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电动机的输出功率公式概率论与数理统计公式大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 18:49
tags:条件期望公式

2013广东高考作文-2016高考作文

2020年10月7日发(作者:卞寅清)
第四章 随机变量的数字特征
(1)一维随
机变量的数
期望
字特征
期望就是平均值
离散型 连续型
设X是离散型随机变量,其分设X是连续型随机变量,其概率
布律为P( )=p
k
,k=1,2,…,n, 密度为f(x),

(要求绝对收敛)
Y=g(X)






①对于正整数k,称随机变量①对于正整数k,称随机变量X< br>X的k次幂的数学期望为X的的k次幂的数学期望为X的k
k阶原点矩,记为v
k
,即 阶原点矩,记为v
k
,即
ν
k
=E(X
k
)= , k=1,2, …. ν
k
=E(X
k
)=

(要求绝对收敛)
Y=g(X)

函数的期望
方差
D(X)=E[X-E(X)]
2

标准差



②对于正整数k,称随机变量 k=1,2, ….
X与E(X)差的k次幂的 数学
期望为X的k阶中心矩,记
②对于正整数k,称随机变量X
与E(X)差的k次幂 的数学期
为 ,即
望为X的k阶中心矩,记为 ,

= , k=1,2, ….
=
k=1,2, ….
设随机变量X具有数学期望E( X)=μ,方差D(X)=σ
2
,则
对于任意正数ε,有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率

的一种估计,它在理论上有重要意义。
(2)期望的(1) E(C)=C
性质
(2) E(CX)=CE(X)
(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y),
(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X和Y独立;
充要条件:X和Y不相关。
(3)方差的(1) D(C)=0;E(C)=C
性质
(2) D(aX)=a
2
D(X); E(aX)=aE(X)
(3) D(aX+b)= a
2
D(X); E(aX+b)=aE(X)+b
(4) D(X)=E(X
2
)-E
2
(X)
(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立;
充要条件:X和Y不相
关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。
(4)常见分 期望
布的期望和
0-1分布 p
方差
二项分布 np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n
t分布 0
(5)二维随期望
机变量的数

方差








2n
(n>2)


字特征 函数的期望








方差
协方差

对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的
协方差或相关矩,记为 ,即

与记号 相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为
与 。
对于随机变量X与Y,如果D(X)>0, D(Y)>0,则称

为X与Y的相关系数,记作 (有时可简记为 )。
| |≤1,当| |=1时,称X与Y完全相关:
完全相关
而当 时,称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的:
① ;
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

对于随机变量X与Y,如果有 存在,则称之为X与Y的k+l
阶混合原点矩,记为;k+l阶混合中心矩记为:
相关系数
协方差矩阵
混合矩

(6)协方差(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
的性质
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X
1
+X
2
, Y)=cov(X
1
,Y)+cov(X
2
,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
(7)独立和(i) 若随机变量X与Y相互独立,则 ;反
不相关 之不真。
(ii) 若(X,Y)~N( ),
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
第五章 大数定律和中心极限定理
(1)大数定律 切比雪设随机变量X
1
,X
2< br>,…相互独立,均具有有限方差,且
夫大数被同一常数C所界:D(X
i

定律 的正数ε,有

特 殊情形:若X
1
,X
2
,…具有相同的数学期望E
(X
I< br>)=μ,则上式成为

伯努利设μ是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A
大数定在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数ε,有


伯努利大数定律说明,当试验次数n很大时,
事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大设X
1
, X
2
,…,X
n
,…是相互独立同分布的随机变量序
数定律 列,且E(X
n
)=μ,则对于任意的正数ε有

(2)中心极限定列维 -设随机变量X
1
,X
2
,…相互独立,服从同一分布,且具
理 林德伯有相同的数学期望和方差:,则随机变量
格定理

的分布函数F
n
(x)对任意的实数x,有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗设随机变量 为具有参数n, p(0-拉普对于任意实数x,有
拉斯定


(3)二项定理 若当 ,则

超几何分布的极限分布为二项分布。
(4)泊松定理 若当 ,则

其中k=0,1,2,…,n,…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章 样本及抽样分布
(1)数理总体
统计的基
本概念
个体
样本
在数理统计中,常把被考察对象的某 一个(或多个)指
标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一
个具有分布的随机变量 (或随机向量)。
总体中的每一个单元称为样品(或个体)。
我们把从总体中抽取的部分样 品称为样本。样本中所含
的样品数称为样本容量,一般用n表示。在一般情况下,
总是把样本看 成是n个相互独立的且与总体有相同分布
的随机变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任
一次抽取的结果时,表示n个随机变量(样本);在具
体的一次抽取之后, 表示n个具体的数值(样本值)。
我们称之为样本的两重性。
样本函数和设 为总体的一个样本,称
统计量
( )
为样本函数,其中 为一个连续函数。如果 中不包含任
何未知参数,则称 ( )为一个统计量。
常见统计量样本均值
及其性质
样本方差
样本标准差
样本k阶原点矩

