浙江专用2021版新高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1第1讲集合及其运算教学案

第一章 集合与常用逻辑用语

知识点

最新考纲
了解集合、元素的含义及其关系．
理解集合的表示法．
集 合

了解集合之间的包含、相等关系．
理解全集、空集、子集的含义．
会求简单集合间的并集、交集．
理解补集的含义并会求补集.
了解原命题和原命题的逆 命题、否命题、逆否命题的含义，及
命题及其关系、充分
条件与必要条件

其相互之间的关系．
理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并
证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
第1讲 集合及其运算


1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合

符号

自然数集

N

正整数集

N(或N
＋
)

*
整数集

Z

有理数集

Q

实数集
R
2.集合间的基本关系
表示
关系

子集

基
本
关
系

相等

真子集

文字语言

集合
A
的所有元素都
是集合
B
的元素

集 合
A
是集合
B
的子
集，且集合
B
中至少
有 一个元素不属于
A
集合
A
，
B
的元素完全
符号语言

记法
x
∈
A
?
x
∈
B
A
?
B
，且存在
x
0
∈
B
，
x
0
?
A
A
?
B
，
A
?
B
或
B
?
A

A
或
B
B

A

A
＝
B


1

相同

不含任何元素的集
空集

合．空集是任何集合
B
?
A
任意
x
，
x
??，??
A
?
A
的子集

3.集合的基本运算

图形
语言

符号
语言

集合的并集

集合的交集

集合的补集

A
∪
B
＝
{
x
|
x
∈
A
，或
x
∈
B
}


A
∩
B
＝
{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}

?
U
A
＝

{
x
|
x
∈
U
，且
x
?
A
}
4.集合的运算性质
(1)并集的性质：
A
∪?＝
A
；
A
∪
A
＝
A
；
A
∪
B
＝
B
∪
A；
A
∪
B
＝
A
?
B
?
A.
(2)交集的性质：
A
∩?＝?；
A
∩
A
＝
A
；
A
∩
B
＝
B
∩
A
；
A
∩
B
＝
A
?
A
?
B
.
(3)补集的性质：
A
∪(?
U
A
)＝
U< br>；
A
∩(?
U
A
)＝?．
(4)?
U(?
U
A
)＝
A
；?
U
(
A
∪
B
)＝(?
U
A
)∩(?
U
B
)； < br>?
U
(
A
∩
B
)＝(?
U
A
)∪(?
U
B
)．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){
x
|
y< br>＝
x
＋1}＝{
y
|
y
＝
x
＋1} ＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋1}．( )
(2)若{
x
，1}＝{0，1}，则
x
＝0，1.( )
(3){
x
|
x
≤1}＝{
t
|
t
≤1}．( )
(4)对于任意两个集合
A
，
B
，(
A
∩
B
)?(
A
∪
B
)恒成立． ( ) < br>(5)若
A
∩
B
＝
A
∩
C
，则B
＝
C
.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
[教材衍化]
1．(必修1P12A组T3改编)若集合
P
＝{
x
∈N|
x
≤2 021}，
a
＝22，则( )
A．
a
∈
P
B．{
a
}∈
P
C．{
a
}?
P
D．
a
?
P

解析：选D.因为
a
＝22不是自然数，而集合
P
是不大于2 021的自然数构成的集合，
所以
a
?
P
.故选D.
2． (必修1P11例9改编)已知
U
＝{
α
|0°<
α
<18 0°}，
A
＝{
x
|
x
是锐角}，
B
＝{
x
|
x
是
2
222

