

)
A
.e
1
=
(0,0),
e
2
=
(1,2)
B
.e
1
=
(2,
-
3),
e
2
=

,
-



C
.e
1
=
(3,5),
e
2
=
(6,10)
D.e
1
=
(
-
1,2),
e
2
=(5,7)

=
λ

+
μ

,其中λ,μ∈R,则

的值为 (

)
2
.
已知
O
是正△
ABC
的中心,若

A
.-


C
.-










B
.-


D
.
2
(

)


=
0,则
S
△
ABC
∶S
△
OBC
=
3
.
设点
O
在△
ABC
的外部,且2


-
3


-
5
A
.
2
∶
1
C
.
3
∶
2




B
.
3
∶
1
D
.
4
∶
1

小题2平面向量的数量积及应用
2 (1)已知向量
a
与
b
的夹角是

,且
|a|=
1,
|b|=
2,若(


a+
λ
b
)⊥
a
,则实数λ
=
(

)
A
.-


C
.








B
.


D
.-





(2)已 知向量
a=
(1,2),
b=
(2,
-
3)
.若向量
c
满足(
c+a
)∥
b
,
c
⊥ (
a+b
),则
c
等于 (

)

A
.
C
.

,


,





B
.-

,


D
.-
,
-







(3)已知向量
m=
( 1,2),
n=
(2,3),则
m
在
m-n
方向上的投影为
.

[听课笔记] ________________________ __________________________________________________ _____________
________________________________ __________________________________________________ ______________
【考场点拨】
高考中数量积的解题策略:
(1) 数量积的计算常用方法有三种:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义
.
其中坐标运算是 处理问题的
主要方法,只要能够建立直角坐标系,把向量的坐标表示出来,从而转化为坐标运算
.

(2)用数量积可求投影,如
a
在
b
方向上的投影为< br>【自我检测】
1
.
已知向量
a=
(
-
3, 2),
b=
(
-
1,0), 若λ
a+b
与
a-
2
b
垂直,则实数λ的值为 (

)
A
.-


C
.-


A
.
3
C
.
1


·

,
b
在
a
方向上的投影为
·

.







B
.


D
.


B
.
2
D
.




2
.
已知两个平面向量
a
,
b
满足
|a|=1,
|a-b|=

,且
a
与
b
的夹角为120°,则
|b|=
(

)







·

= .
3
.
在菱形
AB CD
中,∠
BAD=
60°,
AB=
2,
E
为CD
的中点,则
4
.
已知
a=
(2,
-
1),
b=
(λ,3),若
a
与
b
的夹角为钝角 ,则λ的取值范围是
.

第7讲

三角函数的图像与性质

1
.
(1)[2015·全国卷
Ⅰ
] 函数
f
(< br>x
)
=
cos(ω
x+
φ)的部分图像如图M2
-< br>7
-
1所示,则
f
(
x
)的单调递减区间为 (

)

图M2
-
7
-
1
A
.

-




,
k
∈Z
B
.

-




,
k
∈Z
C
.

-


,
k
∈Z

D
.

-


,
k
∈Z

(2)[2016·全国卷
Ⅰ
] 将函数
y=
2sin2
x+

的图像向右平移

个周期后,所得图像对应的函数为 (

)
A
.y=
2sin2
x+


B
.y=
2sin2
x+


C
.y=
2sin2
x-


[试
做]

_____________________________ __________________________________________________ ___________
__________________________________ __________________________________________________ ____________
命题角度

三角函数图像平移问题和求解析式问题
(1)解决三角函数图像平移问题:关键一,有两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”;
关键二,ω
x+
φ
=
ω
x+









D
.y=
2sin2
x-



.

利用图像变换求三角函数解析式问题:
关键一,确定图像的变换方向(左加右减、上加下减、横纵坐标的伸长或缩短);
关键二,根据不同的变换形式变换已知解析式
.

(2)利用图像求函数y=A
sin(ω
x+
φ)的解析式时,常采用待定系数法:由图像的最高点或最 低点求
A
,由函数的周期求
ω,确定φ时常根据“五点法”中的五个点求解,或由图像 上的某一特殊点求出φ的值
.

