2018浙江高考数学知识点

1
2018高考数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C
中元素各表示什么？
2.
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A?x|x
2
? 2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质：
1
?

（答：
?
?
?1，0，
?
）

?
3
?
??
（1）集合
?
a
1
，a
2
，??，a
n
?
的所有子集的个数是2
n
；
，
非 空子集个数是2
n
?1,真子集个数是2
n
?1,非空真子集个数是2
n
?2


4. 你会用补集思想解
决
问题吗？（排除法、间接法）

（∵3?M，∴
的取值范围。
a·3?5
?0
2
3 ?a
∵5?M，∴
a·5?5
?0
2
5?a
?
5< br>?

?a?
?
1，
?
?
?
9，25
?
）
?
3
?

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和
“非”(?).


若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。




7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注 意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能
构成映射？ （一对一，多对一，A中元素不可剩余，允许B中有元素剩余。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

2



u




O 1 2 x

10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F(x) ?f(x)?f(?x)的定
义
域是_
（答：
?
a，?a
?
）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？


12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
如 ：求函数f(x)?
?
?
?
x?1
?
x?1
?
（答：f
?1
(x)?
?
）

??
?
??x
?
x?0
?
?
1?x
2< br>?
?
?x
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；



14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（y?f(u)，u ?
?
(x)，则y?f
?
?
(x)
?
（外层）（内 层）




∴??）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间
?
a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于< br>
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


值是（ ） A. 0

B. 1

C. 2 D. 3

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
大值为3）
a
?1，即a?3
∴a的最
3
16. 函数
f
(
x
)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义
域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个 偶函数
与奇函数的乘积是奇函数。






17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）



18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称

4

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

a(a?0)个单位
y?f(x?a)

?
上移

将y?f(x)图象?
左移
?????????
?????????
y?f(x?a)
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
右移a(a?0)个 单位
注意如下“翻折”变换：




y

y=log
2
x


O 1 x



(k<0) y

(k>0)
19. 你熟练掌握常用函数的图象和


性质了吗？
y=b

O’(a,b)


O x
（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


x=a

（2）反比例函数：y?
kk
?
k?0
?
推广为y?b?
?
k?0
?是中心O'(a，b)
的双曲线。
xx?a
2
2
b
?
4ac?b
2

（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?图象为抛物线

?
x?
?
?
?
2a
?
4a


应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程


②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
?
2a
?
?
f(k)?0

5


又如：若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)，
则，f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形）
= -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)]
= - f(-x+2b) (恒等变形）
= -f[b+(-x+b)] (恒等变形）
=-f[b-(-x+b)] [ f(b+x)=f(b-x)]
=-f(x)



2a-2b为半周期


由图象记性质！ （注意底数的限定！）


（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

y



?k


O
k


x






log
a



M
?log
a
M?log
a
N，log
a
N

n
M?
1
log
a
M

n

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

6

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。



22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：







23. 基本初等函数导数公式：
（
1
）
c
?
?0(c为常数）
；

（
2
）
(x
n
)
?
?nx
n?1
(n?N
?
)
,
(x
?
)
?
?
?
x
?
?1
(
?
?0且
?
?Q）
；
（
3
）
（sinx)
?
?cosx,(cosx)
?
??sinx
；

（
4
）
（a
x)
?
?a
x
lna(a?0且a?1),(e
x
)?
?e
x

（
5
）
（log
1
a
x)
?
?
xlna
(a?0且a?1)
，
(l nx)
?
?
1
x
；

（
6
）?
u(x)?v(x)
?
?
?u
?
(x)?v
?
(x)
；

（
7
）
?
u(x)?v(x )
?
?
?u
?
(x)v(x)?u(x)v
?
(x )
；

（
8
）
?
?
u(x)
?< br>?
u
?
(x)v(x
?
v(x)
?
?
?
)?u(x)v
?
(x)
v
2
(x)

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，


24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义


又如：求函数 y?1?2cos
?
?
?
?
?
2
?x
?< br>?
的定义域和值域。




R

1弧度
O R
半径为R的弧长公式和扇形面式吗？
积
公
y


B











S
T

P

α

O





M
A x

7
?
?
< br>（∵1?2cos
?
?
?x
?
）?1?2sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
，如图：

2

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区
间、对称点、对称轴吗？
y
y?tgx




x

?

?


O
?

?

2
2






y=tanx




??< br>?
?3?
?
?
y?sinx的增区间为
?
2k??， 2k??
?
?
k?Z
?

减区间为
?
2k??，2k??
?
k?Z
?

??
22
22
??
??

图象的对称点为< br>?
k?，0
?
，对称轴为x?k??
?
?
k?Z?

y?cosx的增区间为
?
2k?，2k???
?< br>?
k?Z
?