2

钝角}，则?
U
(
A
∪
B
)＝________．
答案：{
x
|
x
是直角}
3．(必修1P44A组T5改 编)已知集合
A
＝{(
x
，
y
)|
x
＋< br>y
＝1}，
B
＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
}，则
A
∩
B
中元素的个数为_______ _．
解析：集合
A
表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合
B< br>表示直线
y
＝
x
，圆
x
＋
y
＝1与 直线
y
＝
x
相交于
两点
?
2
??
22
??
2
，
?
，
?
－，－
?
，则
A
∩
B
中有两个元素．
2
??
22
??
2
2
2
22
答案：2
[易错纠偏]
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合
A
＝{1，3，
m}，
B
＝{1，
m
}，若
B
?
A
，则
m
＝________．
解析：因为
B
?
A
，所 以
m
＝3或
m
＝
m
，即
m
＝3或
m
＝0或
m
＝1，根据集合元素的互异
性可知，
m
≠1，所 以
m
＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合
M
＝{x
|
x
－2＝0}，
N
＝{
x
|
ax
－1＝0}，若
M
∩
N
＝
N
，则实数
a< br>的值是________．
1
解析：易得
M
＝{2}．因为
M
∩
N
＝
N
，所以
N
?
M
，所以
N
＝?或
N
＝
M
，所以
a
＝0或
a
＝.
2
1
答案：0或
2
3．已知集合
A＝{
x
|
x
－4
x
＋3＜0}，
B
＝ {
x
|2＜
x
＜4}，则
A
∩
B
＝___ _____，
A
∪
B
＝
________，(?
R
A
)∪
B
＝________．
解析：由已知得
A
＝{< br>x
|1＜
x
＜3}，
B
＝{
x
|2＜
x
＜4}，所以
A
∩
B
＝{
x
|2＜
x
＜3}，
A
∪
B
＝{
x
|1＜
x
＜4}，
(?
R
A
)∪
B
＝{
x
|x
≤1或
x
＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)


集合的含义
(1)已知 集合
A
＝{0，1，2}，则集合
B
＝{(
x
，
y
)|
x
≥
y
，
x
∈
A
，
y
∈
A
}中元素的个
数是( )
A．1

2
B．3
3

C．6
2
D．9
(2)若集合
A
＝{
x
∈R|
ax
－3
x
＋2＝0}中只有一个元素，则
a
＝( )
9
A．
2
C．0
?
?
9
B．
8
9
D．0或
8
(3)设
a
，
b
∈R，集合{1，
a
＋
b
，
a
}＝
?
0 ，，
b
?
，则
b
－
a
＝________．
?
b
a
?
【解析】 (1)当
x
＝0时，
y
＝0；当
x
＝1时，
y
＝0或
y
＝1；当
x
＝2时，
y
＝0，1，2.
故集合
B
＝{(0，0) ，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，
即集合
B
中有6个元素．
(2)当
a
＝0时，显然成立；
当
a
≠0时，
Δ
＝(－3)－8
a
＝0，
9
即
a
＝.
8
?
b
?
?
(3)因为{1，
a
＋
b
，
a
}＝
0，，
b
?
，
a
≠0，
a
??
2
所以
a
＋
b
＝0，则＝－1，
所以
a
＝－1，
b
＝1.
所以
b
－
a
＝2.
【答案】 (1)C (2)D (3)2

与集合中的元素有关问题的求解步骤
b
a


1．(2020·温州八校联考)已知集合
M
＝{1，
m
＋2，
m
＋4}，且5∈
M
，则
m
的值为( )
A．1或－1
C．－1或3
2
2
B．1或3
D．1，－1或3
2
解析：选B.因为5∈{1，
m
＋2，
m
＋4}，所以
m
＋2＝5或
m
＋4＝5，即
m
＝3或
m
＝±1.
当
m
＝3时，
M
＝{1，5，1 3}；当
m
＝1时，
M
＝{1，3，5}；当
m
＝－1时， 不满足互异性．所
以
m
的值为3或1.

4

3
2．已知集合
A
＝{
x
|
x
∈Z，且∈Z} ，则集合
A
中的元素个数为________．
2－
x
3
解析：因为∈Z，所以2－
x
的取值有－3，－1，1，3，又因为
x
∈Z， 所以
x
的值
2－
x
分别为5，3，1，－1，故集合
A中的元素个数为4.
答案：4

集合的基本关系
( 1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知
A
?
B
，
A
?
C
，
B
＝{2，0，1，8}，
C
＝{1，
9，3 ，8}，则集合
A
可以为( )
A．{1，8} B．{2，3} C．{0} D．{9}
(2)已知集合
A
＝{
x
|－2≤< br>x
≤5}，
B
＝{
x
|
m
＋1≤
x
≤2
m
－1}，若
B
?
A
，则实数
m的取值
范围为________．
【解析】 (1)因为
A
?
B
，
A
?
C
，所以
A
?{
B
∩< br>C
}＝{1，8}，故选A.
(2)因为
B
?
A
，
所以①若
B
＝?，则2
m
－1<
m
＋1，此时m
<2.
2
m
－1≥
m
＋1，
?
?
②若
B
≠?，则
?
m
＋1≥－2，

?
?
2
m
－1≤5.
解得2≤
m
≤3.
由①②可得，符合题意的实数
m
的取值范围为
m
≤3.
【答案】 (1)A (2)(－∞，3]

1．(变条件)在本例(2)中，若
A
?
B
，如何求解？
?
?
m
＋1≤－2，
解：若
A
?
B
，则< br>?

