浙江省新高考学业水平考试数学试卷教学教材

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共18小 题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）（2017?浙江学业考试）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A
∪B=（ ）

A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，3，4} D．{1，2，3，4}

2．（3分）（2017?浙江学业考试）已知向量=（4，3），则||=（ ）

A．3 B．4 C．5 D．7

3．（3分）（2017?浙江学业考试）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）（2017?浙江学业考试）log
2
=（ ）

A．﹣2 B．﹣ C． D．2

5．（3分）（2017?浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）

A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin

6．（3分）（2017?浙江学业考试）函数y=
A．（﹣1，2] B．[﹣1，2]
的定义域是（ ）

C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）

7．（3分）（2017?浙江学业考试）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（ ）

A． B． C．1 D．

8．（3分）（2017?浙江学业考试） 设不等式组所表示的平面区域为M，
则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．（3分）（2017?浙江学业考试）函数f（x）=x?ln|x|的图象可能是（ ）

A． B．
只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
C． D．

10．（3分）（2017?浙江学业考试）若直线l不平行于平面α，且l?α，则（ ）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内只存在有限条直线与l共面

C．α内存在唯一直线与l平行

D．α内存在无数条直线与l相交

11．（3分）（2017?浙江学业考试）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥A
1
﹣AB
1
D
1
后的几何体，将其绕着棱DD
1
逆时针旋转45°，得到如 图
（2）的几何体的正视图为（ ）


A． B． C．
D．

12．（3分）（2017?浙江学业考试）过圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0
垂直的直线方程是（ ）

A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0

13．（3分）（2017?浙江学业考试）已知a，b是实数，则“ |a|＜1且|b|＜1”是“a
2
+b
2
＜1”的（ ）

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（a＞b＞0）的左、14．（3分）（2017?浙江学业考试 ）设A，B为椭圆
右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k
1，k
2
，若k
1
?k
2
=
﹣，则该椭圆的离心 率为（ ）

A． B． C． D．

15．（3分）（2017?浙江 学业考试）数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
=an
﹣n，n∈
N
*
，则下列为等比数列的是（ ）

A．{a
n
+1} B．{a
n
﹣1} C．{S
n
+1} D．{S
n
﹣1}

16．（3分）（2017?浙江学业考试）正实数x，y满足x+y=1，则
是（ ）

A．3+ B．2+2 C．5 D．

的最小值
17．（3分 ）（2017?浙江学业考试）已知1是函数f（x）=ax
2
+bx+c（a＞b＞c）的< br>一个零点，若存在实数x
0
．使得f（x
0
）＜0．则f（x）的另一 个零点可能是（ ）

A．x
0
﹣3 B．x
0
﹣ C．x
0
+ D．x
0
+2

18．（3分）（2017? 浙江学业考试）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，
将△CAP沿AP翻折至△C′A P，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P
与平面APB所成角分别为α， β，γ，则（ ）

A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β



二.填空题

19．（6分）（20 17?浙江学业考试）设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
n< br>=2n﹣1，n
∈N
*
，则a
1
= ，S
3
= ．

20．（3分）（2017?浙江学业考试）双曲线﹣=1的渐近线方程是 ．
21．（3分）（2017?浙江学业考试）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则
只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
实数a的取值范围是 ．

22．（3分）（2017?浙江学业考试）正四 面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满
足|


三.解答题
< br>23．（10分）（2017?浙江学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a ，b，c，已知cosA=．

（1）求角A的大小；

（2）若b=2，c=3，求a的值；

（3）求2sinB+cos（）的最大值．

|=2，则的取值范围是 ．

24．（10分）（2017?浙江学业考试）如图，抛物线x
2
=y与 直线y=1交于M，N两
点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点
A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．

（1）求M，N两点的坐标；

（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；

（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S
1
，S
2
，若点Q在直 线y=1的下方，求S
2
﹣S
1
的最小值．


2 5．（11分）（2017?浙江学业考试）已知函数g（x）=﹣t?2
x
+
1﹣3
x
+
1
，h（x）=t?2
x
﹣3
x，其中x，t∈R．

（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；

（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：

f（x）=
只供学习与交流
（k∈N
*
）．

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．



只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除

2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个< br>选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（3分）（2017?浙江学业考试）已知 集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A
∪B=（ ）