2
?
?

减 区间为
?
2k???，2k??2?
?
?
k?Z
?

图象的对称点为
?
?
k??，0
?
，对称轴为x?k??
k?Z
?

??
2

y?tanx的 增区间为
?
?
k??
?
??
?
，k??
?
k?Z

22
?

26. 正弦型函数y=Asin?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x??
?


（1）振幅|A|，周期T?
2?
< br>若f
?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴 。

|?|

若f
?
x
0
?
?0，则
?
x
0
，0
?
为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令?x??依次为0，
?
，?，
3?，2?，求出x与y，依点
（x，y）作图象。
22

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）


??

8

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。


28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？


29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换）


?
?

如：函数y?2sin
?
?
2x?< br>?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的
图象？
?
4
?



30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？


“k·
?
、“偶”指k取奇、偶数。
??”化为?的三角函数——“奇变， 偶不变，符号看象限”，
“奇”
2
7?
?

如：co s
9?
?tan
?
?
?
?
?sin
?21?
?
?
?
6
?
4

又如：函数y?
C. 非负值 D. 正值
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?

A. 正值或负值 B. 负值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

9
理解公式之间的联系：





应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分
母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
?
??
?
?

（1）角的变换：如??
?< br>???
?
??，
???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??

??
22
??
2
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知
sin?cos?2
?1，tan
?
?? ?
?
??，求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3

（由已知得：
sin?cos?cos?1
??1，∴tan??

2
2sin?2
2sin?

21
?
tan????tan?
??
1

∴ tan
?
??2?
?
?tan
?
?
???
?
??
?
??
32
?）

1?tan
?< br>???
?
·tan?
1?
2
·
1
8
32
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
在三角形ABC中，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,且角A,B,C范围是
（0，180
?
）

（应用：已知两
边
一夹角求第三边；已知三边求角。）

?
a?2RsinA

正弦定理：
a
?
b< br>?
c
?2R?
?
?
b?2RsinB

sinAsinBsinC
?
c?2RsinC
?

10


（1）求角C；


（（1）由已知式得：1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1?1



（2）由正弦定理及a
2
?b
2
?
12
c
2
得：


34. 不等式的性质有哪些？





答案：C
35. 利用均值不等式：

a
2
?b
2
?2ab
?
a，b?R
?
?
2
；a?b?2ab；ab?
?
?
a?b
?
?
2
?
?
求最值时，你是否注
意到“a，b?R
?
”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：



如：若x?0，2?3x?
4
x
的最大值为


当且仅当3x?
4
x
，又x?0，∴x?
233
时，y
max
?2?43）

11

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。


（∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
，∴最小值为22）


?1?1?
111111
????????2??2）

223n?1nn

37.解分式不等式
f(x)
?a
?< br>a?0
?
的一般步骤是什么？

g(x)
（移项通分，分子 分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1

（解集为
?
?
x|x?
?
1
?
?
）

2< br>?
41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)?x
2
?x?13，实数a满足|x?a|?1


证明：



?|(x ?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|?|x|?|a| ?1


（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值

a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是

（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


43. 等差数列的定义与性质

12

定义：a
n?1
?a< br>n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n? 1
?
d

等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y


前n项和S
n
?
?
a
1
?an
?
n
?na
2
1
?
n
?
n ?1
?
2
d


性质：
?
a
n
?
是等差数列


（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列 ；

2S
2n
?S
n
)?S
n
?(S3n
?S
2n
)
）
S，S?S，S?S??仍为等差数列；
(即
（
n2nn3n2n

（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；


（5）
?
a
n
?
为等差数列?S
n
?an
2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为
0的二次函数）

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值；或者求出?
a
n
?
中的正、负分界
项，即：
?
a?0

当a
1
?0，d?0，解不等式组
?
n
可得S
n
达到最大值时的n值。

?
a
n?1
?0
a
n
?0

当a
1
?0，d?0，由
?
可得S
n
达到最小值时的n值 。

?
?
a
n?1
?0

如：等差 数列
?
a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?




44. 等比数列的定义与性质



等比中项：x、G、y成等比数列?G
2
?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)
n

前n项和：S?
?
（要注意!）

性质：
?
a
n
?
是等比数列

?
a
1
1?q
n
(q?1)
?
1?q
?
??

（2）S
n
，S
2n
?S
n，S
3n
?S
2n
??仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

（n ?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?S
n?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
111

如：
?
a
n
?
满足a
1
?
2
a
2
?? ??
n
a
n
?2n?5
2
22
解：
?1?

