高中数学-典型题库

典型题库
1.已知函数
f(x?1)
是定义在
R
上的奇函数，若对于任意给定的不等实数
x
1
,x
2
，不等 式
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0
恒成立，则不等式
f(1?x)?0
的解集为 c
A.
(1,??)
B.
(0,??)
C.
(??,0)
D.
(??,1)

2. 若a?
111
?
xdx,b?
0
?
0
1?xdx ,c?
?
0
1?x
2
dx
，则
a,b,c
的大小关系是a
A.
a?b?c

B.
a?c?b
C.
b?a?c
D.
c?b?a
3.已知点
G
是?ABC
重心,
AG?
?
AB?
?
AC(
?< br>,
?
?R)
,
?
若
?A?120,AB?AC??2
, 则
AG
的最小值是c
32
23
B. C. D.
32
34
|sinx|
4.方程
? k(k?0)
有且仅有两个不同的实数解
?
,
?
(
?
?
?
)
，则以下有关两根关系的
x
A.
结论正确的是b
A
sin
?
?
?
cos
?
B．
sin
?
??
?
cos
?

C．
cos
?
?
?
sin
?
D．
sin
?
??
?
sin
?


5.已知函数
f(x)?x?bx?cx?d(b,c,d为常数），当k?(??,0)?( 4,??)
时，
32
f(x)?k?0
只有一个实根；当k∈（0，4）时，
f(x)?k?0
只有3个相异实根，
现给出下列4个命题：
①
f(x)?4?0
和
f
?
(x)?0
有一个相同的实根；
②
f(x)?0和f(x)?0
有一个相同的实根；
③
f(x)?3?0
的任一实根大于
f(1)?1?0
的任一实根；
④
f(x)?5?0
的任一实根小于
f(x)?2?0
任一实根.
其中正确命题的序号是
________________
①②④
6．
'

B
7．

8

解:(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,
所以GM FA,又EC
?
面ABCD, FA
?
面ABCD,
∵CEAF,
∴CEGM,………………2分
∵面CEGM
?
面ABCD=CM,
EG 面ABCD,
∴EGCM,………………4分
∵在正三角形ABC中，CM
?
AB,又AF
?
CM
∴EG
?
AB, EG
?
AF,
∴EG
?
面ABF.…………………6分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,
则B（
3,0,0
）E(0,1,1) F（0，-1，2）
EF
=(0，-2,1) ,
EB
=(
3
,-1，-1),
DE
=(
3
,1， 1),………………8分
设平面BEF的法向量
n
1
=（
x,y,z
）则
?
?
?2y?z?0
x?y?z?0
令
y?1
，则
z?2,x?3
,
?
3
∴
n
1
=（
3,1,2
）…………………10分
同理，可求平面DEF的法向量
n
2
=（-
3,1,2
）
设所求二面角的平面角为
?
，则
cos
?
=
?
1
4
.…………………12分
9

解：(Ⅰ)
茎叶图






……………………2分
或










…
……………2分
从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派 乙同学代表班级参加
比赛更好；………………4分
（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，
则甲、乙两 人成绩至少有一个低于
12.8
秒的概率为：
1?
617
??
；……………8分(此部分，可根据解法给步骤
10210
分:2分)
（Ⅲ）设甲同学的成绩为
x
，乙同学的成绩为
y
，
则
x?y?0.8
，……………10分

得
?0.8?x?y?0.8?x
，
如图阴影部分面积即为
3?3?2.2?2.2?4.16
，则
P(x?y?0.8)?P(?0.8?x?y?0.8?x)?
…………12分
10．
4.16104
.
?
3?3225

?
x?x
0
?
x
0
?x
?
解：（Ⅰ）设P
?
x
0
,y
0
?
，
M
?< br>x,y
?
，由
?
，得，…………2分
?
1
y?y
0
?
y
0
?2y
?
?2
x
2
y
2
代入
x?y?a
，得
2
?
2
?1
.……………4分
a
a
4
222
（Ⅱ）①当
l
斜率不存在时， 设
x?t
，由已知得
?a?t?a
，
?
x
2< br>?4y
2
?a
2
a
2
?t
2
2由
?
，得
y?

4
?
x?t
所以S
?OAB
1a?t
??2y?x?t??
22
22
?
a
2
?t
2
?
t
2
2
a
2
?
，
4
222
当且仅当
t?a?t
，即
t?
2
a
时，等号成立.
2
a
2
此时
S
?OAB
最大值为.……………………5分
4
②当
l
斜率存在时，设其方程为
y?kx?m
，
?
x
2
?4y
2
?a
2
2222
由?
，消去
y
整理得
?
4k?1
?
x?8kmx ?4m?a?0
，
?
y?kx?m
222
??
?
8km
?
?4
?
4k
2
?1
??
4m2
?a
2
?
?4
?
?
4k?a?4m
?
?

2
由
??0
，得
4ka?a?4m?0
①
2222

?8km4m
2
?a
2,x
1
x
2
?
设
A
?
x
1< br>,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
x
1
?x
2
?
②………7分
4k
2
?14k
2
?1
AB?
?< br>2
x?x
?
?
1?k
?
?
?
?2
12
2
22
??
?
?8km
?
2< br>4m?a
?4x
1
x
2
?
?
?
1? k
?
?
?
2
?
?4?
?
2
?4k?14k?1
??
??
③
??
2
22
4k?1
2
?
?
?
1?k
?
?
?
a
?
1?4k
?
?4m
?
22
原点到直线
l
距离为
d?
由面积公式及③④得
m
1?k
2
， ④…………………9分
S< br>?OAB
?
112
?ABd??
2
?
22
4 k?1
222
?
a1?4k?4m
?
1?k
2
?< br>?
??
??
m
1?k
2

4m
2< br>4m
2
2
?(a?)
2
22
14m
2
4m1a
2
2
1?4k1?4k
??(a?)???,
2
1?4k
2
224
1?4k
2
………………11分
a
2
a
2
?1
，所以
a?2
.…………………12分 综合①②，
S
?OAB
的最大值为，由已知得
4
4
11．

解：(Ⅰ)
f(x)
的定义域为
(0,??),
f(x) ?
'
'
1?ax
，
x
若
a?0,
则f(x)?0,
?f(x)
在
(0,??)
上单调递增，……………2分
若
a?0,
则由
f(x)?0
得
x?
11
'
，当
x?(0,)
时，
f(x)?0,
当
aa
111
x?(,??)
时，
f
'
(x)?0
，
?f (x)
在
(0,)
上单调递增，在
(,??)
单调递减.
aaa
'
所以当
a?0
时，
f(x)
在
(0,?? )
上单调递增，
当
a?0
时，
f(x)
在
(0 ,)
上单调递增，在
(,??)
单调递减.……………4分
1
a< br>1
a
lnxxlnx?a(x
2
?1)
?
(Ⅱ)f(x)?
,
x?1x?1
令
g(x)?xlnx?a(x?1)(x?1)
,
2

g
?
(x)?lnx?1?2ax
,令
F(x)?g
?
(x)?lnx?1?2ax
,
F
?
(x)?
1?2ax
,………………6分
x
(1)若a?0,
F
?
(x)?0
,
g
?
(x)在
?
1,??
?
递增，g
?
(x)?g
?
( 1)?1-2a?0

?g(x)在
?
1,??
?
递增,g (x)?g(1)?0
,
lnx
?0,不符合题意
.……………8分 x?1
111
(2)
若0?a?,当x?(1,),F
?
(x) ?0,?g
?
(x)在(1,)递增
,
22a2a
从而f(x)-
从而g
?
(x)?g
?
(1)?1-2a,
以下论证
同(1)一样，所以不符合题意
.……………10分
1
(3)若a?,F
?
(x)?0在
?
1,??
?
恒成立
,
2
?g
?
(x)在
?
1,??
?
递减，g
?
(x)?g
?
(1)?1-2a?0
,
从而g(x)在
?
1,??
?
递减,?g(x)?g(1)?0,f(x)?
?
1
?
2
?
?
lnx
?0
,
x?1
综上所述，
a
的取值范围是
?
,??
?
………………12分
12．
△
如图，曲线
C
1
是以原点
O
为中心、F
1
,F
2
为焦点的椭圆的一部分，曲线
C
2
是以
O
为
F
2
为焦点的抛物线的一部分，顶点、若
AF1
?
A
是曲线
C
1
和
C
2
的 交点且
?AF
2
F
1
为钝角，
7
，
25
AF
2
?
.
2
（1）求曲线
C
1
和
C
2
的方程；
（2）过
F
2
作一条与
x
轴不垂直的直线，分别与曲线< br>C
1
、C
2
依次交于
B,C,D,E
四点，若
G
为
CD
中点、
H
为
BE
中点，问
否为 定值？若是求出定值；若不是说明理由.