A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，3，4} D．{1，2，3，4}

【分析】根据并集的定义写出A∪B．

【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，

则A∪B={1，2，3，4}．

故选：D．

【点评】本题考查了并集的定义与运算问题，是基础题．



2．（3分）（2017?浙江学业考试）已知向量=（4，3），则||=（ ）

A．3 B．4 C．5 D．7

【分析】根据平面向量的模长公式计算可得．

【解答】解：因为向量=（4，3），则||=
故选C．

【点评】本题考查了平面向量的模长计算；属于基础题．



3．（3分）（2017?浙江学业考试）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（ ）

A． B． C． D．

=5；

【分析】根据同角三角函数的基 本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求
得cosθ的值．

【解答】解：∵θ为锐角，sinθ=，则cosθ==，

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的
符号，属于基础题．



4．（3分）（2017?浙江学业考试）log
2
=（ ）

A．﹣2 B．﹣ C． D．2

【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．

【解答】解：log
2=log
2
1﹣log
2
4=﹣2．

故选：A．

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．



5．（3分）（2017?浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）

A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin

【分析】求出函数的周期，即可判断选项．

【解答】解：y=sinx，y=cos x的周期是2π，y=sin的周期是4π，y=tanx的周期是
π；

故选：C．

【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．



6．（3分）（2017?浙江学业考试）函数y=
A．（﹣1，2] B．[﹣1，2]
的定义域是（ ）

C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）

【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：
解得：﹣1＜x≤2，

故函数的定义域是（﹣1，2]，

故选：A．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

只供学习与交流
，

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除


7．（3分）（2017?浙江学业考试）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（ ）

A． B． C．1 D．

【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．

【解答】解：点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离d=
故选：A．

【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．



8．（3分）（2017?浙江学业考试）设不等式组所表示的平面区域为M，
=．

则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】验证点的坐标是否满足不等式组，即可得到结果．

【解答】解：不等式组所表示的平面区域为M，

点（1，0），代入不等式组，不等式组成立，所以（1，0），在平面区域M内．

点（3，2），代入不等式组，不等式组不成立，所以（3，2），不在平面区域M
内．
点（﹣1，1），代入不等式组，不等式组不成立，所以（﹣1，1），不在平面区域
M内．

故选：B．

【点评】本题考查线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是基础题．



9．（3分）（2017?浙江学业考试）函数f（x）=x?ln|x|的图象可能是（ ）

A． B．
只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
C． D．

【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．

【解答】解：函数f（x）=x?ln|x|是奇函数，排除选项A，C；

当x=时，y=
故选：D．

【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇 偶性以及特殊点的位置是判断函
数的图象的常用方法．



10．（3分）（2017?浙江学业考试）若直线l不平行于平面α，且l?α，则（ ）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内只存在有限条直线与l共面

C．α内存在唯一直线与l平行

D．α内存在无数条直线与l相交

【分析】根据线面相交得出结论．

【解答】解：由题意可知直线l与平面α只有1个交点，设l∩α=A，

则α内所有过A点的直线与l都相交，

故选D．

【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于基础题．



11． （3分）（2017?浙江学业考试）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥A
1
﹣AB
1D
1
后的几何体，将其绕着棱DD
1
逆时针旋转45°，得到如图
（2）的几何体的正视图为（ ）

，对应点在x轴下方，排除 B；


只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
A． B． C．
D．

【分析】正视图是光线从几何体的前面向后面正投 影得到的投影图，结合三视图
的作法，即可判断出其正视图．

【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，

底面对角线DB在正视图的长为，棱CC
1
在正视图中的投影为虚线，
D
1
A，B
1
A在正视图中为实线；故该几何体的正视图为B．

故选：B

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中 的正
视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚
线表示．< br>


12．（3分）（2017?浙江学业考试）过圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0
垂直的直线方程是（ ）