2
.
[2016·全国卷
Ⅱ
] 函数
f
(
x
)
=
cos 2
x+
6cos


-x
的最大值为 (

)
A
.
4

B
.
5

C
.
6

D
.
7
[试做] _ __________________________________________________ _______________________________________
______ __________________________________________________ ________________________________________
命题角度

三角函数的有界性

利用三角函数的有界性求最值 问题:方法一,利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin
x
和cos
x
的二次
函数,采用配方法求最值;
方法二,利用诱导公式、辅助角公式将 函数化为
f
(
x
)
=A
sin(ω
x+
φ )
+b
(或
f
(
x
)
=A
cos(ωx+
φ)
+b
)的形式,根据三角函
数的有界性运用整体思想求最值.

3
.
【引·全国卷】
[2014·全国卷
Ⅰ
] 在函数
①y=
cos
|
2
x|
,
②y=|
cos
x|
,
③y=
cos2
x+
函数为 (

)
A
.①②③
B
.①③④
C
.②④
D
.①③

[试
做]

____________ __________________________________________________ ____________________________
_________________ __________________________________________________ _____________________________
【荐·地方卷】
[2018·江苏卷] 已知函数
y=
sin(2
x+
φ)
-

<
φ
<

的图像关于直线
x=

对称,则φ的值为
.

命题角度

三角函数图像与性质问题
(1)解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为
y=A
sin(ω
x+
φ)
+b
(或
f
(
x
)
=A
cos(ω
x+
φ)
+b
)(
A >
0,ω
>
0)的形
式;
关键二,把ω
x+
φ看 作一个整体
t
,根据
y=
sin
t
或
y=
cos
t
的单调区间或图像的对称轴,求得原函数的单调区间或
原图像的对称轴;
关键三,最小正周期为





,
④y=
tan2
x-


中,最小正周期为π的所有
.


(2)对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是

个周期,相邻对称中心与
对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是 个周期
.




小题1三角函数的定义、诱导公式及同角关系式
1 (1)已知sin
A
.

C
.







+
α




=

,则sin
-
α
=
(

)






B
.-

D
.-



(2)已知sin α
+
cos α
=

,则sin αcos α的值为
.

[听课笔记]
__________ __________________________________________________ __________________________
___________________ __________________________________________________ ___________________________
【考场点拨】

应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的易失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由
sinα
=
求sin α的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误
.

2


【自我检测】
1
.
已知角α的终边经过点 (
m
,
-
2
m
),其中
m
≠0,则sin α
+
cos α等于 (

)
A
.-







B
.±







C
.-



D
.±



2
.
已知cosα
+
A
.





=

,则sin
B
.-




-
α

的值等于 (

)
C
.




D
.±




3
.
已知sin α
+

cos α
=

,则tan α
=
(

)
A
.


C
.-








B
.


D
.-


小题2三角函数的图像及应用
2 (1)为了得到函数
y=
cos

的图像,只需将函数
y=
sin
A
.
向左平移

个单位
B
.
向右平移

个单位
C
.
向左平移π个单位
D
.
向右平移π个单位
(2)函数
f
(
x
)
=
sin(π
x+
θ )
|
θ
|<

的部分图像如图M2
-
7
-
2,且
f
(0)
=-

,则图中
m
的值为 (

)





+
的图像 (

)

图M2
-
7
-
2
A
.
1
C
.
2




B
.


D
.

或2


[听课笔记] __________________________________ __________________________________________________ ___
__________________________________________ __________________________________________________ ____
【考场点拨】
三角函数图像平移变换中的误区:
(1)函数图像的平移 法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移变换只是针对
x
作的变换;
(2)函 数
f
(
x
)
=
sin(ω
x+
φ)的图像 向左(右)平移
k
个单位长度后,其图像对应的函数解析式为
g
(
x
)
=
sin[ω(
x±k
)
+
φ],而不是
g
(
x
)
=
sin(ω
x±k+
φ)
.