BE?GF
2CD?HF
2
是
x
2
y
2
【解析】（1）解法 一：设椭圆方程为
2
?
2
?1
，则
ab

2a?
AF
1
?AF
2
?
得
a?3
.
75
??6
，
22
7
2< br>5
2
设
A(x,y),F
1
(?c,0),F
2(c,0)
，则
(x?c)?y?()
，
(x?c)?y?()
，
两式相减得
xc?
222222
3
53
，由抛物线定义 可知
AF
2
?x?c?
，则
c?1,x?
或
2
22
x?1,c?
3
（舍去）
2
x
2
y
2
??1
，抛物线
C
2
方程为
y
2
?4x
. 所以椭圆
C
1
方程为
98
解法二：过
F< br>1
作垂直于
x
轴的直线
x??c
，即抛物线的准线，作
AH
垂直于该准
线，
作
AM?x
轴于
M
，则由抛物线的定义得
AF
2
?AH
，
所以
AM?

?
2
AF
1
?F
1M
2
2
22
?AF
1
?AH
2
22< br>
AF
1
?AF
2
2
?
7
??5
?
?
??
?
??
?6

?
2
??
2
?
1
?
5
?

F
2
M?
??
?6?
，
2
?
2
?
得
F
1
F
2< br>?
22
51
??2
，所以c＝1，
22
2

b?a?c?8
(
2a?
AF
1
?AF
2
?
75
??6
，得
a?3
）,
22
x
2
y
2
??1
，抛物线
C
2
方程为
y
2
?4x
. 因而椭圆
C
1
方程为
98



（2）设
B(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
),
把直线
x
2
y
2
y?k(x ?1)代入??1得(8?9k
2
)y
2
?16ky?64k
2?0,则
98

2
16k64k
2
y
1
?y
2
??,yy??.同理将y?k(x?1)代入y?4x得：12
8?9k
2
8?9k
2

?
1
a)(?x
13．等比数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
8
?2,
函数f(x)?x(x
2
a)(?x
8
，
a)
则
f '(0
=
)
。
14.。当对数函数
y?log
a
x(a?0且a?1)
的图象至少经过区域
?
?
M?
?
(x,y)
?
?


?
?
x?y?0
?
?
x?y?8?0(x,y?R)
??
内的一个点时，实数a的取值范围为 。
?
y?3?0
?
?
?
22
15．已知P是圆
F
1
:(x?1)?y ?16
上任意一点，点F
2
的坐标为（1，0），直线m分
别与线段F
1
P、F
2
P交于M、N两点，且
1
MN?(MF
2?MP),|NM?F
2
P|?|NM?F
2
P|.

2


（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l
与曲线C交于P、Q两点，若
OP?OQ?0
（O为坐标原点）。
试求 直线
l
在y轴上截距的取值范围；

y
2
?1
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使16．设F
1
，F2
是双曲线
x?
4
2

?
OP ?OF
?
?FP?0
，且
|PF|?
?
|PF|
， 则
?
的值为
22
21
（B ）
D．3 A．
1

3
B．
1

2
C．2
方法一：设点的坐标，列等式解决；方法二：用平行四边形或三角形解决。
x
2y
2
17．已知P是椭圆
2
?
2
?1(a
ab
b0)
上任一点，
F
1,
F
2
分别是椭圆的两个焦 点，若
PF
1
F
2
的周长为6，且椭圆的离心率为
1
。
2
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 过椭圆的右焦点F作直线与椭圆交于 A，B两点，其中点A在x轴下方，且
AF
2
?2F
2
B
， 试求以AB为直径的圆的方程。
（3） 若M（x，y）是（2）中所求圆上任一点，求
z?2x?5y
的取值范围。
第二问要用多种方法来考虑：1 列方程组得关于y的一元二次不等式，根与系数的关系；2。
设元，列等式消元。
18．已知 公差不为0的等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
,a
2
,a
6
成等比数列。
（1） 已知数列
?
a
n
?
的公差的取值范围是
?
?
11
?
,
?
，求
?
a
n
?
的前9项和的取值范围。
?
4824
?
（2） 若
b
n
?
11，且数列
?
b
n
?
的前n项和为
T
n
，若
a
1
＞0时，
T
n
＜恒成立，试求
a
n
a
n?1
a
1
?
a
n
?
的公差 的取值范围。
此题的关键是恒成立如何成立？
19．已知函数
f(x)??x?2 x
，则函数
y?f
?
?
f(x)
?
?
的不 同零点共有 个。
20．如下图是函数
f(x)?Acos(
2
2
?
x?
?
)?1
的图象的一部分，则
f(201 2)
=
3
3
D 1
2
A -3 B 2 C

y
1
1 a
x

x
2
y
2
21．已知O为坐标原点，点A、 B分别是椭圆C：
2
?
2
?1(a
ab
22
b0)
的左顶点和上
c
2
222
顶点，直线AB与圆G：
x?y?
相离（
a?b?c
），P是直线AB上一动点，过点
4
P作圆G的两 切线，切点分别为M、N。
（1）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求
OP?OE
的值。
（2）若存在点P使得
PMN
为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围。
y
B
P
N
O
M
x
A

2
22．已知函数
f(x)?x?alnx,g(x)?bx?x?2,其中a,b?R且ab?2
。函数
f(x)
在

?
1
??
1
?
,1,1
?
上是增函数。 上是减函数，函数在
g(x)
???
?
4
??
4
?
（1）求函数
f(x)，g(x)
的表达式。
（2）若不等式
f(x)
?
,1
≥mg(x)
对
x?
?
??
恒成立，求实数m的取值范围。
1
?
4
?
23．在四边形ABCD中，AB=2，
AD?BC,
面积为 。
BA
BA
?
BC
BC
?3
BD
BD< br>，则四边形ABCD的
?
7x?5y?23?0
?
24．已知x，y满 足条件
?
x?7y?11?0
，点M(2，1)，点P(x，y)，那么
OM OP
的最
?
4x?y?10?0
?
大值为 。 (
x
?1)
1
25．若0＜
a?b
，且
f(x )?abx?log
3
3
为偶函数，则a+2b的最小值为 。
2
1
y
2
?1
的左焦点F作圆
x
2
?y
2
?1
的一条切线（切点为T）交双曲线左26．过双曲线
x?
9< br>2
支于点M，交双曲线右支于点P。若M为线段FP的中点，则
OM?MT?
( )
A 1 B 2 C 3 D 4
27．设偶函数f(x)＝log
a
|x＋b |在(0，＋∞)上单调，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)
28.在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存 在函数f（x）=ax（a＞0），
2
?
OAOQ
?
使得
O P?
?
?
?
?
|OA||OQ
?
?
?（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q
?
|
?
（k，f（k）），则k的取值范围为（ ）
A、（2，+∞） B、（3，+∞） C、[4，+∞） D、[8，+∞）
由题设知，点P（1，a），Q（k，ak），A（5，0），
2

∴向量
OP
=（1，a），
OA
=（5，0），
OQ
=（k，ak），
2
∴
OA
|OA|
=（1，0），
OQ
|OQ|
=（
1
1?ak
22
，
ak
1?ak
22
），
?
OAOQ
?
∵
OP?
?
?
?
?
|OA||OQ
?
1
∴1=λ（1+
1?ak
22
），a=
2
?
?
（λ为常数），．
|
?
?
ak
?
1?ak
22
，
两式相除得，k-1=
1?a
2
k
2
k-2=ak＞0
2
∴k（1-a）=2，且k＞2．
∴k=
，
2
2
，且0＜1-a＜1．
2
1?a
2
∴k= ＞2．
2
1?a
故选A．
x
2
y
2
29. 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F
1< br>、F
2
，P为双曲线上一点，|OP|＜
?
4
b
2< br>5,|PF
1
|,|F
1
F
2
|,|PF
2
|成等比数列，则b
2
=_________.
解：设F
1
(－c,0）、F
2
(c,0)、P(x,y), 则 |PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=2(|P O|
2
+|F
1
O|
2
)＜2(5
2
+c
2
),
即|PF
1
|
2
+|PF
2|
2
＜50+2c
2
, 又∵|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=(|PF
1
|－|PF
2
|)
2
+2|PF
1
|·|PF
2
|,
依双曲线定义，有|PF
1
|－|PF
2
|=4, 依已知条件有| PF
1
|·|PF
2
|=|F
1
F
2
|< br>2
=4c
2

∴16+8c
2
＜50+2c
2
,∴c
2
＜

30．如图，在梯形
ABCD
中，
ABCD
，
AD?DC?CB?1,?ABC?60
，四边形
ACF E
为矩形，平面
ACFE?
平面
ABCD
，
CF?1
.




（I）求证：
BC?
平面
ACFE
；
（II）点
M
在线段
EF
上运动，设平面
MAB
与
平面
FCB
所成二面角的平面角为
?
(
?
?90)
，
试求cos
?
的取值范围.
5
1717
, 又∵c
2< br>=4+b
2
＜,∴b
2
＜,∴b
2
=1. 答案：1
33
3

（I）证明：在梯形
ABCD
中，
∵
ABCD
,
AD?DC?CB?1
，
∠
ABC
＝
60
，∴
AB?2

∴
AC?AB?BC?2AB?BC?cos60?3
∴
AB?AC?BC

∴
BC
⊥
AC

∵ 平面
ACFE
⊥平面
ABCD
,平面
ACFE
∩平面
ABCD?AC
,
BC
?
平面
ABCD

∴
BC
⊥平面
ACFE
…………………6分
（II）由（I）可建立分别以直线
CA,CB,CF
为
x轴，y轴,z轴
的如图所示空间直角坐标系，
令
FM?
?
(0?
?
?
222o222
3)
，则
C(0,0,0),A(3, 0,0)
，
B
?
0,1,0
?
,M
?
?< br>,0,1
?