13
111
< br>n?2时，a
1
?
2
a
2
????
n?1< br>a
n?1
?2n?1?5
2
22

［练习］

数列
?
a
n
?
满足S
n
?S
n?1
?

?2?


5S
a
n?1
，a
1
?4，求a
n
（注意到a
n?1
?S
n?1
?S
n
代入得：
n?1
?4

3
S
n

又S
1?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4n

n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
????3·4
n?1

（2）叠乘法
例如：数列
?
a
n
?
中，a
1
?3，
a
n?1n
?，求a
n

a
n
n?1
解：
（3）等差型递推公式

由a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求a
n
，用迭加 法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?
?
a?a?f(3)
?
32

?
两边相加，得：< br>????
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?< br>?

［练习］


数列
?< br>a
n
?
，a
1
?1，a
n
?3
n? 1
?a
n?1
?
n?2
?
，求a
n

（4）倒数法
例如：a
1
?1，a
n?1
?

2a
n
，求a
n

由已知得：
1
?
a
n
?2
?
1
?
1

a
n
?2
a
n?1
2a
n
2a
n

1
?
11

?
?
??
为等差数列，?1，公差为

?
a
n
?
a
1
2

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
?
1

aa
k?1
kk?1

n
解：

14

［练习］

求和：1?
111

?????
1?21?2?3
1?2?3????n

（2）错位相减法：

若
?
a
n
?
为等差 数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前n项

和，可由S
n?qS
n
求S
n
，其中q为
?
b
n
?
的公比。








（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
????a
n?1
?a
n
?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
????a
2
?a
1
?
?
［练习］

1
?
x

（由 f(x)?f
?
?
??
?
?
x
?
1?x< br>2
2
x
2
1
???1

222
1? x1?x
?
1
?
1?
??
?
x
?

?
1
?
??
?
x
?
2
?
1
?
??
?
1
?
??
?
1
??

∴原式?f(1)?
?
f(2)?f ?f(3)?f?f(4)?f
??????
????
?
2
?
?
?
3
?
?
?
4
?
??????
49.

复数
a?bi(a,b?R)
，其中
a为实部，b为虚部
。

(1)

可分类为：

①
?
?
实数（b? 0)
?
纯虚数（a?0且b?0)

，


②
?

虚数（b?0)非纯虚数（a?0,b?0)
??
（
2
）复数的几何意义

①
用向量
OZ表示复数z?a?bi(a,b?R)

?

15
②
用点
Z(a,b)表示复数

z?a?bi(a,b?R),Z成 为z在复平面上的对应点
（
3
）
z?a?bi的共轭复数为z?a?bi；

（
4
）
复数z?a?bi的模为z?
（
5
）复数的四则运算

a
2
?b
2

设z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c?R)

则z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i
；
< br>z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i
；

z
1
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
???

z
2
c?di(c?di)(c?di)
c
2?d
2
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组

合
。


（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：N?m
1
·m
2
??m
n

（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不



（4）组合数性质：

50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问 题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可
采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10

规定：C
0

n
?1

解析：可分成两类：
（1）中间两个分数不相等，

（2）中间两个分数相等

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有
3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况

16
51. 二项式定理



C
r

n
为二项式系数（区别于该项的系数）
n?r
1nn
性质：
（1）对称性：C
r

r?0，1，2，??，n

（2）系数和：C
0
n
?C
n
n
?C
n
? ??C
n
?2
??

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式

?
?1< br>?
项，二项式系数为C
n
?
2
?
n?1n?1
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
222
如：在二项式
?
x?1
?
的展开式中，系数最小的项系数为
11
n
n?1n?1


（用数字
表示）

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
12
?6或第7项

2

r11?r

由C
11
x(?1)r
，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：


又如：< br>?
1?2x
?
2004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
????a
2004
x
2004< br>?
x?R
?
，则

?
a
0
?a1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?< br>?
a
0
?a
3
?
????
?
a0
?a
2004
?
?（用数字作答）


令x?1，得：a
0
?a
2
????a
2004
? 1

∴原式?2003a
0
?a
0
?a
1< br>????a
2004
?2003?1?1?2004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？


A B

（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。



（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和

??

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。






（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

17
（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

A?A??，A?A??


（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)

（3）若A、B相互独立 ，则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?


（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
??
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
23
C
2
44
3
·4·6?4

∴P
3
?

?
3
125
10
3
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）


分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛 队的概率为
____________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。

18


（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?
a

?
|a|
??
?
?
长度相等

（4）零向量0，|0|?0

（5）相等的向量?
?
a?b

?
??
??
?
方向相同
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与
任意向量平行。
b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

（7）向量的加、减法如图：
??????
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

?
? ?
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?
?
x，y
?< br>，即为向量的坐标





????
表示。


57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。

数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

（2）数量积的运算法则

??
??????