【自我检测】

1
.
要得到函数
y=
sin2
x+

的图像,只需将函数
y=
2sin
x
cos
x
的图像
A
.
向左平移
个单位
B
.
向右平移

个单位
C
.
向左平移
个单位
D
.
向右平移

个单位







(

)
2
.
将最小正周期为π的函数
f
(
x
)
=

sinω
x+

+
cosω
x+

(ω
>
0)的图像向右平移

个单位后,所得图像对应的
函数解析式为
A
.y=
2sin2
x-



(

)

B
.y=
2cos2
x-


C
.y=
2sin 2
x

D
.y=
2cos2
x-



3
.
函数
f
(
x
)
=A
sin(ω< br>x+
φ)
A>
0,ω
>
0,φ
将
f
(
x
)的图像 (

)
<

的部分图像如图 M2
-
7
-
3所示,为了得到
g
(
x
)< br>=
cos 2
x
的图像,则只需


图M2
-
7
-
3
A
.
向右平移

个单位长度
B
.
向右平移

个单位长度
C
.
向左平移

个单位长度
D
.
向左平移

个单位长度
小题3三角函数的性质及应用
3 (1)已知函数
f
(
x
)
=
2sin(ω
x+
φ)(ω
>
0,0
<
φ
<
π)的图像上相邻两条对称轴间的距离为

,且
f
正确的是
A
.
ω
=
2
B
.
函数
y=f
(
x-
π)为偶函数
C
.
函数
f
(
x
)在
-
π,
-
上单调递增
D
.
函数
f
(
x
)的图像关于点









=
0,则下列说法
(

)
,0对称
(2)[2018·全国卷
Ⅱ
] 若
f
(
x
)
=
cos
x-
sin
x
在[0,
a
]是减函数,则
a
的最大值是 (

)
A
.



B
.




C
.



D
.
π

[听课笔记] ____________________ __________________________________________________ _________________
____________________________ __________________________________________________ __________________
【考场点拨】
利用三角函数的性质解题时要注意以 下两点:一是考查三角函数的性质时,首先要将函数化为
y=A
sin(ω
x+
φ)
的形式,再对比
y=
sin
x
的性质,即把ω
x+
φ看成一个整体处理,但是一定要满足ω
>
0,否则易出错;二是一定要结合
图像进行分析
.


【自我检测】
1
.
函数
f
(
x
)
=
sin ω
x-
cos ω
x
(ω
>
0)在
-

,

上单调递增,则ω的取值不可能为
A
.




(

)
B
.



C
.



D
.



2
.
设函数
f
(
x
)
=
cos(


x+
φ),其中常数φ满足
-
π
<
φ
<
0
.
若函数
g
(
x
)
=f
(
x
)
+f'
(
x
)(其中f'
(
x
)是函数
f
(
x
)的导数)是偶函数,则φ等于 (

)
A
.-


C
.-










B
.-

π
D
.-






3
.
已知函数
y= A
sin(ω
x+
φ)(
A>
0,ω
>
0)图像上 相邻两个最高点的距离为6,
P
则该函数图像的一个对称中心是
A
.
(1,0)
C
.
(3,0)






B
.
(2,0)
D
.
(4,0)
(

)
,
-
2是该函数图像上的一个最低点,
小题4三角函数的值域与最值问题
4 函数
f
(
x
)
=
cos
x
sin
x+
[听课笔记]
________________ __________________________________________________ ____________________
_________________________ __________________________________________________ _____________________
【考场点拨】
求三角函数的值域与最值问题的类型与求解策略:(1)形如
y=a
sin
x+b
cos
x+c
的三角函数,要根据三角恒等变
换把函数化为
y=A
sin(ω
x+
φ)
+B
的形式,再借助三角函数图 像与性质确定值域与最值;(2)形如
y=a
sin
x+b
sin
x+c
2


-

cos
2
x+

在闭区间
-

,

上的最小值是
.



的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如
y=a
sin
x
cos
x+b
(sin
x±
cos
x
)
+c
的三角函数,可先设
t=
sin
x±
cos
x
,再转化为关于
t
的二次函数去求解
.

【自我检测】
1
.
已知函数
y=
sin ω
x+

cos ω
x
(ω
>
0)在区间0,

上的最小值为
-
1,则ω
= .

2
.
已知函数
y=
cos
x+

sin 2
x-

,
x
∈0,

,则该函数的值域为
.
2

第8讲

三角恒等变换与正、余弦定理

1
.
(1)[2016·全国卷
Ⅰ
] 已知θ是第四象限角,且sinθ
+

=

,则tanθ
-

= .