∴
AB??3,1,0,BM?
?
?
,?1,1
?
设
n
1
?
?
x,y,z
?
为平面MAB的一个 法向量，
由
?
??
?
n
1
?AB?0
?
n
1
?BM?0
得
?
?
?3x?y?0

?
?
x?y?z?0
取
x?1
，则
n
1
?1,3,3?
?
，…………8分
∵
n
2
?
?
1,0,0
?
是平面FCB的一个法向量
∴
cos
?
?
??
|n
1
?n
2
|
|n
1
|?|n
2
|
?
1?3?1
?
3?
?
?
2
?
?1
1
?
?
?3
?
2
…10分
?4
∵
0?
?
?3
∴ 当
?
?0
时，
co
?
s
有最小值
7
，
7
当
?
?

3
时，
cos
?
有最大值
?
71
?
1
,
?
…………………12分 。 ∴
cos
?
?
?
2
?
72
?
31. 某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果
[来源:
如下表所示：根据上表信息解答以下问题：

(1)从该单位任选两名职工，用
?
表示这两人休年假次数之
休假次数
0 1
人数
2 3
5 10 20 15

和，记“函数
f(x)?x?
?
x?1
在区间
(4
，
6)
上有且只有一个零点”为事件
A
，
求事件
A
发生的概率
P
；
(2)从该单位任选两名职工，用
?
表示这两人 休年假次数之差的绝对值，求随机变量
?
的
分布列及数学期望
E
?< br>.
2

(２)从该单位任选两名职工，用
?
表示这两人休年假次数之差的绝对值，
则
?
的可能取值分别是
0,1,2,3
， …………7分
222111111
C
5
2
?C
10
?C
20
?C
15
C
5
C
10
?C10
C
20
?C
15
C
20
222
于 是
P
?
?
?0
?
?
，，
?P(
?
?1)??
22
C
50
7C
50
49
11 1111
C
5
C
20
?C
10
C
15C
5
C
15
310
，
…………10分
P(< br>?
?2)??P(
?
?3)??
22
C
50
49C
50
49

从而
?
的分布列：
?

P

2
7
0

来源学科网
1 2 3
22

49
10

49
3

49
22210351
?
的数学期望：< br>E
?
?0??1??2??3??
． …………12分
749 494949
32．已知
y?f(x)
是
R
上的可导函数，对于任意 的正实数
t
，都有函数
g(x)?f(x?t)?f(x)
在其定义域内为减 函数，则函数
y?f(x)
的图象可能为下图中
（ ）

A
33．关于
x
的方程
(x
2
?1)
2
?x
2
?1?k?0
，给出下列四个命 题： ( )
①存在实数
k
，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数< br>k
，使得方程恰有4个不同的实
根；③存在实数
k
，使得方程恰有5个 不同的实根；④存在实数
k
，使得方程恰有8个不
同的实根；
其中假命题的个数是
．
[
A．0 B．1 C．2 D．3
A
34．定义在R上的函数
y?f(x)
是减函数，且函数
y?f(x?1)
的图象关于（1，0）成中
心对称，若
s,t
满足不等式
f(s?2s)??f(2t?t)
，则当
1?s?4
时，的取值范围
是
22
t
s
1
[?,1]

2
35． 如下图，给定两个平面单位向量
OA
和
OB
，它们的夹角为120°，点C在 以O为圆心
的圆弧AB上，且
OC?xOA?yOB
（其中
x,y?R
），则满足
x?y?
A．
2?1

2
的概率为
3

4
?
C．
4
?
D．
2
B．
B
?
a?x
2
?4x(x?0)
36．已知
f(x)?
?
，且函数
y?f(x)?2x
恰有3个不同 的零点，则实数
?
f(x?2)(x?0)
a的取值范围是
A．
[?4,0]
B．
[?8,??)
C．
[?4,??)
D．
(0,??)

C

BC?23
，37．在三棱柱
ABC?A'B'C'
中，已知
AA'?
平面ABC，
AB?AC?AA'?2
，
且此三 棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为_______．
20
?

38（本小题满分12分）
如图，四棱锥
P?ABCD
的底面
AB CD
是矩形，
AB?2
，
BC?2
，且侧面PAB
是正三角 形，平面
PAB?
平面ABCD．（Ⅰ）求证：
PD?AC
；
（Ⅱ ）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角
E?BD?A
的大小为
45?
．若 存在，
试求









【解析】：
取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面 ABCD，且平面
PAB
∩
平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原 点，建立空间直角坐标系H－
xyz
（如
图）．则
P
AE
的值，若不存在，请说明理由．
AP
z
A(1,0,0), B(?1,0,0),D(1,2,0),C(?1,2,0),P(0,0,3)

………..2分
（I）证明：∵
E
B
H
A
D
C
PD?(1,2,?3),AC?(?2,2,0)
, …
……..4分
∴
PD?AC?(1,2,?3)?(?2,2,0)?0
，
∴
PD?AC
，即PD⊥AC. ………..6分
(II) 假设在棱PA上存在一点E，不妨设
y
x
AE
=λ
AP
(0?
?
?1)
，
则点E的坐标为
(1?
?
,0,3
?
)
， ………..8分
∴
BE?(2?
?
,0,3
?
),BD? (2,2,0)

设
n?(x,y,z)
是平面EBD的法向量，则
2?
?
?
z??x
???
?
?
n?BE
?
n?BE?0< br>?
(2?
?
)x?0?y?3
?
z?0
3
?
，
?
?
?
?
?
?
?
????
y??2x
?
n?BD
?
n?BD?0
?
2 x?2y?0?z?0
?
不妨取
x?3
，则得到平面EBD的一个法向量n?(3,?6,?
3
)，
2?
?
?
)
． ………..10分
又面ABD的法向量可以是
HP
=(0,0,
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
则
cos45?|cos?HP,n? |?
0
HP?n
HP?n
?
?

2?
?< br>(3,?6,?)?(0,0,3)
?
(3,?6,?
2?
?
)(0,0,3)
11
，即
AE
=
AP

22AE1
故在棱
PA
上存在点
E
，当
?
时，使得 二面角E-BD-A的大小等于45°．……..12分
AP2
可解得
?
?
39（本小题满分12分）
已知函数< br>f(x)?e?
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
x
11
．（Ⅰ） 当
a?
时，求函数
f(x)
在
x?0
处的切线方程；
2
x?a
（Ⅱ）函数
f(x)
是否存在零点．若存在，求出零点的个数；若 不存在，说明理由．
【解析】：
（Ⅰ）
f(x)?e?
x
111
x
，
f'(x)?e?
，．
f'(0)?1?
2
2
(x?a)
x?aa
当
a?
1
时，
f' (0)??3
．又
f(0)??1
． ………..2分
2
则
f(x)
在
x?0
处的切线方程为< br>y??3x?1
． ………..4分
（ Ⅱ）函数
f(x)
的定义域为
(??,a)
当
x?(a,??)时，
e?0,
x
(a,??)
．
11
?0
，所以
f(x)?e
x
??0
．
x?ax?a
即
f(x)
在区间
(a,??)
上没有零点． ………..6分
1e
x
(x?a)?1
?
当
x?(??, a)
时，
f(x)?e?
，
x?ax?a
x
令
g(x)?e(x?a)?1
． ………7分
x

只要讨论
g(x)
的零点即可．< br>g'(x)?e(x?a?1)
，
g'(a?1)?0
．
当
x?(??,a?1)
时，
g'(x)?0
，
g(x)
是减函数；
当
x?(a?1,a)
时，
g'(x)?0
，
g(x)是增函数．
所以
g(x)
在区间
(??,a)
最小值为
g(a?1)?1?e
a?1
x
． ………..9分
显然，当
a?1
时，
g(a?1)?0
，所以x?a?1
是
f(x)
的唯一的零点；
当
a?1
时，
g(a?1)?1?e
当
a?1
时，
g(a?1)?1?e
32
a?1
?0
，所以
f(x)
没有零点；
?0
，所以
f(x)
有两个零点． ………..12分 a?1
40．已知方程
x?ax?bx?c?0
的三个实根分别作为一抛物线、一 椭圆、一双曲线的离
心率，则
a
2
?b
2
的取值范围（）A
A．
?
5,??
B．
?
?
5,??
C．
?
5,??
?
D．
?
5,??
?

