高中数学方法篇之配方法

高中数学方法篇之配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”） 的技巧，通过配方找到已知和
未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用 “裂项”与“添
项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中
含有二次方程 、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲
线的平移变换等问题。 < br>配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式
灵 活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； 2222
222
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋
222
2222
3
b
22
)＋（b）；
2
21
222
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] < br>2
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ ca)＝?
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
2
2222 2
11
2
1
2
x＋
2
＝(x＋)－2＝(x－)＋ 2 ；?? 等等。
xxx
2

一、再现性题组：
1. 在正项 等比数列{a
n
}中，a
1
?a
5
+2a
3
?a
5
+a
3
?a
7
=25，则 a
3
＋a
5
＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
11
A.
1
4
4
或k>1 C. k∈R D. k＝
4
或k＝1
44
22
3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log
1
(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
2
2
5155
A. （－∞,
5
4
] B. [
4
,+∞) C. (－
2
,
4
] D. [
4
,3)
222
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的 两根x
1
、x
2
，则点P(x
1
,x
2
) 在圆x+y=4上，则实
数a＝_____。

【简解】 1小题：利用等比数 列性质a
m?p
a
m?p
＝a
m
，将已知等式左边后配方（ a
3
＋a
5
）
2
2
易求。答案是：5。 2222
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα ，
然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－
11
。

二、示范性题组：
例1.已 知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线
长为_____。
A. 2
3
B.
14
C. 5 D. 6
22222
?
2(xy?yz?x z)?11
【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则
?
,
4(x?y?z)?24
?
而欲求对角线长
x
2
?y2
?z
2
，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽 高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之
和为24”而得：
?
?
2(xy?yz?xz)?11
。
4(x?y?z)?24
?
222
2
长方体所求对角线长为：
x?y?z
＝
(x?y? z)?2(xy?yz?xz)
＝
6
2
?11
＝
5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和 分析三个
数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(
范围。
【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
2
2
p
2
q
2
)+()≤7成立，求实数k的取值
qp
p
()
q
2
q
+()
p
2
[(p?q)
2
?2pq]
2
?2p
2
q
2
(p
2
?q
2
)
2
?2p
2
q
2
p
4
?q
4
＝＝＝＝
(pq)
2
(pq )
2
(pq)
2
(k
2
?4)
2
?8≤7，解得k≤－
10
或k≥
10
。
4

又∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2
2
或k≤－22

综合起来，k的取值范围是：－
10
≤k≤－
22
或者
22
≤k≤
10
。
【注】关于实系数一元二次方程问题，总是 先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，
可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、p q后，观察已知不等式，从其结构特
征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不 对“△”讨论，结果将出
错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完 整的，这一
点我们要尤为注意和重视。
22
b
a
19981998
例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
a?b
a?b
a
2
aa
【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚
bbb
22
根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a＋ab＋b=0变形得：(
设ω＝
2
22
2
a
2
a
)＋()＋1＝0 ，
bb
a1
b
233
，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝
?
＝1。
b
?
a
22
又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，
b
a
2
999
b
2
999
a
a< br>999
b
99919981998
所以 ()＋()＝()＋()＝()＋() ＝ω
a?bba
a?b
abab
999
999
＋
?
＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质， 计算表
达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【 另解】由a＋ab＋b＝0变形得：(
22
a
2
a
b
?1? 3i
)＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成
bba
2
三角形式，代入所求表达 式的变形式(
a
999
b
999
)＋()后，完成后面的运算。此方 法用于只
ba
是未
?1?3i
联想到ω时进行解题。
2
2 2
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝
?1?3i< br>b，
2
直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完 成最后的
计算。

三、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
22

22
2
A. 8 B.
(a?b)
C.
a?b
D.最小值不存在
2
2
2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. －
49
4
B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
A.最大值2
2
B.最大值
2
C.最小值2
2
B.最小值
2

22
?xy
222
4. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化简：2
1?sin8
＋
2?2cos8
的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F
1
和F
2
为双曲线
x
－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F
1
PF
2
＝90°，
2
2
222
4
则△F
1
PF
2
的面积是_________。
2
7. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋
1
的最小值为___________。
x?1
8. 已知
?
〈β<α〈
3
π，cos(α-β)＝
12
，sin(α+β)＝－
3
，求sin2α的值。(92年高
2
4135
考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m－Cmn]＋B＋C＝0 。
① 解不等式f(x)>0；
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，
指出t的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m∈R， x＝log
s
t＋log
t
s，y＝log
s
t＋log< br>t
s＋m(log
s
t＋log
t
s),
① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
4422
22
22222