关于高级高中数学方法篇之配方法

高中数学方法篇之配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”） 的技巧，通过配方找到已知
和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用 “裂项”与
“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知
中含有 二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次
曲线的平移变换等问 题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
，将这个公式
灵活运用，可得到各种基本配方形式 ，如：

a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2 ab＝(a－b)
2
＋2ab；

a
2
＋ab＋b
2
＝(a＋b)
2
－ab＝(a－b)
2
＋3ab＝(a＋
3
b
2
)＋（b）
2
；

2
2
a
2
＋b
2
＋c
2
＋ab＋bc＋ca＝
1
[(a＋b)
2
＋(b＋c)
2
＋(c＋a)
2
]

2
a
2
＋b
2
＋c
2
＝(a＋b＋c)< br>2
－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)
2
－2(ab－bc－ca)＝ …

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
2
；

11
2
1
2
＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。

x
2
xx
x
2
＋
一、再现性题组：

1. 在正项等比数列{a
n
}中，a
1
?a
5
+ 2a
3
?a
5
+a
3
?a
7
=25，则 a
3
＋a
5
＝_______。

2. 方程x
2
＋y
2
－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

11
A.
1
4
4
或k>1 C. k∈R D. k＝
4
或k＝1

3. 已知sin
4
α＋cos
4
α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0

4. 函数y＝log
1
(－2x
2
＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

2
5155
A. （－∞,
5
4
] B. [
4
,+∞) C. (－
2
,
4
] D. [
4
,3)

5. 已知方程x
2
+(a-2)x+ a-1=0的两根x
1
、x
2
，则点P(x
1
,x
2
)在圆x
2
+y
2
=4上，则实数
a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a
m?p
a
m?p
＝a
m
2
，将已知等式左边后配方（a
3
＋a
5
）2
易求。答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，解r
2
>0即可，选 B。

3小题：已知等式经配方成(sin
2
α＋cos
2
α)
2
－2sin
2
αcos
2
α＝1，求出sinαc osα，
然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5小题：答案3－
11
。

二、示范性题组：

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角
线长为_____。

A. 2
3
B.
14
C. 5 D. 6

?
2(xy?yz?xz)?11
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则
?
,
4(x?y?z) ?24
?
而欲求对角线长
x
2
?y
2
?z
2
，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之
?
2(xy?yz?xz)?11和为24”而得：
?
。

4(x?y?z)?24
?
长 方体所求对角线长为：
x
2
?y
2
?z
2
＝
(x?y?z)
2
?2(xy?yz?xz)
＝
6
2
?1 1
＝5

所以选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个 未知转换为三个数学表示式，观察和分析三
个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联 系了已知和未知，从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。

p
2
q
)+()
2
≤7成立，求实数k的取值
qp
例2. 设方程x
2
＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(
范围。

【解】 方程x
2
＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

[(p?q)
2
?2pq]
2
?2p
2
q
2
(k
2
?4)
2
?8
p
4
?q
4
(p
2
?q
2
)
2
?2p
2
q
2
p
2
q
2
()+()＝＝＝
22
＝
2
(pq)
(pq)
4
qp
(pq)≤7， 解得k≤－
10
或k≥
10
。

又 ∵p、q为方程x
2
＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k
2
－8≥0即k≥2
2
或k≤－2
2

综合起来，k的取值范围是：－
10
≤k≤－
22
或者
22
≤k≤
10
。

【注】 关于实系数一元二次方程问题 ，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，
可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋ q、pq后，观察已知不等式，从其结构特

征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将
出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论， 但解答是不严密、不完整的，
这一点我们要尤为注意和重视。

例3. 设非零复数a 、b满足a
2
＋ab＋b
2
=0，求(
b
a
)1998
＋()
1998
。

a?b
a?b
【分析】 对已知式可以联想：变形为(
a
2
aa
)＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚
bbb
根）；或配方为(a＋b)
2
＝ab 。则代入所求式即得。

a
2
a
)＋()＋1＝0 ，
< br>bb
【解】由a
2
＋ab＋b
2
=0变形得：(
设ω ＝
a1
b
，则ω
2
＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝ ，ω
3
＝
?
3
＝1。

ba
?
又 由a
2
＋ab＋b
2
=0变形得：(a＋b)
2
＝ab ，

a
2
999
b
2
999
b
a
ab
19981998
所以 ()＋()＝()＋()＝()
999
＋()
999
＝ω
999
＋
?
abab
a?bba
a?b
999
＝
2 。

【注】 本题通过配方，简化了所 求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表
达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的 灵活性，要求我们善于联想和展开。

?1?3i
aa
b
【另解】由 a
2
＋ab＋b
2
＝0变形得：()
2
＋()＋1＝0 ， 解出＝后，化成三
2
bba
ab
角形式，代入所求表达式的变形式()
999
＋()
999
后，完成后面的运算。此方法用于只是
ba
未
?1?3i
联想到ω时进行解题。

2

假如本题没有 想到以上一系列变换过程时，还可由a
2
＋ab＋b
2
＝0解出：a＝
?1?3i
b，
2
直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利 用棣莫佛定理完成最后
的计算。

三、巩固性题组：

1. 函数y＝(x－a)
2
＋(x－b)
2
（a、b为常数）的最小值为_____。

2
(a?b)
A. 8 B.
2
22
a?b
C.
2
D.最小值不存在

2. α、β是方程x
2
－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)
2
+(β-1)
2
的最小值是_____。

A. －
49
4
B. 8 C. 18 D.不存在

3. 已知x、y∈R
?
，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2
x
＋8
y
有_____。

2
2
2

2
A.最大值2
2
B.最大值 C.最小值2
2
B.最小值
4. 椭圆x
2
－2ax＋3y
2
＋a
2
－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6

5. 化简：2
1?sin8
＋
2?2cos8
的结果是_____。

A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4

6. 设F
1
和
2
x
F
2
为双曲线
4
－y
2
＝1的两个焦点，点P在双 曲线上且满足∠F
1
PF
2
＝90°，则
△F
1
P F
2
的面积是_________。

7. 若x>－1，则f(x)＝x< br>2
＋2x＋
1
的最小值为___________。

x?1

8. 已知
?
〈β<α〈
3
π，co s(α-β)＝
12
，sin(α+β)＝－
3
，求sin2α的值。(92 年高
2
4135
考题)

9. 设二次函数f(x)＝Ax
2
＋Bx＋C，给定m、n（m2
[(m+n)
2
+ m
2
n
2
]＋2A[B(m+n)
－Cmn]＋B
2< br>＋C
2
＝0 。

① 解不等式f(x)>0；

② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，
指出t的取值范围。

10. 设s>1，t>1， m∈R，x＝log
s
t＋log
t
s，y＝log
s
4< br>t＋log
t
4
s＋m(log
s
2
t＋logt
2
s),

① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。