??
41．若
f(x)?3x?sinx
，则满足不等式
f(2m? 1)?f(3?m)?0
的ｍ的取值范围
为 。m>-2
42．（本小题满分12分）已知方向向量为
V?(1,3)

x
2
y
2
的直线l过椭圆
C:
2
?
2
?1(a ?b?0)
的焦点以及点（0，
?23
），直线l与椭圆C
ab
交于 A 、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为
46
。
（1）求椭圆C的方程
（2）过左焦点
F
1
且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，
OM?ON?
46
?0
（O坐标原点），求直线m的方程
3tan?MON
3x?23
解：（1）
l:y?
（）直线
l
与x轴交点即为椭圆的右焦点
F
∴c=2
22,0
由已知⊿
F
1
AB
周长为
46
，则4a =
46
，即
a?6
，所以
b?2

x
2
y
2
??1
………………………………4分 故椭圆方程为
62

（）
（ 2）椭圆的左焦点为
F
，则直线m的方程可设为
y?k(x?2)

1
?2,0
代入椭圆方程得：
(3k?1)x?12kx?12k?6?0

2222
12k
2
12k
2
?6
设
M(x
1
,y
1
),N
?
x
2
,y
2< br>?
,则x
1
?x
2
??
2

x
1
?x
2
?
………6分
2
3k?1 3k?1
∵
OM?ON?
4646cos?MON
??|OM|?|ON|c os?MON?0

3tan?MON3sin?MON
所以，
?|OM|? |ON|sin?MON?
2
42
6
，即
S
?OMN
?6
……………9分
33
26(1?k
2
)
又
|MN|?1?k|x
1
?x
2
|?

2
3k?1
原点O到m的距离
d?
|2k|
1?k
2
， 则
S
?OMN
1
?|MN|d?
2
6(1?k
2
)|2k|2
??6

2
3
3k
2
?1
1?k
解得
k??
33
y??(x?2)
…… ……………………12分
?m的方程
33
43．(本小题满分12分） < br>为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取
20名 同学参加环保知识测试.两个班同学的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：

按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩.
(1)完成下面2X2列联表，并判断能否有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关

(2)从B班参加测试的20人中选取2人参加某项活动，2人中 成绩优秀的人数记为X，求X
的分布列与数学期望.
附：


4 4．已知函数
y?f(x?1)
是定义域为
R
的偶函数，f(x)且在
[1,??)
上单调递增,则不等式
f(2x?1)?f(x?2)
的解集为
A．
{x|x?3}
B．
{x|
（D ）
111
?x?3}
C．
{x|??x?3}
D．
{x|?x?3}< br>
233

45．由曲线
x?y?|x|?|y|
围成的图形的面积等于
A．
?
?2
B．
?
?2
C．
2
?

22
（ A ）
D．
4
?

46．不等式
(a?3)x
2
?(4a?2)x
对
a?(0,1)
恒成立，则x的取值范围是__________ ______．x
2
≤-1或x≥
3
D
P
E
A
B
C
47．已知正方形ABCD边长为1，图形如示，点E为边BC的中点，
正方形内部一动点P满足:P到线段AD的距离等于P到点E
的距离，那么P点的轨迹与正方形的上、下底边及BC边
所围成平面图形的面积为_________．
11

24
48．（本小题满分12分）
已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0 ,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中
e是自然对数的底数，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=
ln|x|
1,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;
2
|x|
（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a
的值；如果不存在，请说明理由．

x
2
y
2
49．已知双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
的左右焦点是
F
1
,F
2
，设
P
是双曲线右支上一点，
ab
F
1
F
2
在
F
1
P
上的投影的大小恰好为
F
1
P
，且它们的夹角为
是 .
?
，则 双曲线的离心率
e
6
3?1
?
2
x
,(x?A)< br>50．
设集合
A?
?
x|0?x?1
?
,B?
?
x|1?x?2
?
，函数
f(x)?
?
,

x
0
?A

?
4?2x,(x?B)
且
f [f(x
0
)]?A
，
则
x
0
的取值范围是
.
(log

2
3
,1)
2
51.（本小题满分12 分）：已知圆
C
1
的圆心在坐标原点
O
,且恰好与直线
l< br>1
:
x?y?22?0
相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点
A
为圆上一动点,
AN?x
轴于
N
,若动点
Q满足
OQ?mOA?（1?m)ON
,(其中
m
为非零常数),试求动点
Q
的轨迹方程
C
2
；（Ⅲ）在（Ⅱ）
的结论下，当
m?
3
时, 得到曲线
C
，与
l
1
垂直的直线l
与曲线
C
交于
B
、
D
两点,求
2< br>?OBD
面积的最大值.
解: (Ⅰ)设圆的半径为
r
,圆心到直线
l
1
距离为
d
，则
d
圆
C
1的方程为
x
2
?
|?22|
1?1
22
?2< br> 2分
3分
?y
2
?4

A(x
0,
y
0
)
,
AN?x
轴于
N
,
N(x
0
,0)
（Ⅱ）设动点
Q(x,y)
,
?
x?x
0
(x,y)?m(x,y)?(1?m)(x,0)
由题意,，所以
?

000
y?my
0
?
?
x
0
?x
x
2
y
2
1
?
22< br>?1
即:
?
1
，将
A(x,y)
代入
x? y?4
,得
?
2
44m
m
y
0
?y
?
m
?
（Ⅲ）
5分
7分
3
m?
2
时,曲线
8分
C
方程为
x2
y
2
??1
43
，设直线
l
的方程为
y??x?b
x
2
y
2
??1
交点
B(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
)
设直 线
l
与椭圆
43
?
y??x?b
22
联立方程?
得
7x?8bx?4b?12?0
9分
22
?
3x?4y?12
8b4b
2
?12
2
2
,x
1
x
2
?
因为
??48(7?b)?0
，解得
b?7
，且
x
1
?x
2
?
……10分
77

点
O
到直线
l
的距离
d?
b
2
,
BD?2(x
1
?x
2
)< br>2
?4x
1
x
2
?

46
7?b
2
.

7
?
S
?OB D
?
23
2
1
b
46
b(7?b
2
)
??7?b
2
?
7
2
2
7
?3
.（当且仅当
b
2
?7?b
2
12分
即
b
2
?

7
?7
时取到最大值）
?
?OBD
面积的最大值为
3
.
2
52.（本小题满 分12分）：设函数
f(x)?
1?a
2
x?ax?lnx(a?R). (Ⅰ) 当
a?1
时，
2
求函数
f(x)
的极值；（Ⅱ）当
a?1
时，讨论函数
f(x)
的单调性. （Ⅲ）若对任意
(a
2
?1)
m?ln2?f(x
1
)?f (x
2
)
成立，求实数
m
的
a?(3,4)
及任 意
x
1
,x
2
?[1,2]
，恒有
2
取值 范围.
解：(Ⅰ)函数的定义域为
(0,??)
. 当
a?1
时，
f
分
当
(x)?x?lnx,f
'
(x)?1?
1x?1
?,
xx
2
0?x?1
时，
f
'
(x)?0;
当
x?1
时，
f
'(x)?0.

?f(x)
极小值
=f(1)?1,
无极大值.
2
4分
(1?a)x?ax?1
1

?

?
5分
x
x
(1?x)
2
1
'
?0,

f(x)
在定义域上是减函数； 当
?1
，即
a?2
时，
f(x)??
x
a?1
11
当或
x?1;

?1
，即
a?2
时，令
f
'
(x)?0,
得0?x?
a?1a?1
11
'
令
f(x)?0,
得?x?1.
当
?1
，即
1?a?2
时，令
f
'
(x)?0,
得
0?x?1
或
a?1a?1
1
x? ;

a?1
1
'
令
f(x)?0,
得
1? x?.
综上，当
a?2
时，
f(x)
在
(0,??)
上是减函数；
a?1
11
当
a?2
时，
f(x)
在
(0 ,)
和
(1,??)
单调递减，在
(,1)
上单调递增；
a?1a?1
11
,??)
单调递减，在
(1,)
上单调递增；当< br>1?a?2
时，
f(x)
在
(0,1)
和
(
8分
a?1a?1
（Ⅱ）
f
'
(x)?(1?a)x?a?
(1?a)(x?
1
)(x?1)
a?1
x

（Ⅲ）由（ Ⅱ）知，当
a?(3,4)
时，
f(x)
在
[1,2]
上单 减，
f(1)
是最大值，
f(2)
是最小值.
(a
2
?1)
a3a3
m?ln2?
??ln2

?f(x
1
)?f(x
2
)?f(1)?f(2)???ln2， 10分
?
2
2222
a?3a?311
?
，所以
m?.
而
a?0
经整理得
m?
2
，由
3? a?4
得
0?
2
12分
a?1a?11515
53．在< br>?ABC
所在的平面内有一点P，如果
2PA?PC?AB?PB
,那么
?PBC
的面积与
?ABC
的

面积之比是A
D．
A．
3

4
B．
1
2
C．
1
3
2

3

2
54．在区间[－1 ，1]上任取两数s和t，则关于x的方程
x+2sx+t=0
的两根都是正数的概率为B
A．
1

24

是
B．
1

12
C．
1

4

时
D．
1

3
，函数55．已知函数
g(x)
R
上的 奇函数，且当
x?0
g(x)??ln(1?x)
?
x
3
f (x)?
?
?
g(x)
A
D．
．
(x?0),
2
若
f(2?x)
>
f(x)
，则实数
x
的取值范围是D
(x?0),