?
2
m
－1≥5，
?
?
?m
≤－3，
即
?

?
m
≥3.
?
所以
m
的取值范围为?.
2．(变条件)若将本例(2)中的集合
A
改为
A
＝{
x
|
x
<－2或
x
>5}，如何求解？
解：因为
B
?
A
，
所以①当
B
＝?时， 即2
m
－1<
m
＋1时，
m
<2，符合题意．
?
?
m
＋1≤2
m
－1，
②当
B
≠?时，< br>?

?
m
＋1>5
?

5

?
?
m
＋1≤2
m
－1，
或
?

?
2
m
－1<－2，
?
?
?
?
m
≥2，
?
解得
?
或
?
1

?m
>4
m
<－.
?
?
?
2
即
m
>4.
综上可知，实数
m
的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

m
≥2，


2
1．设
P
＝{
y
|
y
＝－
x
＋1，
x
∈R}，Q
＝{
y
|
y
＝2，
x
∈R}，则( )
A．
P
?
Q

C．?R
P
?
Q

2
x
B．
Q
?
P

D．
Q
??R
P

x
解析：选C.因为
P
＝{
y
|
y
＝－
x
＋1，
x
∈R }＝{
y
|
y
≤1}，
Q
＝{
y
|
y
＝2，
x
∈R}＝{
y
|
y
>0}，
所以?R
P
＝{
y
|
y
>1}，所以?
R
P
?
Q
，选C.
2．(2020·绍兴调研)设
A
＝{1 ，4，2
x
}，
B
＝{1，
x
}，若
B
?
A
，则
x
＝________．
解析：由
B
?< br>A
，则
x
＝4，或
x
＝2
x
.当
x
＝4时，
x
＝±2；当
x
＝2
x
时，
x< br>＝0或
x
＝
2.但当
x
＝2时，2
x
＝4， 这与集合中元素的互异性相矛盾．故
x
＝－2或
x
＝0.
答案：－2或0
3．已知集合
A
＝{
x
|
x－3
x
＋2＝0，
x
∈R}，
B
＝{
x
|0<
x
<5，
x
∈N}，则满足条件
A
?
C< br>?
B
的集合
C
的个数为________．
解析：由
x
－3
x
＋2＝0，得
x
＝1或
x
＝2，所以< br>A
＝{1，2}．由题意知
B
＝{1，2，3，
4}，
所以 满足条件的
C
可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
答案：4


6
2
2
2222
2

集合的基本运算(高频考点)
集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数 的定义域、值
域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：
(1)求集合间的交、并、补运算；
(2)已知集合的运算结果求参数．
角度一 求集合间的交、并、补运算
(1)(2018·高考浙江卷)已知全集
U
＝{1， 2，3，4，5}，
A
＝{1，3}，则?
U
A
＝( )
A．?
C．{2，4，5}
B．{1，3}
D．{1，2，3，4，5}
(2)(2019·高考浙江卷)已知全集
U
＝{－1，0，1，2，3}，集合
A
＝{0，1，2}，
B
＝{－
1，0，1}，则
(
?
U
A
)
∩
B
＝( )
A．{－1}
C．{－1，2，3}
B．{0，1}
D．{－1，0，1，3}
2
(3)(2020·浙江高 考模拟)设全集
U
＝R，集合
A
＝{
x
|
x
－
x
－2<0}，
B
＝{
x
|1<
x
< 3}，则
A
∪
B
＝________，?
U
(
A< br>∩
B
)＝________．
【解析】 (1)因为
U
＝{1，2，3，4，5}，
A
＝{1，3}，
所以?
U
A
＝{2，4，5}．故选C.
(2)由题意可得?U
A
＝{－1，3}，则(?
U
A
)∩
B
＝{ －1}．故选A.
(3)因为
A
＝{
x
|
x
－< br>x
－2<0}＝{
x
|－1<
x
<2}，
2
B
＝{
x
|1<
x
<3}，
所以A
∪
B
＝{
x
|－1<
x
<3}．
又因为
A
∩
B
＝{
x
|1<
x
<2}，
所以?
U
(
A
∩
B
)＝{
x
|< br>x
≤1或
x
≥2}．
【答案】 (1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)
角度二 已知集合的运算结果求参数
(1)设集合
A
＝{1，2，4}，
B
＝{
x
|
x
－4
x
＋
m
＝0}．若
A
∩
B
＝ {1}，则
B
＝( )
A．{1，－3}
C．{1，3}
B．{1，0}
D．{1，5}
2
(2)(2020·浙江新高考优化卷 )已知
A
＝{
x
|
x
>1}，
B
＝{x
|
x
<
m
}．若
A
∪
B
＝ R，则
m
的值
可以是( )
A．－1
C．1
【解析】 (1)因为
A
∩
B
＝{1}，
所以1∈
B
，