A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0

【分析】求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程．

【解答】解：圆的圆心为（1，0），直线x+2y=0的斜率为﹣，

∴所求直线的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．

故选D．

【点评】本题考查了直线方程，属于基础题．



13．（3分） （2017?浙江学业考试）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a
2
+b
2
＜1”的（ ）

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：“|a|＜1 且|b|＜1”，不一定能推出“a
2
+b
2
＜1，例如a=b=0.8，即 充
分性不成立，

若a
2
+b
2
＜1一定能推出a |＜1且|b|＜1，即必要性成立，

故“|a|＜1且|b|＜1”是“a
2+b
2
＜1”的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．



14．（3分）（2017?浙江学业考试）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、
右顶点，P为椭圆 上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k
1
，k
2
，若k
1
?k
2
=
﹣，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x
0
，y
0
），由题意可得ab的
关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．< br>
【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x
0
，y< br>0
），

则由P在椭圆上可得y
0
2
=?b
2
，①

∵直线AP与BP的斜率之积为﹣，

∴=﹣，②

把①代入②化简可得
故选：C．

=，∴=，∴离心率e=．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中
档题．



只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
15．（3分）（2017 ?浙江学业考试）数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
= a
n
﹣n，n∈
N
*
，则下列为等比数列的是（ ）

A．{a
n
+1} B．{a
n
﹣1} C．{S
n
+1} D．{S
n
﹣1}

【分析】根据题意 ，将S
n
=a
n
﹣n作为①式，由此可得S
n
﹣
1
=a
n
﹣
1
﹣n+1，②，
将两式相减，变形可得a
n
=3a
n
﹣
1
+2，③，进而分析可得a
n
+ 1=3（a
n
﹣
1
+1），结合等
比数列的定义分析即可得答案．< br>
【解答】解：根据题意，数列{a
n
}满足S
n
=a
n
﹣n，①，

则有S
n
﹣
1
=a
n< br>﹣
1
﹣n+1，②，

①﹣②可得：S
n
﹣S
n
﹣
1
=（a
n
﹣a
n
﹣
1
） ﹣1，即a
n
=3a
n
﹣
1
+2，③

对 ③变形可得：a
n
+1=3（a
n
﹣
1
+1），

即数列{a
n
+1}为等比数列，

故选：A．

【点评】本题考查数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列{a
n
}的
通 项公式．



16．（3分）（2017?浙江学业考试）正实数x，y满足x+y=1，则
是（ ）

A．3+ B．2+2 C．5 D．

的最小值
【分析】利用“1”的代换，然后利用基本不等式求解即可．

【解答】解：正实数x，y满足x+y=1，则
2+2=2．

=2﹣时取等号．

==2+≥
当且仅当x=
故选：B．

【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．



17．（3分）（2017?浙江学业考试）已知1是函数f（x）=ax
2
+bx+c（a ＞b＞c）的
只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
一个零点，若存在实数x< br>0
．使得f（x
0
）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（ ）

A．x
0
﹣3 B．x
0
﹣ C．x
0
+ D．x
0
+2

，然【分析】由题意可得a＞b＞c，则a＞0，c＜0，且 |a|＞|b|，得
后分类分析得答案．

【解答】解：∵1是函数f（x）=ax
2
+bx+c的一个零点，

∴a+b+c=0，

∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，

函数f（x）=ax< br>2
+bx+c的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=﹣
则＜＜，

，

画出函数大致图象如图：


当0≤，函数的另一零点 x
1
∈[﹣1，0），x
0
∈（﹣1，1），

∈（，），∈（，），x
0
+2∈（1，3）；

则x
0< br>﹣3∈（﹣4，﹣2），
当﹣＜＜0，函数的另一零点x
1
∈（﹣2，﹣1）， x
0
∈（﹣2，1），

∈（，），∈（﹣，），x
0
+2 ∈（0，则x
0
﹣3∈（﹣5，﹣2），
3）．

综上，f（x）的另一个零点可能是
故选：B．

．

【点 评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法及
分类讨论的数学思想方法，是 中档题．



只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
18．（3分）（2017 ?浙江学业考试）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，
将△CAP沿AP翻折至△C′ AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P
与平面APB所成角分别为α ，β，γ，则（ ）