B．
(?2,1)
?
??,?2
?
?(1,2)?(2,??)
C．
(?1,2)

?
?2,?2
?
?(?2,0)?(0,1)

A(2,0 )
，
B(?2,0)
，56．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点
P(x,y)
为动点，已知点
直线
PA
与
PB
的斜率之积为
?
1
.（I）求动点
P
轨迹
E
的方程;（II）过 点
F(1,0)
的直线
l
交曲线
E
于
2
M ,N
两点，设点
N
关于
x
轴的对称点为
Q
(
M、Q
不重合)，求证：直线
MQ
过定点.
解一：（1）由题知：
yy1
???
…………2分
2
x ?2x?2
x
2
?y
2
?1(y?0)
……………………… ……4分 化简得：
2
（2）设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),Q(x
2
,?y
2
)
，
l
:
x?my?1
，
x
2
?y< br>2
?1(y?0)
整理得
(m
2
?2)y
2
?2my?1?0
…………6分 代入
2
y
1
?y
2
?
?2m?1
，，………………………………8分
yy?
12
m
2
?2m
2
?2
y
1
?y
2
(x ?x
1
)

x
1
?x
2
Q
MQ
的方程为
y?y
1
?
令
y?0
，
得x?x
1
?
y
1
(x
2
?x
1
)my(y?y)2my
1
y
2
?my
1
?1?
121
??1?2
………10分
y
1
?y
2
y< br>1
?y
2
y
1
?y
2

?
直线
MQ
过定点
(2,0)
.………………12分 解二：设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y< br>2
),Q(x
2
,?y
2
)
，
l
:
y?k(x?1)
，
x
2
?y
2
?1(y?0 )
整理得
(1?2k
2
)x
2
?4k
2
x ?2k
2
?2?0
…………6分 代入
2
4k
2
2k
2
?2
x
1
?x
2
?
,
x< br>1
x
2
?
，…………8分
1?2k
2
1? 2k
2
Q
MQ
的方程为
y?y
1
?
令y?0
，
得
x?x
1
?
y
1
?y< br>2
(x?x
1
)

x
1
?x
2y
1
(x
2
?x
1
)k(x
1
?1) (x
2
?x
1
)2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
?x
1
???2
……10分
y
1
?y
2
k(x
1
?x
2
?2)x< br>1
?x
2
?2
?
直线
MQ
过定点
( 2,0)
.…………12分
解三：由对称性可知，若
MQ
过定点，则定点一定在
x
轴上， 设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),Q(x
2
,?y
2
)
，
l
:
y?k(x?1)
，
x
2
?y
2
?1(y?0)
整理得
(1?2k
2
)x
2
?4k
2
x?2k< br>2
?2?0
…………6分 代入
2
4k
2
2k2
?2
x
1
?x
2
?
,
x
1
x
2
?
，…………8分
1?2k
2
1?2k2
uuuruuur
uuuruuur
设
MQ
过定 点
R(m,0)
，则
RMRQ
，而
RM?(x
1
? m,?y
1
),RQ?(x
2
?m,y
2
)

则
(x
1
?m)?y
2
?(x
2?m)?y
1
?k[2x
1
x
2
?(m?1)(x1
?x
2
)?2m]

4k
2
?44k
2
(m?1)2m?4
?k[??2m]?k??0

1?2k
2
1?2k
2
1?2k
2
?m?2
…………10分
?
直线
MQ
过定点
(2,0)
.…………12分
x
2
y
2
57.设点
P
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点，
F
1
,F
2
分别 是椭圆的左、右焦点，
I
为
ab

?PF
1
F
2
的内心，若
S
?IPF
1
?S
?IP F
2
?2S
?IF
1
F
2
，则该椭圆的离心率是 （ A ）
(A)
23
11
(B) (C) (D)
22
24
?
2x?1(x?0)
58. 已知函数
f(x)?
?
，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺
f(x?1 )?1(x?0)
?
序排列成一个数列，则该数列的前n项的和
S
n
,则
S
10
＝( C )：A．
2
10
?1
B．
2
9
?1

C．45 D．55
?
1
?
?
59．设函数
f(x)?
?
4?x
2
?
0
?
?
60. （本小题满分12分）
设
f(x)?
(x?3)
(3?x?2)
，则
?
2010
?
?1
f(x)dx
的值为________.
3
(x?2)
?
2 ?3

2
a
?xlnx
，
g(x)?x
3
?x
2
?3
．
x
（1） 当
a?2
时，求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程；
（2）如果存在
x
1
,x
2
?[0,2]
，使得< br>g(x
1
)?g(x
2
)?M
成立，求满足上述条件的最大整 数
M
；
（3）如果对任意的
s,t?[,2]
，都有
f( s)?g(t)
成立，求实数
a
的取值范围．
解：（1）当
a?2
时，
f(x)?
1
2
22

?xlnx
，
f'(x)??
2
?lnx?1
，
f(1)?2
，
f'(1)??1
，
xx
4分 所以曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程为
y??x?3
；
（2）存在
x
1
,x
2
?[0,2]
，使得
g(x
1
)?g(x
2
)?M
成立
等价于：
[g(x
1
)?g(x
2
)]
max
?M
，
2
考察
g(x)?x?x?3
，
g'(x)?3x?2x?3x(x?)
，
3

32
2

x





0

0

?3

g'(x)

g(x)

2
(0,)

3
?

递减
2

3
2
(,2]

3
?

2


0

极（最）小值
?
85
递增

27
1

由上表可知：
g(x)
min
?g()??
[g(x
1
)?g(x
2
)]
max
85
,g(x)
max
?g(2)?1
，
27
112
，
?g(x)
max
?g(x)
min
?
27
8分
2
3
所以满足条件的最大整数
M?4
；
3）当
x?[,2]
时，
f(x)?
2
1
2
a
?xlnx?1
恒成立，等价于
a?x?x
2
lnx
恒 成立，
x
。
0
记
h(x)?x?xlnx
，
h'(x)?1?2xlnx?x
， h'(1)?
记
m(x)?1?2xlnx?x
，
m'(x)??3?2 lnx
，由于
x?[,2]
，
1
2
1
m'(x)??3?2lnx?0
, 所以
m( x)?h'(x)?1?2xlnx?x
在
[,2]
上递减，又h

（ 1）
2
=0，
当
x?[,1)
时，
h'(x)?0
，
x?(1,2]
时，
h'(x)?0
，
即函数
h(x )?x?xlnx
在区间
[,1)
上递增，在区间
(1,2]
上递减 ，
所以
h(x)
max
?h(1)?1
，所以
a?1。
（3）另解：对任意的
s,t?[,2]
， 都有
f(s)?g(t)
成立
等价于：在区间
[,2]
上，函数< br>f(x)
的最小值不小于
g(x)
的最大值，
由（2）知，在区 间
[,2]
上，
g(x)
的最大值为
g(2)?1
。
12分
2
1
2
1
2
1
2
1< br>2
1
2
1
f(1)?a?1
，下证当
a?1
时，在区间
[,2]
上，函数
f(x)?1
恒成立。
2
1 a1
当
a?1
且
x?[,2]
时，
f(x)??xlnx? ?xlnx
，
2xx
11
记
h(x)??xlnx
，h'(x)??
2
?lnx?1
，
h'(1)?

0
xx
11
当
x?[,1)
，
h'(x)??
2
?lnx?1?0
；当
x?(1,2]
，
2x
1
h'(x)??
2
?lnx?1?0
，
x
1
1
所以函数
h(x)??xlnx
在区间
[,1)
上递减，在区间
(1,2]
上递增，
x
2
h(x)
mi n
?h(1)?1
，即
h(x)?1
，
所以当
a?1< br>且
x?[,2]
时，
f(x)?1
成立，
1
2

1
2
2
61．已知抛物线< br>y?4x
的焦点为
F
，准线与
x
轴的交点为
M
，
即对任意
s,t?[,2]
，都有
f(s)?g(t)
。 12分
N
为抛物线上的一点，则满足
|NF|?
62.(本小题共12分)
已知函数
f(x)
3
?
|MN|,则?NMF
=
2
6
?Msin(
?
x?)(
?
M0?,||?
?)
?
2
的 部 分 图 象 如 图 所示．
（I）求 函 数
f(x)
的 解 析 式；
（II）在△
ABC
中，角
A、B、C
的 对 边 分 别 是
a、b、c

若
(2a?c)cosB?bcosC,求f()
的 取 值 范 围．
（1）由图像知
A?1
，
f(x)
的最小正周期
T?4(
将点
(
A
2
5
??
?)?
?
，故
?
?2
… （2分）
126
?
6
,1)
代入
f(x)
的解析式得
sin(
所以
f(x)?sin(2x?
?
3
?
?
)?1
，又
|
?
|?
?
2

故
?
?
?
?
66
（2）由
(2a?c)cosB?bcosC
得
2s inA?sinC)cosB?sinBcosC

所以
2sinAcosB?sin(B?C)?sinA
……………………6分
1
?
2
?
因为
sinA?0
所以
cosB?