7
B．0
D．2

所以1－4＋
m
＝0，
所以
m
＝3. < br>由
x
－4
x
＋3＝0，解得
x
＝1或
x＝3.
所以
B
＝{1，3}．
经检验符合题意．故选C.
(2)因为
A
∪
B
＝R，
所以
m
>1.
故
m
的值可以是2，故选D.
【答案】 (1)C (2)D

(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
②若集合能一一列举， 则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)
求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

1．已知集合
P
＝ {
x
∈R|1≤
x
≤3}，
Q
＝{
x
∈R |
x
≥4}，则
P
∪(?
R
Q
)＝( )
A．[2，3]
C．[1，2)
B．(－2，3]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
2
2
解析：选B.由于
Q＝{
x
|
x
≤－2或
x
≥2}，
?
R
Q
＝{
x
|－2＜
x
＜2}， 故得
P
∪(?
R
Q
)＝{
x
|－2＜
x
≤3}．故选B.
2．设全集
S
＝{1，2，3，4}，且
A< br>＝{
x
∈
S
|
x
－5
x
＋
m
＝0}，若?
S

A
＝{2，3}，则
m
＝________．
解析：因为
S
＝{1，2，3，4}，?
S
A
＝{2，3}，所以
A
＝ {1，4}，即1，4是方程
x
－5
x
＋
m
＝0的两根，由 根与系数的关系可得
m
＝1×4＝4.
答案：4

核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为 核心，以“探究”为途径，以“发现”为目
的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解， 充分体现了核心素养中的数学
2
2

8

抽象．
对于
E
＝{
a
1
，
a
2
，…，
a
100
}的子集
X
＝{
ai
1
，
ai
2
，…，
ai
k
}，定义
X
的“特征数列”
为
x
1
，
x
2
，…，
x
100< br>，其中
xi
1
＝
xi
2
＝…＝
xi
k
＝1，其余项均为0.例如：子集{
a
2
，
a
3
}的“特
征数列”为0，1，1，0，0，…，0.
(1)子集{
a
1，
a
3
，
a
5
}的“特征数列”的前3项和等于___ _____；
(2)若
E
的子集
P
的“特征数列”
p1
，
p
2
，…，
p
100
满足
p1
＝1，
p
i
＋
p
i
＋1
＝1，1≤
i
≤99，
E
的子集
Q
的“特征数列”
q
1
，
q
2
，…，
q
100
满足
q
1
＝1，
q
j
＋
q
j
＋1
＋
q< br>j
＋2
＝1，1≤
j
≤98，则
P
∩
Q的元素个数为________．
【解析】 (1)由已知可得子集{
a
1，
a
3
，
a
5
}的“特征数列”为1，0，1，0，1 ，0，…，
0，故其前3项和为2.
(2)由已知可得子集
P
为{
a
1
，
a
3
，…，
a
99
}，子集
Q
为{
a
1
，
a
4
，
a
7，…，
a
100
}，则两个子
集的公共元素为
a
1到
a
100
以内项数被6除余1的数对应的项，即
a
1
，
a
7
，…，
a
97
，共17项．
【答案】 (1)2 (2)17

解决集合新定义问题的方法
(1)紧扣新定义．首先分析 新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能
够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定 义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性 质等)是破解新定义型集
合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的 一些因素，
在关键之处用好集合的性质．
31
设数集
M
＝{x
|
m
≤
x
≤
m
＋}，
N
＝ {
x
|
n
－≤
x
≤
n
}，且
M< br>，
N
都是集合
U
43
＝{
x
|0≤
x
≤1}的子集，定义
b
－
a
为集合{
x
|
a
≤
x
≤
b
}的“长度”，则集合
M
∩
N
的长度的最
小值为________．
解析：在数轴上表示出集合
M
与
N
(图略)，
13
可知当
m
＝0且
n
＝1或
n
－＝0且
m
＋＝1时，
M
∩
N
的“长度”最小．
34
23
当
m
＝0且
n
＝1时，
M
∩
N
＝{
x
|≤
x
≤}，
34
321
长度为－＝；
43 12
1111
当
n
＝且
m
＝时，
M
∩N
＝{
x
|≤
x
≤}，
3443
111
长度为－＝.
3412