B
?

b

O
?

?
a

D A
?????

??????

注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


???

（3）重要性质：设a?
?
x
1
， y
1
?
，b?
?
x
2
，y
2
?< br>

②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|

?a??b（b?0，?惟一确定）


??????????

19

?
?
?
?
?
?
［练习］
（1）已知正方形ABCD ，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则
答案：
??


（2）若向量a?
?
x，1
?
，b?
?
4，x?
，当x?
??
时a与b共线且方向相同
答案：2
o
??
??

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?
答案：
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面
判定性质

????线⊥线??? 线⊥面???面⊥面????
线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定定理：
a∥b，b?面?，a???a∥面?

a

b
??



线面平行的性质：
线面垂直判定定理：
面面垂直判定定理：
a⊥面?，a?面???⊥?

面面垂直性质：
面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


a⊥面?，b⊥面??a∥b


面?⊥a，面?⊥a??∥?






P
??
O
a
a


O
α b c
a b



??

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

α a


l


β

20
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°


（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0
o
???180
o


（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1C
1
D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；




62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

S
正棱锥侧
?

D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B
1
C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

2
V
锥
?
1
底面积×高

3
2

（4）S
球
?4?R，V
球
?
64. 熟记下列公式了吗？
4
?R
3

3
（1）l直线的倾斜角??
?
0，?
?
，k?tan??
y
2
?y
1
?
?
?
?
??，x
1
?x
2
?

?
x
2
?x
1
?
2
（2）直线方程：
点斜式：y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（k存在）

斜截式：y?kx?b

截距式：
x
?
y
?1

ab

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）


（3）点P< br>?
x
0
，y
0
?
到直线l：Ax?By?C?0的距 离d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

点P
?
x
0
,y
0
?
到直线l:y?kx ?b的距离为d?

kx
0
?y
0
?b
1?k
2

（ 4）两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
，则 两条直线间的距离为：


d?
C
1
?C
2
A?B
22
。

21

两条平行直线
l
1:y?kx?b
1
,l
2
:y?kx?b
2
,则直线l
1
,l
2
之间的距离为d?
b
1
?b
2< br>1?k
2
。
65. 如何判断两直线平行、垂直？
A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2

k
1
?k
2?l
1
∥l
2
（反之不一定成立）

A
1C
2
?A
2
C
1
?
因为两直线平行除了斜率相 等，截距不一样外，还可以是两条直线斜率不存在。

A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2

线斜率不存在）
66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
圆的一般方程为：
x
2?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0 )

圆心的
3
个几何性质：

①
圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

②
圆心在某一条弦的中垂线上；

③
圆心在圆的任一直径上，且为直径的中点。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
（不能反推是因为还有一种情况是，一直线斜率为0，一 直
联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0 ?相离
68. 分清圆锥曲线的定义

y

b

?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2
O
?

第一定义
?

双曲线?PF?PF?2a，2a?2c?FF
?
1212
F
1
F
2
a x
?
?
?
抛物线?PF?PK


PF
c

第二定义：e??
PKa

0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

a
2
x?

c




x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦
长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

22

弦长公式P
1
P
2
?
y
A P
2


焦点弦： 直线过抛物线的焦点F与抛物线交于
P
1
、
P
2
两点，则线 段
P
1
P
2
称为抛物

线的焦点弦，且
P
O F x
1
P
2
?x
1
?x
2
?p
.


通径：与对称轴垂直的焦点弦称为抛物
线
的通径，即右
图
的AB长，则有AB长=2p
P
1
B

通
径是抛物线的所有焦点弦中最短者；
?
1?k
2
??
?
x
1
?x
2
?
2
?4x
1
x
2
?
?
1
?
2
?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
??
以焦点弦为直径的圆与准线相切。
焦半径公式为：
P
2
F?x
0
?
p

2
72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。


如 ：椭圆mx
2
?ny
2
?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中 点连

2m
，则的值为
2n
线的斜率为
答案：
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a， b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）
为A关于点M的对称点。
（由a?
x?x'
，b?
y?y'
?x'?2a?x，y'?2b? y）

22

只要证明A'
?
2a?x，2b?y
?
也在曲线C上，即f(x')?y'

?
AA'⊥l
?
k·k
l
??1

（2）点A、A'关于直线l对称?
?

?
?
AA'

?
AA'中点在l上
?
AA '中点坐标满足l方程
22
?
x?acos?
?
x?rcos?xy
（?为参数）

74.圆x?y?r的参数方程为
?
（?为参数）

椭圆2
?
2
?1的参数方程为
?
y?bsin?
y?rsi n?
ab
?
?
222
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。