B?

A?C?
………………8分
233
A
?
2
?
??
5
?

f()?sin(A?)

0?A?

?A??
……………………10分
263666
1A
?
? f()?sin(A?)?1
……………………12分
226
1
2
63．（本小题满分12分）已知函数
f(x)?x?ax?ln(1?x)
，其中
a ?R
.
2
（Ⅰ）若
x?2
是
f(x)
的极值点， 求
a
的值；
（Ⅱ）求
f(x)
的单调区间；
ks5u

（Ⅲ）若
f(x)
在
[0,??)
上的最大值是
0
，求
a
的取值范围.
x(1?a?ax)
1
（Ⅰ）解：
f
?
(x )?,x?(?1,??)
. 依题意，令
f
?
(2)?0
，解得
a?
.
3
x?1
1
经检验，
a?
时，符合题意. ……4分
3
x
（Ⅱ）解：① 当
a?0
时，
f
?
(x)?
.
ks5u

x?1
故
f(x)
的单调增区间是
(0,??)
；单调减区 间是
(?1,0)
.
1
② 当
a?0
时，令
f
?
(x)?0
，得
x
1
?0
，或
x
2
??1
.
a
当
0?a?1
时，f(x)
与
f
?
(x)
的情况如下：
x

)
……………… 4分
ks5u

(?1,x
1
)

x
1

(x
1
,x
2
)

?

x
2

(x
2
,??)

?

f
?
(x)

?

0

0

f(x)

↘
f(x
1
)

↗
f(x
2
)

↘
11
?1)
；单调减区间是
(?1,0)
和
( ?1,??)
.
aa
当
a?1
时，
f(x)
的 单调减区间是
(?1,??)
.
所以，< br>f(x)
的单调增区间是
(0,
当
a?1
时，
?1? x
2
?0
，
f(x)
与
f
?
(x)
的情况如下：
x

(?1,x
2
)

x
2

(x
2
,x
1
)

?

↗
x
1

(x
1
,??)

?

↘
f
?
(x)

?

↘
0

f(x
2
)

0

f(x
1
)

f(x)

1
?1)
和
(0,??)
.
a
③ 当
a ?0
时，
f(x)
的单调增区间是
(0,??)
；单调减区间是(?1,0)
.
综上，当
a?0
时，
f(x)
的增区间是
(0,??)
，减区间是
(?1,0)
；
11
当
0?a?1
时，
f(x)
的增区间是
(0,?1)
，减区 间是
(?1,0)
和
(?1,??)
；
aa
当
a ?1
时，
f(x)
的减区间是
(?1,??)
；
11当
a?1
时，
f(x)
的增区间是
(?1,0)
；减区 间是
(?1,?1)
和
(0,??)
.
ks5u

aa
所以，
f(x)
的单调增区间是
(?1,0)
；单调减区间是
(?1,
……10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
a?0
时，
f(x)
在
( 0,??)
上单调递增，由
f(0)?0
，知不合题意.

当
0?a?1
时，
f(x)
在
(0,??)
的最大 值是
f(?1)
，
1
a
1
a
1
a
当
a?1
时，
f(x)
在
(0,??)
单调递减， 可得
f(x)
在
[0,??)
上的最大值是
f(0)?0
，符合题意.
所以，
f(x)
在
[0,??)
上的 最大值是
0
时，
a
的取值范围是
[1,??)
. …………12分
由
f(?1)?f(0)?0
，知不合题意.
2
?
x?(a?b)x?2,x?0
?
x
64．若
a
满足
x?lgx?4
，
b
满足
x?10?4
，函 数
f(x)?
?
，
?
x?0
?
2,
则关于
x
的方程
f(x)?x
的解的个数是C：A．
1

B．
2

C．
3
D.
4

6 5．如图，在直角梯形
ABCD
中，
AD?AB
，
AB
∥< br>DC
，
AD?DC?1
，
AB?2
，动点
P
在以点
C
为圆心，且与直线
BD
相切的圆上或圆内移动，设
AP?< br>?
AD?
?
AB
（
?
，
?
?R），则
?
?
?
取值范围是A
A．
[1,2]

B．
[2,4]

C．
[2,??)



D．
?
??,1
?

x
2
y
2
1
??1
22
22
x+y=1< br>的切线，切点分别
x
ab
2
66．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，） 作圆
为A,B，直线
AB
恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
x
2
y
2
??1

54
67．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（
2a
，1），p=（
2b?c
，
cosC
）
且
pq
．求：
（I）求sin A的值；（II）求三角函数式
?2cos2C
?1
的取值范围．
1?ta nC
解：（I）∵
pq
，∴
2acosC?2b?c
， …………（2分）
根据正弦定理，得
2sinAcosC?2sinB?sinC
，
又
sinB?sin
?
A?C
?
?sinAcosC?co sAsinC
， …………（4分）
11
?sinC?c osAsinC
，
?sinC?0
，
?cosA?
，
22
3
?
又
0?A?
?
?A?
；sinA= …………（6分）
2
3
?2cos2C2(cos
2
C?sin< br>2
C)
?1?1??1?2cos
2
C?2sinCcosC
， （II）原式
?
sinC
1?tanC
1?
cosC
…………（8分）
)
， …………（10分）
4
2
??
13
2
?
∵
0?C?
?
，∴
??2C??
?
，∴
??sin(2C?)?1
， < br>24
4412
3
?
∴
?1?2sin(2C?
?si n2C?cos2C?2sin(2C?
?
4
)?2
，∴
f(C)< br>的值域是
(?1,2]
． …………（12分）
68．定义域为R的函数f (x)满足f(1)＝l, 且 f (x)的导函数
f'(x)
>
1
，则满足2f(x) 2
的x的集合为
A、{x｜－1B
?< br>0?y?4
?
69．随机向区域
?
x?0
内投一点，且该点落 在区域内的每个位置是等可能的，则坐标原
?
y?x
2
?
点与该点的 连线的倾斜角小于
?
概率为＿＿＿＿＿
4

x
2
y
2
22
70． 已知椭圆C：
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，且过点Q(1，）．
22
ab
（1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x＋y－1＝0
上，且满足 (O为坐标原点），求实数t的最小值．

71
．已知函数
f
（
x
）＝
ln(x?1)a
?? 2x,(a?0)
。

(x?1)
2
x?1
（1）若函数f（x）在x＝0处取极值，求a值；
（2）如图，设直线x＝－1，y＝－2x，将坐 标平面分成I、II、III、IV四个区域（不含
边界），若函数y＝f（x）的图象恰好位于其中一 个区域内，试判断其所在的区域，并求其
对应的a的取值范围
（3）试比较2012
2011
与2011
2012
的大小，并说明理由。

72．在平面直角坐标系xoy中，已 知直线l：y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ⊥l
于点Q，且
QPQF?F PFQ
。
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点P做圆
x?
?
y?2
?
?4
的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y
0
2
2
＞4时，试用
y
0
表示线段BC的长 ，并求△PBC面积的最小值。
解：（Ⅰ）设
P
?
x,y
?
，则
Q
?
x,?1
?
，
∵
QPQF?FPFQ
，
∴
?
0,y?1
??< br>?x,2
?
?
?
x,y?1
??
x,?2
?
． …………………2分

即
2
?
y?1
?
?x
2
?2
?
y?1
?
，即
x ?4y
，
2
所以动点
P
的轨迹
E
的方程
x?4y
． …………………………4分
（Ⅱ）
解法一：设
P(x
0
,y0
),B(b,0),C(c,0)
，不妨设
b?c
．
直线< br>PB
的方程:
y?
2
y
0
(x?b)
，化简 得
y
0
x?(x
0
?b)y?y
0
b?0
．
x
0
?b
又圆心
(0,2)
到
PB
的距离 为2，
2(x
0
?b)?y
0
b
y?(x
0
?b)
2
0
2
?2
，
222故
4[y
0
?(x
0
?b)
2
]?4(x0
?b)
2
?4(x
0
?b)y
0
b?y0
b
，易知
y
0
?4
，上式化简得
(y
0
?4)b
2
?4x
0
b?4y
0
?0
， 同理有
(y
0
?4)c
2
?4x
0
c?4y< br>0
?0
． …………6分
所以
b?c?
?4y
0
?4x
0
，
bc?
，…………………8分
y
0
?4
y
0
?4
22
16(x?y?4 y
0
)
．
00
则
(b?c)?
(y
0< br>?4)
2
2
2
因
P(x
0
,y
0< br>)
是抛物线上的点，有
x
0
?4y
0
，
2
4y
0
则
(b?c)
2
?
16y
0
，
b?c?
． ………………10分
2
y
0
?4
(y
0
?4)< br>所以
S
?PBC
?
2y
0
116
(b?c) ?y
0
??y
0
?2[(y
0
?4)??8]