(2)[2017·全国卷
Ⅰ
] 已知α∈



,tan α
=
2,则cosα
-

= .

[试做]

____________________________ __________________________________________________ _________
____________________________________ __________________________________________________ __________
命题角度

不同名三角函数的求值
(1)解决“已 知角”与“所求角”不同名的求值问题:关键一,根据“所求角”与“已知角”的和或差的关系进行“变
角”,对角的分拆要尽可能化成同角、补角、余角或特殊角;关键二,利用诱导公式进行“变名”求值
.

(2)常见的配角技巧:2α
=
(α
+
β)
+< br>(α
-
β),α
=
(α
+
β)
-
β ,β
=
θ
-

=

等
.

2
.
(1)[2016·全国卷
Ⅲ
] 若tan θ
=-

,则cos 2θ
=
(

)
A
.-


B
.-


C
.


D
.


(2)[2013·全国卷
Ⅱ
] 已知sin 2α
=

,则cos




=
(

)
2


-

-

,α
=
- -

+

,

=
α
+

-

+
β

,θ
+

-





A
.



B
.



C
.



D
.



[试做]

_______________________ __________________________________________________ ______________
_______________________________ __________________________________________________ _______________
命题角度

求高次幂或倍角的三角函数值问题 < br>(1)解决已知正切值,求高次幂或倍角的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将倍角转化为“已知角 ”;关键二“,1”
的代换,1
=
sin
α
+
cosα=
(sin α
+
cos α)
-
2sin α
·
cos α;关键三,弦切互化,tan α
=
222


.

(2)解决已知倍角值,求高次幂的三角函数值问题:关键一, 应用倍角公式将高次幂的三角函数转化为倍角;关键二,利
用诱导公式进行变名求值
.

3
.
(1)[2017·全国卷
Ⅰ
] △
ABC
的 内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c.
已知sin
B+
sin
A
(sin
C-
cos
C
)
=
0,
a=
2,
c=

,则
C=



(

)


A
.


B
.


C
.

D
.


222
(2)[2018·全国卷
Ⅰ
] △
ABC
的内角< br>A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b< br>,
c.
已知
b
sin
C+c
sin
B=
4
a
sin
B
sin
C
,
b
+c-a=
8,则△
ABC
的面积为
.

(3)[2014·全国卷
Ⅰ
] 如图M2
-
8
-
1,为测量山高
MN
,选择
A
和另一座山的山顶
C
为测量观 测点
.
从
A
点测得
M
点的仰
角∠
MAN=
60°,
C
点的仰角∠
CAB=
45°,以及∠
MAC=< br>75°,从
C
点测得∠
MCA=
60°
.
已知山高< br>BC=
100 m,则山高
MN=
m
.

图M2
-
8
-
1
[试做]

_____________________________________ __________________________________________________
______________________________________________ __________________________________________________
命题角度

正、余弦定理的应用
(1)利用正、余弦定理求边、角的解题策略:关键一,利用正、余弦定理进行边角互化;
关键二,运用三角恒等变换和
A+B+C=
π进行化简、消元,求出所求角;
关键三,已知两边和一边的对角或已知两角和一边,则选用正弦定理解三角形
.

(2)利用正、余弦定理,解决实际问题的一般步骤:
①
理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
②
根据已知条件与求解目标, 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
③
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
④
检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
.

小题1三角恒等变换与求值
1 (1)[2018·全国卷
Ⅱ
] 已知tan

-
(2)若sin
A
.






=

,则tan α
= .



-
α



=

,则cos
B
.





+
2α
=
(

)



C
.-


[听课笔

D
.-



记]

_______ __________________________________________________ ____________________________
_________________ __________________________________________________ _____________________________
【考场点拨】
高考中三角恒等变换与求值的常用解题策略:
(1)“1”的代换,1
=
sin
α
+
cosα;
22
(2)降幂与升幂,二倍角公式的应用及逆用;
(3)转化法,弦切互化,一般是切化弦;
(4)角的拆分,2α
=
(α< br>+
β)
+
(α
-
β),2β
=
(α
+
β)
-
(α
-
β),α
=
(α
+
β)
-
β,β
=
(α
+
β)
-
α等.

