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高中数学52种快速做题方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 20:29
tags:高中数学方法

高中数学直线与圆分析-高中数学教学效果自我评价

2020年10月7日发(作者:鲁敬庄)


高中数学52种快速做题方法
1 . 适用条件

[直线过焦点] ,必有ecosA=(x-1)(x+1),其中A为直线与焦点所在轴
夹角,是锐角。x为分离比,必 须大于1。

注:上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段
上),用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边为
(x+1)(x-1),其他不变。

2 . 函数的周期性问题(记忆三个)

(1)若f(x)=-f(x+k),则T=2k;

(2)若f(x)=m(x+k)(m不为0),则T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),则T=6k。

注意点:a.周 期函数,周期必无限b.周期函数未必存在最小周期,如:
常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周 期函数,如:y=sinxy=sin
派x相加不是周期函数。

3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下

(1)若在R上(下同)满足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,对称轴为x=(a+b)2
(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)2对称;
(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)图像关于(a,b)中心对称

4 . 函数奇偶性

(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;
(2)对于含参函数,奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项
(3)奇偶性作用不大,一般用于选择填空

5 . 数列爆强定律

(1)等差数列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7为下角标);
(2)等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差
(3)等比数列中,上述2中各项在公比不为负一时成等比,在q=-1时,
未必成立
(4)等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+q?mS(n)可以迅速求q

6 . 数列的终极利器,特征根方程



首先介绍公式:对于an+1=pan+q(n+1为下角标,n为下角标),
a1已知,那 么特征根x=q(1-p),则数列通项公式为
an=(a1-x)p?(n-1)+x,这是一阶特征 根方程的运用。

二阶有点麻烦,且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)

7 . 函数详解补充

1、复合函数奇偶性:内偶则偶,内奇同外
2、复合函数单调性:同增异减
3、重点知识关于三次函数:恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中
心对称图形。

它有一个对称中心,求法为二阶导后导数为0,根x即为中心横坐标,
纵坐标可以用 x带入原函数界定。另外,必有唯一一条过该中心的直线
与两旁相切。

8 . 常用数列bn=n×(2?n)求和Sn=(n-1)×(2?(n+1))+2记忆方法

前面减去一个1,后面加一个,再整体加一个2

9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式

k椭=-{(b?)xo}{(a?)yo}k双={(b?)xo}{(a?)yo}k抛=pyo

注:(xo,yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技

已知直线L1:a1x+b1y+c1=0直线L2:a2x+b2y+c2=0
若它们垂直:(充要条件)a1a2+b1b2=0;
若它们平行:(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[
这个条件为了防止两直线重合)

注:以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦,直接必杀!

11 . 经典中的经典

相信邻项相消大家都知道。
下面看隔项相消:
对于
Sn=1( 1×3)+1(2×4)+1(3×5)+…+1[n(n+2)]=12[1+12-1(n+1)-1


(n+2)]

注:隔项相加保留四项,即首两项,尾两项。自己把式子写 在草稿纸上,
那样看起来会很清爽以及整洁!

12 . 爆强△面积公式

S=12∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

注:这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题

13 . 你知道吗?空间立体几何中:以下命题均错

(1)空间中不同三点确定一个平面
(2)垂直同一直线的两直线平行
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直平面
(5)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
(6)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体都是棱锥

注:对初中生不适用。

14 . 一个小知识点

所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15 . 求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的
最小值

答案为:当n为奇数,最小值为(n?-1)4,在x=(n+1)2时取到;

当n为偶数时,最小值为n?4,在x=n2或n2+1时取到。

16 . √〔(a?+b?)〕2≥(a+b)2≥√ab≥2ab(a+b)(a、b为正数,是
统一定义域)

17 . 椭圆中焦点三角形面积公式

S=b?tan(A2)在双曲线中:S=b?tan(A2)

说明:适用于焦点在x轴,且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

18 . 爆强定理


空间向量三公式解决所有题目:cosA=|{向量a.向量b} [向量a的模×
向量b的模]

(1)A为线线夹角
(2)A为线面夹角(但是公式中cos换成sin)
(3)A为面面夹角注:以上角范围均为[0,派2]。

19 . 爆强公式

1?+2?+3?+…+n?=16(n)(n+1)(2n+1);1?3+2?3+3? 3+…+n?3=14(n?)(n+
1)?

