正弦定理(一)

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课题：正弦定理（一） 教 者：谢宝明
【教学过程简记】
（一）创设情境:
问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预 先测量桥长AB,于是在江边选
取一个测量 点C,测得CB=435m,∠CBA=
88
0
,∠BCA=
42
0
。由以上数据，能测
算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题?
引出课题：“正弦定理
（二）猜想、实验：
1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可
能存在哪些关系？
2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，
提炼出asinA= bsinB=csinC。

3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？
请学生以量角器、刻度尺 、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进
行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得 出猜想，即在任意三
角形中，有asinA=bsinB=csinC。
（三）证明探究：

对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数 学需要
理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？
1、 特殊入手，探究证明 ：

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。 在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
?C?90
0
， 根据锐角
a
b
c
?sin
A
?sin
Bsi
C
n??1
c
, 则的正弦函数的定义，有
c
，
c
，又
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
c
a
，从而在直角三 角形ABC中，
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
。
2、推广拓展，探究证明 ：
问题2
：
在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与
sinA
、 b与sinB”
的关系呢？


探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

图1
图2
_(acos(D
_a

?

-

B

),

asin

(

?

-

B

))


_b
_(bcosA,bsinA)C
_a


_c

_(c,0)B



图3 图4

探究2：能否引入向量，归结为向量运算？
（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？
学生探究，师生、生生之间交流讨论，得
?
AB?BC?AC,AB?BC?CA?0,AB? CB?CA,
（这三个式子本质上是相同的）,
AD?BC?0
等,
（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)

（3）可取与哪些向量的数量积运算？
探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？
（1）如图4，建立直角坐 标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),
（2）向量
BC
的坐标=？ （bcosA-c，bsinA）
（3 ）哪一点的坐标与向量
BC
的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐
标又为多少？
根据平行四边形法则，D（
acos(180
0
?B),asin(180< br>0
?B)
），从而建立等量

关系：bcosA－c=
a cos(
bcosA+
180
0
?B),
bsinA=
asin(180
0
?B)
, 整理，得c=
acosB（这其实是射影定理），asinA=bsinB，同理可得asinA=csinC。
问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）

（四）理解定理、基本应用：
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc
??< br>sinAsinBsinC
问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？
（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学
的和谐美。
（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定
理的基本作用为：
bsinA
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a?
； sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sinA
?sin
B
a
b
。
2、例题分析
例1 ．在
?ABC
中，已知
A?32.0
，
B?81.8
，a?42.9
cm，解三角形。
评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?AB C
中，已知
a?20cm,b?28cm,A?40
0
，解三角形（角度精< br>确到
1
，边长精确到1cm）。
3、课堂练习：
（1）、引题（问题1）
（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
0
00
（五）课堂小结：
请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。
（六）作业布置：
书面作业：P10习题1.1 1、2
【课后点评】
本课通过精心设计“发现 和解决问题”的过程，注重讲背景、讲
过程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情 境

出发，在教师的指导下，结合学生的已有知识经验，通过自主学习，
进行发散 式猜想与探究判断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，
完善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新 旧知识的连接点设问，搭
建知识脚手架，让学生展开联想，力求引导学生寻找合理的知识方法
（ 如本课知识生长点：三角函数与平面向量两大工具），进行自主性
的活动与尝试，进一步拓展学生知识链 。