A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β

【分析】建立坐标系，找出C′在平面ABC上的射影N，判断N到A，B， P三点
的距离大小得出结论．

【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示：

过C作CM⊥AP，垂足为H，使得CH=MH，设MH的中点为N，

∵二面角C′﹣AP﹣B为60°，

∴C′在平面ABC上的射影为N．连接NP，NA，NB．显然NP＜NA．

设AC=AB=1，则CH=sin∠PAC，

∴CN=CH=sin∠PAC，

∴N到直线AC的距离d=CN?sin∠ACN＜sin∠PAC，

∵CP≤
∴d＜
，∴sin∠PAC≤．

，即N在直线y=下方，∴NA＜NB．

，tanβ=，tanγ=，

设C′到平面ABC的距离为h，则tanα=
∵NP＜NA＜NB，

∴tanγ＞tanα＞tanβ，即γ＞α＞β．

故选C．


【点评】本题考查了空间角的大小比较，属于中档题．



二.填空题

19．（6分）（2017?浙江学业考试）设数列{a
n}的前n项和为S
n
，若a
n
=2n﹣1，n
只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
∈N
*
，则a
1
= 1 ，S
3
= 9 ．

【分析】由a
n
=2n﹣1，n∈N
*
，依次求出数列 的前3项，由此能求出结果．

【解答】解：∵数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
n
=2n﹣1，n∈N
*
，

∴a
1
=2×1﹣1=1，

a
2
=2×2﹣1=3，

a
3
=2×3﹣1=5，

∴S
3
=1+3+5=9．

故答案为：1，9．

【点评】本题考查数列的首项和前3项和的求法，考查数列的通项公式、前n
项和公式等基础知识，考 查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．



20．（3分）（2017?浙江学业考试）双曲线﹣=1的渐近线方程是 ．

【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．

【解答】解：∵双曲线的方程∴a
2
=9，b
2
=16，

即a=3，b=4，

则双曲线的渐近线方程为
故答案为：．

，

﹣=1，

【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双 曲线的方程确定a，b是解
决本题的关键．比较基础．



21． （3分）（2017?浙江学业考试）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则
实数a的 取值范围是 （﹣∞，﹣4]∪[0．+∞） ．

【分析】令f（x）=|2x﹣a|+|x +1|，由不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R可得：
f（）≥1，且f（﹣1）≥1，进 而得到答案．

【解答】解：令f（x）=|2x﹣a|+|x+1|，

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
∵不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，

∴f（）≥1，且f（﹣1）≥1，

∴|+1|≥1，且|﹣2﹣a|≥1，

∴a≤﹣4或a≥0．

即实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）

故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）

【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，难度中档．



22．（3分）（2017?浙江学业考试）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满
足||=2，则的取值范围是 [0，4] ．

关于x，y，z的表达【分析】建立 空间中坐标系，设P（x，y，z），求出
式，根据||=2得出x，y，z的范围，利用简单线性规划 得出答案．

|=|2|=2，

【解答】解：设BC的中点为M，则|∴||=1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．

以M为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：

则A（，0，），D（
=（x﹣
z+2，

，0，0），

，y，z﹣），=（，0，﹣），

设P（x，y，z），则
∴=x﹣
∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x
2
+y
2
+z
2< br>=1，

∵0≤y
2
≤1，0≤x
2
+z
2
≤1．

令
则直线
令
x﹣
x﹣
z+2=m，

z+ 2﹣m=0与单位圆x
2
+z
2
=1相切时，截距取得最值，

=1，解得m=0或m=4．

∴的取值范围是[0，4]．

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除


【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．



三.解答题

23．（10分）（2017?浙江学业考试）在△ABC中 ，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，已知cosA=．

（1）求角A的大小；

（2）若b=2，c=3，求a的值；

（3）求2sinB+cos（）的最大值．

【分析】（1）根据cosA=，求得A的值．

（2）由题意利用余弦定理，求得a的值．

（3）利用两角和差的三角公式化简解析 式，再利用正弦函数的定义域和值域，
求得2sinB+cos（）的最大值．

．

=．

sin（B+），

【解答】解：（1）△ABC中，∵cosA=，∴A=
（2）若b=2，c=3，则 a=< br>（3）2sinB+cos（
∵B∈（0，
故当B+=
）=2sinB+
∈（
=
cosB﹣sinB=sinB+
，），

