高一数学校本课程校本课程

校本课程教案
王乐
教学目的
1.通过分析数学思维的特殊性，让学生意识到自己在数学学习中存在的问题.
2.让学生明确数学思维具有变通性.
3.让学生明确高中数学解题思维全过程.
教学重难点
重点:1.明确数学思维的特点,并能合理的加以应用.
2.明确数学解题思维全过程.
3.了解提高解题能力的技巧.
难点:对数学思维的特点的理解及其应用.
第一课时
数学思维的变通性

思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
数学问题千 变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，
要善于根据题设的相关知识，提出灵活 的设想和解题方案。要想在解题过程中灵
活的变通需做到:
（1） 善于观察
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据
1

题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透
过表面现象看 其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。观察看起来是一
种表面现象，但实际上是认识事物内部 规律的基础。接下来,我们通过一些例子
来体会观察的重要性.
例1 已知
a,b ,c,d
都是实数，求证
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?
(
a?c
)
2
?
(
b ?d
)
2
.

思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设
A(a,b),B(c,d)
如图1－2－1所示，
则
AB?
(
a?c
)
2
?
(
b?d
)
2
.


y
A(a,b)
B(c,d)
图
1
－
2
－
1
x
OA?a
2
?b
2
,OB?c
2
?d
2
,

在
?OAB
中，由三角形三边之间的关系知：

OA?OB?AB
当且仅当O在AB上时，等号成立。
因此，
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?
(< br>a?c
)
2
?
(
b?d
)
2
.
例2 已知二次函数
f
(
x
)
?ax
2
?bx?c?
0(
a?
0),
满足关系
f(2?x)? f(2?x)
，试比较
f(0.5)
与
f(
?
)
的 大小。
思路分析 由已知条件
f(2?x)?f(2?x)
可知，在与
x ?2
左右等距离的点的函
数值相等，说明该函数的图像关于直线
x?2
对称， 又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
2

y
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由
f(2?x)?f(2?x)
，
知
f(x)
是以直线
x?2
为对称轴，开口向上的抛物线
它与
x?2
距离越近的点，函数值越小。
O
2 x
图
1
－
2
－
2
?2?0.5?2?
?
?f(0.5)?f(
?
)

（2） 善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明 显的、
间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特
征，灵活 运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。同样我
们从实际出发来分析如何联想.
?
x?y?2
例1 解方程组
?
.
?
xy? ?3
这个方程指明两个数的和为
2
，这两个数的积为
?3
。由此联想 到韦达定理，
x
、
y
是一元二次方程
t
2
?2t?3?0
的两个根，
?
x??1
?< br>x?3
所以
?
或
?
.可见，联想可使问题变得简单。
?
y?3
?
y??1
2
y?x?z
.

例2 若
(
z?x
)
2
?
4(
x?y)(
y?z
)
?
0,
证明：
思路分析 此题一般是通 过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的
特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是 ，我们联想到借助一元二
次方程的知识来证题。



3

证明 当
x?y?0
时，等式
(
z?x
)
2
?
4(
x?y
)(
y?z
)
?
0

可看作 是关于
t
的一元二次方程
(
x?y
)
t
2
?
(
z?x
)
t?
(
y?z
)
?
0
有等根的条
件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：

y?z
?1
即
2y?x?z

x?y
若
x?y?0
，由已知条件易得
z?x?0,
即
x?y?z
,显然也有
2y?x?z
.
（3） 善于将问题进行转化
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见 ，
解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维
方法。那么怎 样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问
题转化成具体问题，把未知问题转化成 已知问题。在解题时，观察具体特征，联
想有关问题之后，就要寻求转化关系。

例1
如果函数
f(x)?x?bx?c
对任意实数t都有f(2+t)=f (2-t)，比较
2

f(2),f(1),f(4)的大小关系



解析 转化为在同一个单调区间上比较大小问题.

由f(2+t)=f(2-t)知f(x)的对称轴为x=2.

∴f(x)在［2，+∞）上为单调增函数.

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例2 已知非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x∈R}，若
A
?
R
?
?
?
求实数m
的取 值范围(R-表示负实数集,R+表示正实数集).

解 设全集U={m|Δ=16m2-8m-24≥0}



< br>?
3
?
?
?
mm??1或m?
?
.
2
??

方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是
?
m?U,
3
?
4m?0,可得m?.
?
2
?< br>2m?6?0,
?

∴
A
?
R
?
?
?
时,
?
3
?
实数m的取值范围为
?
mm?
?
.

2
??
∴
A
?
R
?
?
?
时,
实数m的取值范围为{m|m≤-1}.
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。 思维定势是指一个人用
同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。< br>它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的
极大的障碍，必须 加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的
具体体 现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。

5

6

第二课时

数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换 问题直至
解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求， 深入分析条件中的各个元
素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和
经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化
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为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计
划。
第三 阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条
件所选择的根据作对比后修正计划， 然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解
答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果 以后，检查并分析结果。探讨实现
解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新 知识和经
验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径
的积 极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现 ，它包含着一系列基础知
识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部
分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的 一
个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1） 设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、
最符合已知条件的解题方法。
（2） 记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能
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否用你熟悉的方法去解题。
（3） 解了几步后可将所得的局部结果与问题的 条件、结论作比较。用这种办
法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。
（4） 尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也
就是编拟条件简化了的同类题）再 求其解。再试试能否扩大题目条件（编
一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1） 研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可 画出相应图形或思路图
帮助思考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（2） 清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，
即已知的，哪 些是所求的，即未知的。
（3） 深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出 习
题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着
改变一下题目中（或 图中）各元素的位置，看看能否有重要发现。
（4） 尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过
类似题目。
（5） 仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾
的内容？是否还缺少条件？
（6） 认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他
元素有联系。
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（7） 如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方 法的语
言表示题的元素，以利于解题思路的展开。
（5） 一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。
（6） 分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（7） 尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题
目的解。
（8） 研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（9） 改变题的一部分，看对 其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题
的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个 “展望”。
（10）
万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个
同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。











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