高二数学选修2-2测试题(含答案)

三、解答题（每小题12分，共60分）
17、（本小题10分） 已知等腰梯形
OABC
的顶点
A，B
在复平面上对应的复数分
别为< br>1?2i
、
?2?6i
，且
O
是坐标原点，
OA∥B C
．求顶点
C
所对应的复数
z
．






18、（本小题12分）
F(x)?
?
(t
2
?2t?8)dt(x?0)
．
0
x
（1）求
F(x)
的单调区间；
（2）求函数
F(x)
在
[1，3]
上的最值．








19．（本小题12分） 设
y?f(x)
是二次函数，方程
f(x)?0
有两个相等的实根，
且
f
?
(x)?2x?2
．
（1）求
y?f(x)
的表达式；
（2）若直线
x??t(0?t ?1)
把
y?f(x)
的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等
分，求
t
的值．

20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为 每天１
８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果
游客居住 房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。房间定价多少时，
宾馆利润最大？






21、（本小题满分12分） 证明：






22、（本小题12分）已知数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?1?na
n
(n?N
*
)
．
（1）计算
a1
，
a
2
，
a
3
，
a
4；
（2）猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
a
b
?
b
a
?a?b

参考答案
题
号
答
案
1 2 3

C C

4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D A B C D A A B B

13、
?
?1

14、
4,?11

15、
f(x)?x?1
16、
(??,?1]

4
17、解：设
z?x?yi(x，y?R)
．
由
OA∥ BC
，
OC?AB
，得
k
OA
?k
BC
，
z
C
?z
B
?z
A
，
?
2y? 6
?
1
?
x?2
，
即
?

?x
2
?y
2
?3
2
?4
2
，
?
OA?BC
，
?x??3
，
y?4
舍去．
?z??5
．
18、解：依题意得，
F(x)?
?
132
?
x
1
322
(t?2t?8)dt?t?t?8t
??
0
?x?x?8x
，定义域
?
0
3
?
3
?
x
??)
． 是
(0，
（1）
F
?
(x)?x?2x?8
,
令
F
?
(x)?0
，得
x?2
或
x??4
，
令
F
?
(x)?0
，得
?4?x?2
，
2
??)
， 由于定义域是
(0，
?
函数的单调增区间是< br>(2，??)
，单调递减区间是
(0，2)
．
（2）令
F< br>?
(x)?0
，得
x?2(x??4舍)
，
由于
F (1)??
2028
，
F(2)??
，
F(3)??6
，
33
28
．
3
?F(x)
在
[1，3]
上的最大值是
F(3)??6
，最小值是
F(2)??

19、 解：（1）设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，
则
f
?
(x)?2ax?b
．
由已知
f
?
(x)?2x?2
，得
a?1
，
b?2
．
2
?f(x)?x
2
?2x?c
．
又方程
x?2x?c?0
有两个相等的实数根，
2
???4?4c?0
，即
c?1
．
故
f(x)?x?2x?1
；
（2）依题意，得
2
??t
?1
(x
2
?2x?1)dx?
?
(x
2
?2x?1)dx
，
?t
0
?
1
?
?< br>?
x
3
?x
2
?x
?
?
3
?
?t
?1
?
1
?
?
?
x
3?x
2
?x
?
?
3
?
0
?t
，
32
整理，得
2t?6t?6t?1?0
，即
2(t?1)?1 ?0
，
3
?t?1?
1
．
3
2
20、
L(x)
=
(50?
=
?
x?180
)(x?20 )

10
1
2
x?70x?1360,180?x?680.

10
1
'
令
L(x)??x?70?0,
解得
x?350< br>.
5
当
x?(180,350)
时，
L(x)?0,

当
x?(180,680)
时
L(x)?0

因此, x?350
时是函数
L(x)
的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天 的定
价为350元时,宾馆利润最大
21、证明：要证
'
'
ab
?
b
a
?a?b
，
ab(a?b)

ab(a?b)

只需证
aa?bb?
即证
(a?b?ab )(a?b)?
即证
a?b?ab?ab

2
即证
a?b?2ab
，即
(a?b)?0

该式显然成立，所以
a
b
?
b
a
?a?b

22、解：（1）依题设可得
a
1
?
1111
，
a
2
??
，
?
21?262?3
1111
，
a
4
?
；
a
3
???
123?4204?5
1
．
n(n? 1)
（2）猜想：
a
n
?
证明：①当
n?1
时，猜 想显然成立．
②假设
n?k(k?N)
时，猜想成立，
即
a
k
?
*
1
．
k(k?1)
那么，当
n?k?1
时，
S
k?1
?1?(k?1)a
k? 1
，
即
S
k
?a
k?1
?1?(k?1)ak?1
．
又
S
k
?1?ka
k
?
所以
k
，
k?1
k
?a
k?1
?1?(k?1)a
k?1
，
k?1
11
?
．
(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)? 1]
从而
a
k?1
?
即
n?k?1
时，猜想也成立 ．
故由①和②，可知猜想成立．