【自我检测】

1
.
已知cos α
=

,则sin
A
.-


C
.








-
2α
=
(

)





B
.


D
.-








2
.
已知cos
A
.-


C
.




+
α



=
2cos(π
-
α),则tan
B
.-
3
D
.
3

2
+
α
=
(

)


3
.
已知sin α
+
cos α
=

,则sin
A
.







-
α
=
(

)




B
.



C
.
D
.

22



4
.
[2018·全国卷
Ⅰ
] 已知函数f
(
x
)
=
2cos
x-
sin
x+
2,则 (

)
A
.f
(
x
)的最小正周期为π,最大值为3
B
.f
(
x
)的最小正周期为π,最大值为4
C
.f
(
x
)的最小正周期为2π,最大值为3
D
.f
(
x
)的最小正周期为2π,最大值为4
小题2利用正、余弦定理解三角形
2 (1)在△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,若
a+b+c=
20,三角形的面积为10

,
A=
60°,则
a=
(

)
A
.
7
C
.
5




B
.
8
D
.
6
(2)在△
ABC
中,若满足
a
cos
A=b
cos
B
,则△
ABC
的形状为 (

)
A
.
等腰三角形
B
.
锐角三角形
C
.
等腰直角三角形
D
.
等腰或直角三角形
[听课笔记]
__________________________________ __________________________________________________ __
___________________________________________ __________________________________________________ ___
【考场点拨】
高考中利用正、余弦定理解三角形的解题策略:
在解三角形 时,要有意识地考虑哪个定理更适合解题,甚至两个定理都需要,当给的条件含有角的余弦或边的
二次式 时,多考虑余弦定理,当给的条件含有角的正弦或边的一次式时,多考虑正弦定理
.

当以上特征不明显时,要考虑哪个定理更适合或者两个定理都要用
.

【自我检测】

1
.
[2018·全国卷
Ⅱ
] 在△
ABC
中,cos
=
,
BC=
1,
AC=
5,则
AB=
(

)
A
.
4


C
.






B
.


D
.
2






2
.
在△
ABC
中, 内角
A
,
B
,
C
所对应的边分别为
a
,< br>b
,
c.
若角
A
,
B
,
C
依次成等差数列,且
a=
1,
b=

,则
S
△
ABC
=
(

)
A
.


C
.










B
.


D
.
2
2
3
.
已知锐角△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,若
b=a
(
a+c
),则
A
.
0,


C
.



,






-
的取值范围是 (

)


B
.




,





D
.
0,




-


4
.
在△
ABC
中,内角A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b,
c
,若其面积
S=
小题3正、余弦定理的实际应用
,则cos 2
A= .

3 已知台风中心位于城市
A
东偏北α(α为锐角)度方向的150 km处,以
v
kmh沿正西方向快速移动,2
.
5 h后
到达距城市
A
西偏北β(β为锐角)度方向的200 km处,若cos α
=
cos β,则
v=
(

)


A
.
60



B
.
80
D
.
125 C
.
100
[听课笔记] ______ __________________________________________________ _______________________________
______________ __________________________________________________ ________________________________
【考场点拨】
高考中三角形的应用的解题策略:
三角形的应用实际上是把此类问题转化为解三角形问题,通 过题设画出图形,在三角形中找出已知条件和所求
的量,利用正弦定理或者余弦定理去解决
.< br>
【自我检测】
1
.
如图M2
-
8
-2,从气球
A
上测得正前方的河流的两岸
B
,
C
的俯角 分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流
的宽度

图M2
-
8
-
2
BC
等于 (

)
A
.
240(


-
1) m
B
.
180(


-
1) m
C
.
120(


-
1) m

D
.
30(


+
1) m
2
.
海上有
A
,
B
两个小岛相距10 n mil e,从
A
岛望
B
岛和
C
岛成60°的视角,从
B< br>岛望
A
岛和
C
岛成75°的视角,则
B
,
C
间的距离是 (

)
A
.
5

n mile
B
.
10

n mile
C
.

n mile


D
.
5

n mile

第9讲

三角恒等变换与解三角形

1
.
(1)[2015·全国卷
Ⅰ
] 已知
a
,< br>b
,
c
分别是△
ABC
内角
A
,
B
,
C
的对边,sin
B=
2sin
A
sin
C.