20 . 爆强切线方程记忆方法

写成对称形式,换一个x,换一个y

举例说明:对于y?=2px可以写成y×y=px+px

再把(xo,yo)带入其中一个得:y×yo=pxo+px

21 . 爆强定理

(a+b+c)?n的展开式[合并之后]的项数为:Cn+22,n+2在下,2在上

22 . 转化思想

切线长l=√(d?- r?)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最
小为圆心到直线的距离。

23 . 对于y?=2px

过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。

爆强定理的证明:对于y?=2px,设过焦点的弦倾斜角为A

那么弦长可表示为2p〔(sinA)?〕,所以与之垂直的弦长为2p[(cosA)?]

所以求和再据三角知识可知。

(题目的意思就是弦AB过焦点,CD过焦点,且AB垂直于CD)

24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣


25 . 关于解决证明含ln的不等式的一种思路

举例说明:证明1+12+13+…+1n>ln(n+1)

把左边看成是1n求和,右边看成是Sn。

解:令an=1n,令Sn=ln(n+1),则bn=ln(n+1)-lnn,

那么只需证an>bn即可,根据定积分知识画出y=1x的图。

an=1×1n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。

注 :仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广,就是把左边、
右边看成是数列求和,证面积大 小即可。说明:前提是含ln。

26 . 爆强简洁公式

向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的数量积〕[向量b的模]。

记忆方法:在哪投影除以哪个的模

27 . 说明一个易错点
若f(x+a)[a任意]为奇函数,那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等
式右 边不是-f(-x-a)〕

同理如果f(x+a)为偶函数,可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记

28 . 离心率爆强公式

e=sinA(sinM+sinN)

注:P为椭圆上一点,其中A为角F1PF2,两腰角为M,N

29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西,它可以解决一些最值问
题。

比如x?4+y?=1求z=x+y的最值。

解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式

和差化积


sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]sinθ-s inφ=2cos[(θ+
φ)2]sin[(θ-φ)2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ )2]cos[(θ-φ)2]c
osθ- cosφ=-2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]

积化和差
< br>sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]2cosαcosβ=[cos(α+β) +cos
(α-β)]2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2cosαsi nβ=[sin(
α+β)-sin(α-β)]2
31 . 爆强定理

直观图的面积是原图的√24倍。

32 . 三角形垂心爆强定理

(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心,H为垂心)

(2)若三角形的三个顶点都在函数y=1x的图象上,则它的垂心也在这个
函数图象上。

33 . 维维安尼定理

正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值,这定值等于该
三角形的高。

34 . 爆强思路

如果出现两根之积x1x2=m,两根之和x1+x2=n

我们应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数

再利用△大于等于0,可以得到m、n范围。

35 . 常用结论

过(2p,0)的直线交抛物线y?=2px于A、B两点。

O为原点,连接。必有角AOB=90度

36 . 爆强公式

ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。

举例说明: ln(1(2?)+1)+ln(1(3?)+1)+…+ln(1(n?)+1)<1(n≥2)



证明如下:令x=1(n?),根据ln(x+1)≤x有左右累和右边

再放缩得:左和<1-1n<1证毕!

37 . 函数y=(sinx)x是偶函数

在(0,派)上它单调递减,(-派,0)上单调递增。

利用上述性质可以比较大小。

38 . 函数

y=(lnx)x在(0,e)上单调递增,在(e,+无穷)上单调递减。

另外y=x?(1x)与该函数的单调性一致。

39 . 几个数学易错点

(1)f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件

(2)研究函数奇偶性时,忽略最开始的也是最重要的一步:考虑定义域是
否关于原点对称

(3)不等式的运用过程中,千万要考虑=号是否取到

(4)研究数列 问题不考虑分项,就是说有时第一项并不符合通项公式,所
以应当极度注意:数列问题一定要考虑是否需 要分项!

40 . 提高计算能力五步曲

(1)扔掉计算器

(2)仔细审题(提倡看题慢,解题快),要知道没有看清楚题目,你算多少
都没用

(3)熟记常用数据,掌握一些速算技

(4)加强心算、估算能力

(5)检验

41 . 一个美妙的公式


已知三角形中AB=a,AC=b,O为三角形的外心,

则向量AO×向量BC(即数量积)=(12)[b?-a?]