2y
0
?4y
0
?4
?416?8?32
． 当
(y
0
?4)
2
?16
时，上式取等号，此时
x
0
?42,y
0
?8
．
因此
S
?PBC
的最小值为32． ……………………12分
2
x
0
解法二：设
P(x
0
,y
0
)< br>, 则
y
0
?
，
PB
、
PC
的斜率 分别为
k
1
、
k
2
，
4
2
22
x
0
x
0
x
0
?k
1
(x?x< br>0
)
，令
y?0
得
x
B
?x
0?
则
PB
：
y?
，同理得
x
C
?x< br>0
?
；
4
4k
1
4k
2
222< br>x
0
x
0
x
0
k?k
2
所以
|BC|?|x
B
?x
C
|?|?|??|
1
|
，……………6分
4
4k
2
4k
1
k
1
k
2
下面求
|
k
1
?k
2
|
,
k
1
k
2

2
x
0
|k
1
x
0
?2?|
2
x
0
4
?2
，
?k
1
(x?x
0
)
的距离为2，得由< br>(0,2)
到
PB
：
y?
4
k
1
2
?1
2
因为
y
0
?4
，所以
x
0
?16
，
22
x
0
x
0
22
化 简得
(x?4)k?x
0
?(4?)k
1
?()?x
0?0
，
24
2
0
2
1
22
x
0
x
0
22
同理得
(x?4)k?x
0
?(4? )k
2
?()?x
0
?0
…………………8分
24
2
0
2
2
22
x
0
x
0
22< br>所以
k
1
、
k
2
是
(x?4)k?x
0
?(4?)k?()?x
0
?0
的两个根.
24
2< br>0
2
2
x
0
x
0
(?4)
2
,
所以
k
1
?k
2
?
2
x
0< br>?4

2
k?k
2
x
0
1
|?2
，
|
1
，
|k
1
?k
2
|?(k
1
?k
2
)?4k
1
k
2
?2
x
0
k
1
k
2
x
0
?4< br>?1
16
2
22
x
0
4y
0
k1
?k
2
x
0
11
|x
B
?x
C
|??||??
2
?y
0
??
，……………10分 < br>y
4k
1
k
2
4
x
0
0
? 1
y
0
?4
?1
4
16
所以
S
? PBC
?
2y
0
116
|BC|?y
0
??y0
?2[(y
0
?4)??8]

2y
0
?4y
0
?4
?416?8?32
． 当
(y
0
?4)
2
?16
时，上式取等号，此时
x
0
?42,y
0
?8
．
因此
S
?PBC
的最小值为32． ……………………12分
73．已知a是实数，则函数_的图象不可能是B

74．设不等式组表示的平面区域为D
n
a
n
表示区域
D
n
中整点的个数(其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则
A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001
75．已知函数
(I )
当
b=2
时，若
=C
(a ,b
R
，
e
为自然对数的底数），.
存在单调递增区间，求a的取值范围；
的图象
C1
与的图象
C2
相交于两个不同的点
P、Q
，过线段
，求证
2x
(< br>II
)当
a>0 时
，设
PQ的中点作x轴的垂线交
C
1
于点.
解:（Ⅰ） 当
b?2
时，若
F(x)?f(x)?g(x)?ae?2e
x
?x
，则
F
?
(x)?2ae
2x
?2e
x
?1
，
原命题等价于
F
?
(x)?2ae
2x
?2e
x< br>?1…0
在R上有解．……………2分
法一：当
a…0
时，显然成立；
当
a?0
时，
F
?
(x)?2ae
∴
? (1?
2x
?2e
x
?1?2a(e
x
?
1
2
1
)?(1?)

2a2a
11
)?0
，即
??a?0
．
2a2
1
综合所述
a??
．…………………5分
211
2
1
法二：等价于
a??(
x
)?
x在R上有解，即
2ee

∴
a??
1
．………………5分
2
x
2
?x
1
?x
0
，
2（Ⅱ）设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y< br>2
)
，不妨设
x
1
?x
2
，则

ae
2x
2
?be
x
2
?x
2
，
ae
2x
1
?be
x
1
?x
1
，
两式相减得：
a(e
整理得
2x
2
?e< br>2x
1
)?b(e
x
2
?e
x
1
) ?x
2
?x
1
，……………7分
x
2
?x
1
2
x
2
?x
1
?a(e?e)(e?e)?b(e?e )…a(e?e)2e
x
2
?x
1
x
2
?x
1
…
2ae
2
?b
，于是
则
xx
12
e?e
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
?b(e
x
2
?e
x
1
)

?x
1
x
2
?x
1
x
2
?x
1
x
2
2< br>x
2
?x
1
?e
…
2ae?be
2
?f
?
(x
0
)
，…………………9分
x
2x
1
e?e
?x
1
?x
1
x
2
?x
1
x
2
2
x
2
?x
1
x< br>2
2
?e?
x
2
?x
1
?e
而x

e
2
?e
x
1
e?1
t
2
?
t
2
令
t?x
2
?x
1
?0
，则设
G(t)?e?e?t
，则
tttt
?
1
2
1
?
2
1
G
?
(t)?e?e?1??2?e< br>2
?e
2
?1?0
，
222
∴
y?G(t)
在
(0,??)
上单调递增，则
t
2
?
t
2
G(t)?e?e
t
t
2
t
2< br>t
?
2
?t?G(0)?0
，于是有
e
t
? e?t
，
即
e?1?te
，且
e?1?0
，
t
t
2
e?1
， ∴
t
e?1
即
f
?
(x
0
)?1
．…………………12分
76．设函 数
f(x)?ax?2ln(1?x)
在
x??1
处有极值，
（1）求函数
y?f(x)
的单调区间。
2
（2）设
g( x)?
x?2
?
1
2
?
f(x)?x
?
? x
，若
xg(x)?k
恒成立，求实数k的范围。
2
?
2
??
77．
f(x)
是偶函数，且
f(x)
在[0，+?
）上是增函数，不等式
f(ax?1)?f(x?2)
对x∈[
1]恒 成立，则实数a的取值范围是A
A．[-2,0] B．[-5,0]
1
，
2
C．[-5,1] D．[-2,1]

78．设
x
，
y
满足约束条件
的 最大值为5，则8a+b的最小值为
C

A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
79．ΔABC的外接圆圆心为O，半径为2，
方向上的投影为A
A. B.
,若目标函数（其中b>a〉0)
，且，向量在
C. 3 D. — 3
，则二项式展开式中常数项是________.
-160
80．若
81．在
上.
(I)求角C的值；
(II)若
中，角A ，B,C；的对边为a，b,c，点（a,b)在直线
，求ΔABC的面积.
（I）由题得< br>a
?
sinA?sinB
?
?bsinB?csinC
， < br>2
2
abc
22
2
由正弦定理得
a
?
a?b
?
?b?c
，即
a?b?c?ab
.…………
??
sinAsinBsinC
……3分
a
2
?b
2
?c
2
1
?
?
，结合
0?C?
?
,得C?
.………………6分 由余弦定理得
cosC?
2ab2
3
（II）由
a?b?6(a?b)?18
得
(a?3)?(b?3)?0
，
2222
从而
a?b?3
.………………9分所以
?ABC
的面积
S?
……12分
已知椭圆
1
2
?
93?3?sin?
，…………
234
的左焦点为F,左右顶点分别为A、C,上顶点 为
B,O
为原点，P为
椭圆上任意一点.过F,B,C三点的圆的圆心坐标为(m,n )
(I )当时，求楠圆的离心率的取值范围；
的最小值为(II)在（I)的条件下，椭 圆的离心率最小时，若点D(b+1，0),
.，求椭圆的方程.
解：(Ⅰ) 设半焦距为< br>c
.由题意
FC,BC
的中垂线方程分别为
x?
a?cba< br>?
a
?
,y??
?
x?
?
，
22b
?
2
?

?
a?cb
2
?ac
?
于是圆心坐标为
?
,
?
. ………………2分
2b
??
2
a?cb
2
?ac
??0
，即 所以
m?n
=
22b
ab?bc?b
2
?ac?0
,即
?
a?b
??
b?c
?
?0,所以
b?c，
2
c
2
1
?e?1
. ………………5分 于是
b?c
即
a?b?c?2c
，所以
e?
2
?
,即
2
a2
222222
2
2
x
2
y
2
（II）当
e?
时，
a?2b?2c
，此时椭圆的 方程为
2
?
2
?1
，
2
2cc
设
P(x,y)
，则
?2c?x?2c
，所以
?
P?F
?< br>1
2
?O
2
D?(
2
1
2
分 P?1O
.…8
)?
2
1
2
x?
2
x ?c?x?
当
c?
2
117
22
时，上式的最小值为
c?
，即
c?
=，得
c?2
；………………10分
2< br>222
2
1
当
0?c?
时，上式的最小值为
2
2
解得
c?
12分
已知函数
(I)求实数a、b的值；
??
1
2c?2c?c
，即
2
2
2
??
7
2c?2c?c
2
=，
2
2
2?30
x
2
y
2
??1
.………………不合题意，舍去. 综上所述， 椭圆的方程为
4
84
在x=0，处存在极值.
(II)函数y=f(x)的 图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形
,且斜边AB的中点在y轴上，求实 数c的取值范围；
(III）当c=e时，讨论关于
X
的方程的实根个数.
2
解（I）当
x?1
时，
f
?
(x)??3x?2ax? b
.………………1分
?
f
?
(0?)
2
?因为函数f(x)在
x?0,x?
处存在极值，所以
?
2
?3
f()?
?
?
3
a?1b,?
.………………
0
3分
32
?
?
?x?x,(x?1),
(II) 由（I）得
f(x)?
?
x?1

?
?
c(e?1 ),(x?1),
0,
0,
解得

根据条件知A,B 的横坐标互为相反数，不妨设
A(?t,t?t),B(t,f(t)),(t?0)
. 若
t?1
，则
f(t)??t?t
22
?t
2
?(t
3
?t)(?t
3
?t)0
，
?