样本k阶中心矩

, ,
, ,
其中 ,为二阶中心矩。
(2)正态正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数
总体下的

四大分布
t分布 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数

其中 表示自由度为n-1的 分布。
设 为来自正态总体 的一个样本,而 为来自正态总体
的一个样本,则样本函数

其中

表示第一自由度为 ,第二自由度为 的F分布。
(3)正态与 独立。
总体下分
布的性质
第七章 参数估计
(1)点矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ,则其分布函数可以表成 它

F分布
估计 的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ,即 。又设为总体X的n
个样本值,其样本的k阶原点矩为

这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的
样本矩”的原则建立方程,即有

由上面的m个方程中,解出的m个未知参数 即为参数( )的
矩估计量。

若 为 的矩估计, 为连续函数,则 为 的矩估计。
极大似当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为 ,其中 为未
然估计 知参数。又设 为总体的一个样本,称

为样本的似然函数,简记为L
n
.
当总体X为离型随机变量时,设其分布律为 ,则称

为样本的似然函数。
若似然函数 在处取到最大值,则称 分别为 的最大似
然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。


若 为 的极大似然估计, 为单调函数,则 为 的极大似然估
计。
(2)估无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E ( )= ,则称 为 的无偏估
计量的计量。
评选标
E( )=E(X), E(S
2
)=D(X)

有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ,则称 有效。
一致性 设 是 的一串估计量,如果对于任意的正数 ,都有

则称 为 的一致估计量(或相合估计量)。

若 为 的无偏估计,且 则 为 的一致估计。
只要总体的E(X)和D(X)存在,一切样本矩和样本矩的 连续函
数都是相应总体的一致估计量。
设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发,
找出两个统计量 与 ,使得区间 以 的概率包含这个待估参
数 ,即

那么称区间 为 的置信区间, 为该区间的置信度(或置信水
平)。
设 为总体 的一个样本,在置信度为 下,我们来确定 的置信
区间 。具体步骤如下:
(i)选择样本函数;
(ii)由置信度 ,查表找分位数;
(3)区置信区
间估计 间和置
信度
单正态
总体的
期望和
方差的
区间估


(iii)导出置信区间 。
已知方差,估计均值 (i)选择样本函数

(ii) 查表找分位数

(iii)导出置信区间

(i)选择样本函数

(ii)查表找分位数

未知方差,估计均值
(iii)导出置信区间

(i)选择样本函数

(ii)查表找分位数

(iii)导出的置信区间

第八章 假设检验
基本思想 假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本
上是不会发生的,即小概率原理。
为了检验一个假设H
0
是否成立。我们先假定H
0
是成立的 。如
果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定
H
0
是不正确的,我们拒绝接受H
0
;如果由此没有导出不合理的现象,
则不能拒绝接受H
0
,我们称H
0
是相容的。与H
0
相对的假设称为备择假< br>设,用H
1
表示。
这里所说的小概率事件就是事件 ,其概率就是检验水平α,
通常我们取α=0.05,有时也取0.01或0.10。
基本步骤 假设检验的基本步骤如下:
(i) 提出零假设H
0

(ii) 选择统计量K;
(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ;
(iv) 由样本值 计算统计量之值K;
将 进行比较,作出判断:当时否定H
0
,否则认为H
0
相容。
两类错误 第一类错误 当H
0
为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规
定的检验法则,应当否定H
0
。这时,我们把客观上

H
0成立判为H
0
为不成立(即否定了真实的假设),称
这种错误为“以真当假”的错 误或第一类错误,记为
犯此类错误的概率,即
方差的区间估计
P{否定H
0
|H
0
为真}= ;
此处的α恰好为检验水平。
当H
1
为真时,而样本值却落入了相容域,按照 我们规
定的检验法则,应当接受H
0
。这时,我们把客观上
H
0。不成立判为H
0
成立(即接受了不真实的假设),
称这种错误为“以假当真”的 错误或第二类错误,记
为犯此类错误的概率,即
第二类错误
P{接受H
0
|H
1
为真}= 。
两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,
当容量n一定时, 变小,则 变大;相反地, 变小,
则 变大。取定 要想使变小,则必须增加样本容量。
在实际使用时,通常人们只能控 制犯第一类错误的概
率,即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实
际情况而定。当我们宁可 “以假为真”、而不愿“以
真当假”时,则应把α取得很小,如0.01,甚至
0.001。反 之,则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验
对应样本
条件 零假设


















统计量
函数分布
已知 N(0,1)


















否定域
未知
未知

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