证明:过O作BC垂线,转化到已知边上

42 . 函数

① 函数单调性的含义:大多数同学都知道若函数在区间D上单调,则函
数值随着自变量的增大(减小)而增 大(减小),但有些意思可能有些人还
不是很清楚,若函数在D上单调,则函数必连续(分段函数另当别 论)这
也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增,因为它的图像被无
穷多条渐近 线挡住,换而言之,不连续.还有,如果函数在D上单调,则
函数在D上y与x一一对应.这个可以用来 解一些方程.至于例子不举了

②函数周期性:这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期 设f(x)为
R上的函数,对任意x∈R

(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值,下同)

(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

(4)设T≠0,有f( x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则
函数的周期为2

43 . 奇偶函数概念的推广

(1)对于函数f(x),若存在常数 a,使得f(a-x)=f(a+x),则称f(x)为广
义(Ⅰ)型偶函数,且当有两个相异实数a, b满足时,f(x)为周期函数
T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f( a+x),则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数,当有两个相异实
数a,b满足时,f(x)为周期函数T =2(b-a)

(3)有两个实数a,b满足广义奇偶函数的方程式时,就称f(x)是广 义(Ⅱ)
型的奇,偶函数.且若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数,那么当f在[a+b2,
∞) 上为增函数时,有f(x1)x1-(a+b p= <= 2)<绝对值x2-(a+b)=>

44 . 函数对称性

(1)若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(a+b2,c2)成中心对称



(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=a+b2成轴对称

柯西函数方程:若f(x)连续或单调

(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=x?u(u由初值给出)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a?x

(4)若 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx(5)若
f(x+y)+f( x-y)=2f(x),则f(x)=ax+b特别的若f(x)+f(y)=f(x+y),则
f(x )=kx

45 . 与三角形有关的定理或结论中学数学平面几何最基本的图形就
是三角形

①正切定理 (我自己取的,因为不知道名字):在非Rt△中,有
tanA+tanB+tanC=tanAtan BtanC

②任意三角形射影定理(又称第一余弦定理):

在△ABC中,

a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形内切圆半径r=2Sa+b+c(S为面积),外接圆半径应该都知
道了吧

④梅涅劳斯定理:设A1,B1,C1分别是△ABC三边BC,CA,AB所在直线
的上的点,则A1,B1,C1共线的充要条件是CB1B1A·BA1A1C·AC1C1B=1

46. 易错点

(1)函数的各类性质综合运用不灵活,比如奇偶性与单调性常用 来配合解
决抽象函数不等式问题;

(2)三角函数恒等变换不清楚,诱导公式不迅捷。

47 . 易错点

(3)忽略三角函数中的有界性,三角形中角度的限定,比如一个三角形中,
不可能同时出现两 个角的正切值为负



(4)三角的平移变换不清晰,说明:由y=sinx变 成y=sinwx的步骤是将
横坐标变成原来的1∣w∣倍

48 . 易错点

(5)数列求和中,常常使用的错位相减总是粗心算错

规避方法:在写第二步时,提出公差,括号内等比数列求和,最后除掉
系数;

(6)数列中常用变形公式不清楚,如:an=1[n(n+2)]的求和保留四项

49 . 易错点

(7)数列未考虑a1是否符合根据sn- sn-1求得的通项公式;

(8)数列并不是简单的全体实数函数,即注意求导研究数列的最值问题过
程中是否取到问题

50 . 易错点

(9)向量的运算不完全等价于代数运算;

(10)在求向量的模运算过程中平方之后,忘记开方。

比如这种选择题中常常出现2,√2的答案…,基本就是选√2,选2的
就是因为没有开方;

(11)复数的几何意义不清晰

51. 关于辅助角公式

asint+bcost=[√(a?+b?)]sin(t+m)其中tanm=ba[条件:a>0 ]

说明:一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m,个人觉得这样
太容易出错

最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。

举例说明:sinx+√3cosx=2sin(x+m),

因为tanm=√3,所以m=60度,所以原式=2sin(x+60度)


52 . A、B为椭圆x?a?+y?b?=1上任意两点。若OA垂直OB,则有< br>1∣OA∣?+1∣OB∣?=1a?+1b?

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