32
32
，由
?AOB
是直角得，
OA?OB?0
，即即
t?t?1?0
.此时无解；………………5分
若
t
≥< br>1
，则
f(t)?c(e
t?1
42
?1)
. 由于 AB的中点在
y
轴上，且
?AOB
是直角，所以B
1232t?点不可能在
x
轴上，即
t?1
. 同理有
OA?OB?0
，即
?t?(t?t)?c(e?1)
=0，
c?
1
.
(t?1)
?
e
t?1
?1
?
因为函数
y?(t? 1)e
?
t?1
?1
?
在
t?1
上的值域是
(0,??)
，

所以实数
c
的取值范围是
(0,??)
.
………………
7
分

?
?x
3
?x
2
,(x?1)
?
（III）由方程
f(x)?kx
， 知
kx?
?
x
，可知0一定是方程的根，…………
?
?e?e,(x?1)
……8分
?
?x
2
?x,(x?1且x? 0),
?
所以仅就
x?0
时进行研究：方程等价于
k?
?< br>e
x
?e

,(x?1).
?
?
x
?
?x
2
?x,(x?1且x?0),
?
构造函数
g(x) ?
?
e
x
?e

,(x?1),
?
?
x
2
对于
x? 1
且
x?0
部分，函数
g(x)??x?x
的图像是开口向下的抛物 线的一部分，
e
x
?e
111
当
x?
时取得最大 值，其值域是
(??,0)(0,]
； 对于
x
≥
1
部分， 函数
g(x)?
，
x
244
e
x
(x?1)?e< br>?0
，知函数
g(x)
在
?
1,??
?
上单 调递增. 由
g
?
(x)?
2
x
11
所以，①当< br>k?
或
k?0
时，方程
f(x)?kx
有两个实根；②当k?
时，方程
44
1
f(x)?kx
有三个实根； ③当
0?k?
时，方程
f(x)?kx
有四个实根. ………………12
4
分
已知函数
(I)求实数a的值；
(II)设
(III)当
，求的单调区间；
.
，且图像在点处的切线斜率为为自然对数的底数).
时，证明：

< br>?
解：（Ⅰ）
f(x)?ax?xlnx
，
f(x)?a?1?lnx
，
1
f
?
()?a?1
e
依题意，所以
a?1
. ……2分
x?1?lnx
f (x)?xxlnx
?
g(x)?
g(x)??
2
(x?1)
x?1x?1
（Ⅱ）因为，，所以，.
设
?
(x)?x?1?lnx，则
?
?
(x)?1?.
1
x
……4分
当
x?1
时，
?
?
(x)?1?
1< br>?0,
?
(x)
是增函数.
x
?
对
?x? 1
，
?
(x)?
?
(1)?0
，即当
x?1
时，
g(x)?0
，
故
g(x)
在
(1 , ??)
上为增函数， ……6分
当
0?x ?1
时，
?
?
(x)?1??0,
1
x
.
?
(x)
是减增函数.

?x?(0,1)
?
(x)??
(1)?0
g
0?x?1
对，，即当时,
(x)?0
，
故
g(x)
在
(0 , 1)
上为增函数，
所以，
g(x)
的单调增区间为
(0 , 1)
，
(1 , ??)
. ……8分
m
n
（Ⅲ）要证
n
m
?
n
lnnlnm
??lnn?lnm
m
， 即证
mn
，
n?1m?1mlnmnlnn
lnm?lnn?
nmm?1n?1
. ……10分， 即，
m
n
因为
m?n?1
，由⑵知，
g(m )?g(n)
，所以
已知集合
n
m
?
n
m
. ……12分
.若点
圆心为D,且
，定义函数
的，则满足条件的函数
外接圆
有C：A. 6 个B. 10 个C. 12 个D. 16 个
x
2
y
2
a
2
22
过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左焦点
F(?c,0)(c?0)
，作圆
x?y?
的
4
ab

切线 ，切点为
E
，延长
FE
交双曲线右支于点
P
，若
O E?
离心率为C
A．
10
B．
1
(OF?OP)
，则双曲线的
2
10

5
C．
10

2
D．
2

在
?
ABC
中，
P
是
BC
边中点，角
A< br>，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，< br>c
，
若
cAC
?
aPA?bPB?0
，则
?
ABC
的形状为C
A.直角三角形

B.钝角三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形. C.等边三角形
直线
x?t
（
t?0
）与函数
f(x)?x
2
?1
，
g(x)?lnx
的图象分别交于
A
、
B
两点，当
|AB|
最小时，
t
值是B
A.
1
B.
2
1
C.
2
2
D.
3

3
在直角坐标系xOy中，长为< br>2?1
的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，
CP?2PD
．记点P 的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；
（ II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相 交于A、B两点，
OM?OA?OB,
当点
M在曲线E上时，求
cos?OA ,OB?
的值．
解：
（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．
由
→
CP＝2
→
PD，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)，
?
x－m＝－2x，
?
?
m＝(2＋1)x，
?
2 ＋1
∴
?
得
?

n＝y，
?
y＝2 (n－y)，
?
?
2
?
y
2
整理，得曲线E的方程 为x＋＝1．
2
2
…2分
2
→
22222< br>(2＋1)
2
由|CD|＝2＋1，得m＋n＝(2＋1)，∴(2＋1)x＋y＝(2 ＋1)
2
，
2
…5分
（Ⅱ）设A(x
1< br>，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，由
→
OM＝
→
OA＋
→
OB，知点M坐标为(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
)．
设直线l的方程为y＝kx＋1， 代入曲线E方程，得(k
2
＋2)x
2
＋2kx－1＝0，
2k1
则x
1
＋x
2
＝－
2
，x
1
x< br>2
＝－
2
． …7分
k＋2k＋2
2
4
2
(y
1
＋y
2
)
y
1
＋y
2
＝k(x
1
＋x
2
)＋2＝
2
，由点M 在曲线E上，知(x
1
＋x
2
)＋＝1，
2
k＋2
4k
2
8
2
即
2
…9分
2
＋
22
＝1，解得k＝2．
(k＋2)(k＋2)

3

这时x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝x
1
x
2
＋(k x
1
＋1)(kx
2
＋1)＝(1＋k
2
)x
1< br>x
2
＋k(x
2
＋x
2
)＋1＝－，
4
22222222
(x
2
1
＋y
1
) (x
2
＋y
2
)＝(2－x
1
)(2－x
2
)＝4－2(x
1
＋x
2
)＋(x
1
x
2
)

x
1
x
2
＋y
1
y
2
3333
＝4－2[(x
1
＋x
2
)
2
－2x
1
x
2
]＋(x
1
x
2
)
2
＝，cos?
→
OA，
→
OB?＝＝－．…
22 2
1611
(x
2
＋y)(x＋y)
1122
12分 已知
f(x)?
1
2
x?a
2
lnx,a?0
. （I）求函数f（x）的最小值；
2
（ II）（i）设
0?t?a,证明:f(a?t)?f(a?t);


解：
a
2
(x＋a)(x－a)
（Ⅰ）f?(x)＝x－＝．
xx
当x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增．
…1分
（ii）若
f(x
1
)?f(x
2
)
，且
x
1
?x
2
,
证明：
x
1
?x
2
?2a.


1

当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f( a)＝a
2
－a
2
lna．
2
（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则
当0＜t＜a时，
a
2
a
2
2at
2
g?(t)＝f?(a＋t)＋ f?(a－t)＝a＋t－＋a－t－＝＜0，
a＋ta－tt
2
－a
2
所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，
故f(a＋t)＜f(a－t)．
（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，
不失一般性，设0＜x
1
＜a＜x
2
，
因0＜a－x
1
＜a，则由（ⅰ），得
f(2a－x
1
) ＝f(a＋(a－x
1
))＜f(a－(a－x
1
))＝f(x
1< br>)＝f(x
2
)，
又2a－x
1
，x
2
∈(a，＋∞)，
故2a－x
1
＜x
2
，即x
1
＋x
2
＞2a．
…4分
…6分
…8分
…11分
…12分