．

cosB=
），∴B+
时，2sinB+cos（）取得最大值为
只供学习与 交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
【点评】本题主 要考查根据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，
正弦函数的定义域和值域，属于基础题 ．



24．（10分）（2017?浙江学业考试）如图，抛物线x2
=y与直线y=1交于M，N两
点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与 x轴、y轴分别交于点
A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．

（1）求M，N两点的坐标；

（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；

（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S
1
，S
2
，若点Q在直 线y=1的下方，求S
2
﹣S
1
的最小值．


【分析】（1）由得M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）

），得点B 坐标为（0，x
0
），点D坐标为（0，（2）设点Q的坐标为（
﹣x
0），可得B，D两点关于原点O的对称．

（3）由（2）得|BD|=2|x
0
|，S
1
=|BD||x
0
|=x
0
2
． 在直线MQ的方程中令y=0，
得点A坐标为（，0），在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（ ，
0），S
2
═|AC||x
0
2
|=
﹣3即可．

【解答】解：（1）由
，令t=1﹣x
0
2
，t∈（0， 1]，则S
2
﹣S
1
=2t+﹣3≥2
得或

∴M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
（2）设点Q的坐标为（），

直线MQ的方程为：y=（x
0
﹣1 ）（x+1）+1，令x=0，得点B坐标为（0，x
0
），

直线NQ的方 程为：y=（（x
0
+1）（x﹣1）+1，令x=0，得点D坐标为（0，﹣x
0< br>），

∴B，D两点关于原点O的对称．

（3）由（2）得|BD| =2|x
0
|，S
1
=|BD||x
0
|=x
0< br>2
．

在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为（，0），

在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（，0），

∴|AC|=||=，

S
2
═|AC||x
0
2
|=

∴

令t=1﹣x
0
2
，﹣1＜x
0
＜1 ，可得t∈（0，1]

则S
2
﹣S
1
=2t+﹣3≥2< br>当且仅当t=时，即
﹣3

时取等号．

﹣3．
< br>综上所述，S
2
﹣S
1
的最小值为2
【点评】本题考查了抛物 线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，
属于中档题．



25．（11分）（2017?浙江学业考试）已知函数g（x）=﹣t?2
x
+1
﹣3
x
+
1
，h（x）=t?2
x
﹣3x
，其中x，t∈R．

（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；

（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：

f（x）=（k∈N
*
）．

只供学习与交流

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．

【分析】（1）直接代数计算；

（2）根据g（2）≥h（2），h（3）≥g（3 ）求出t的范围，判断g（4）与h（4）
的大小关系即可得出m的最大值，判断g（x）和h（x）的 单调性得出t的范围．

【解答】解：（1）g（2）﹣h（2）=﹣8t﹣27﹣（4t﹣9）=﹣12t﹣18．

（2）∵f（x）是[1，m）上的减函数，

∴g（2）≥h（2），h（3）≥g（3），g（4）≥h（4），

∴，解得﹣≤t≤﹣，

而g（4）﹣h（4）=﹣48t﹣162=﹣48（t+4）＜0，

∴g（4）＜h（4），与g（4）≥h（4）矛盾，

∴m≤4．

当﹣≤t≤﹣时，显然h（x）在[2，3）上为减函数，

故只需令g（x）在[1，2）和[3，4）上为减函数即可．

设1≤x
1
＜x
2
，则g（x
1
）﹣g（x
2
）=2
∵（）
∴2
+t＞t+（）
[t+（）]＞2
[t+（）
＞2
]，

]﹣2
＞0，

[t+（）]，

+t≥ 0，2
[t+（）
即g（x
1
）＞g（x
2
），

∴当﹣≤t≤﹣时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，符合题意．

综上，m的最大值为4，此时t的范围是[﹣，﹣]．

【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于中档题．



只供学习与交流