2
①
若
a=b
,求cos
B
;
②
若
B=
90°,且
a=

, 求△
ABC
的面积
.

(2)[2015·全国卷
Ⅱ
] △
ABC
中,
D
是
BC
上的点,
AD
平分∠
BAC
,
BD=
2
DC.

①
求
∠
;
②
若∠
BAC=
60°,求∠
B.

[试做]

_________________________________ __________________________________________________ ____
_________________________________________ __________________________________________________ _____
命题角度

解三角形的问题
(1)近五年的高考试题中,经常 出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形
面积的综合;正弦 定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合
.

(2)解三角形问题的步骤:
第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;
第二步,利用三角恒等变换求边与角;
第三步,代入数据求值;
第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性
.

(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元
.


解答1三角形基本量的求解
1 在△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且
c-b=
2
b
cos
A.

(1)若
a=
2

,
b=
3,求边
c
的长;
(2)若
C=

,求角
B
的大小
.

[听课笔记] __________ __________________________________________________ ___________________________
__________________ __________________________________________________ ____________________________
_________________ __________________________________________________ ______________________________
_______________ __________________________________________________ _______________________________
______________ __________________________________________________ _________________________________
____________ __________________________________________________ __________________________________
___________ __________________________________________________ ____________________________________
2 在△
A BC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,
c
,且2
c
cos
B=
2
a-b.

(1)求角
C
的大小;
(2)当
c=
3时,求
a+b
的取值范围
.


∠

[听课笔记] __________________ __________________________________________________ ___________________
__________________________ __________________________________________________ ____________________
_________________________ __________________________________________________ ______________________
_______________________ __________________________________________________ _______________________
______________________ __________________________________________________ _________________________
____________________ __________________________________________________ __________________________
___________________ __________________________________________________ ____________________________
【考场点拨】
求解三角形中 的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到
解决问题 的目的
.
其基本步骤是:
第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中 标出来,然后确定转化的方向
.

第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化
.

第三步:求结果
.

解答2与三角形面积有关的问题
3 在△ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为< br>a
,
b
,
c
,且满足
a
sin
B+


b
cos(
B+C
)
=
0,
a=


.

(1)求角
A
的大小;
(2)若
b=
2,求△
ABC
的面积
.

[听课笔
记]

__________________________ __________________________________________________ __________
___________________________________ __________________________________________________ ___________
__________________________________ __________________________________________________ _____________
________________________________ __________________________________________________ ______________
_______________________________ __________________________________________________ ________________
_____________________________ __________________________________________________ _________________
____________________________ __________________________________________________ ___________________
【考场点拨】
高考中与三角形面积有关问题的解题策略:
(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问 题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与
函数、基本不等式等结合考查
.

(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30°,45°,60°等特殊角的三角 函数值,以便在解题中应用
.

【自我检测】
在△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
的对边分别是
a
,< br>b
,
c
,且


a
·cos
C=
(2
b-


c
)cos
A.

(1)求角
A
的大小;
(2)若
a=
2,求△
ABC
面积的最大值
.

解答3以平面几何为载体的解三角形问题
4 如图M2
-
9
-
1,在四边形
ABCD
中,∠
DA B=
,
AD∶AB=
2
∶
3,
BD=

,
AB
⊥
BC.



(1)求sin∠
ABD
的值;
(2)若∠
BCD=

,求
CD
的长
.



图M2
-
9
-
1
[听课笔
记]
________________________________________________ ______________________________________
_______ __________________________________________________ _______________________________________
______ __________________________________________________ _________________________________________
____ __________________________________________________ __________________________________________
【考场点拨】
以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的 性质;二是出现多个三角形时
从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求; 四是善于用好三角形中的不等关系如
大边对大角,最大角一定大于或等于
【自我检测】
如图M2
-
9
-
2,在△
ABC
中,
B=
,
BC=
2
.





,从而可以确定角或边的范围
.

(1)若
AC=
3,求边
AB
的长
.

( 2)若点
D
在边
AB
上,
AD=DC
,
DE
⊥
AC
,
E
为垂足,
ED=

,求角
A
的大小
.




图M2
-
9
-
2