9

1
综上，
M
∩
N
的长度的最小值为.
12
1
答案：
12

[基础题组练]
1．已知 集合
A
＝{1，2，3，4}，
B
＝{2，4，6，8}，则
A∩
B
中元素的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B.因为集合
A
和集合
B
有共同元素2，4，所以
A
∩
B
＝{2，4}，所以
A
∩
B
中
元素的个数为2.
2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合
A
＝
{
x
|e≤1
}
，
B
＝{
x
|ln
x
≤0
}
，则
A
∪
B
x
＝( )
A．(－∞，1]
C．[1，e]
x
B．(0，1]
D．(0，e]
解析：选A.因为
A
＝
{
x
|e ≤1
}
＝
{
x
|
x
≤0
}
，
B
＝
{
x
|ln
x
≤0
}
＝< br>{
x
|0＜
x
≤1
}
，
所以
A
∪
B
＝(－∞，1]，故选A.
3．(2020· 宁波高考模拟)已知全集
U
＝
A
∪
B
＝{
x
∈Z|0≤
x
≤6}，
A
∩(?
U
B
)＝{1， 3，5}，
则
B
＝( )
A．{2，4，6}
C．{0，2，4，6}
B．{1，3，5}
D．{
x
∈Z|0≤
x
≤6}
解析：选C.因为全集U
＝
A
∪
B
＝{
x
∈Z|0≤
x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，
A
∩(?
U
B
)< br>＝{1，3，5}，所以
B
＝{0，2，4，6}，故选C.
4．设集合A
＝{1，2，6}，
B
＝{2，4}，
C
＝{
x∈R|－1≤
x
≤5}，则(
A
∪
B
)∩
C< br>＝( )
A．{2}
C．{1，2，4，6}
B．{1，2，4}
D．{
x
∈R|－1≤
x
≤5} < br>解析：选B.因为
A
＝{1，2，6}，
B
＝{2，4}，所以
A
∪
B
＝{1，2，4，6}，又
C
＝{
x
∈R |
－1≤
x
≤5}，所以(
A
∪
B
)∩
C
＝{1，2，4}．故选B.
5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集 合
A
＝{
x
|
x
－5
x
－6<0}，B
＝{
x
|2<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{
x
|2<
x
<3}
C．{
x
|0≤
x
<6}
解析：选C.由
x
－5
x
－6<0，

10
2
2
x
B．{
x
|－1<
x
≤0}
D．{
x
|
x
<－1}

解得－1<
x
<6，所以
A
＝{
x
|－1<
x
<6}． < br>由2<1，解得
x
<0，所以
B
＝{
x
|
x
<0}．
又图中阴影部分表示的集合为(?
R
B
)∩
A
，
因为?
R
B
＝{
x
|
x
≥0}，
所以(?
R
B
)∩
A
＝{
x
|0≤
x< br><6}，故选C.
6．已知集合
A
＝{
x
|
x－3
x
<0}，
B
＝{1，
a
}，且
A
∩
B
有4个子集，则实数
a
的取值范围
是( )
A．(0，3)
C．(0，1)
解析：选B.因为
A
∩
B
有4个子集，
所以
A
∩
B
中有2个不同的元素，
所以
a
∈
A
，所以
a
－3
a
<0，
解得0<
a
<3且
a
≠1，
即实数
a
的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.
7．设
U
＝{
x
∈N|
x
＜9}，
A
＝{1，2，3}，
B
＝{3，4，5，6}，则(?
U
A
)∩
B
＝( )
A．{1，2，3}
C．{6，7，8}
B．{4，5，6}
D．{4，5，6，7，8}
*
2
2
x
B．(0，1)∪(1，3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选B.因为
U
＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以?
U
A
＝{4，5，6，7，8}，
所以(?
UA
)∩
B
＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故 选B.
??
b
?
8．设集合
A
＝
5，，
a
－
b
?
，
B
＝{
b
，
a
＋
b
，－1}，若
A
∩
B
＝{2，－1}，则
A
∪
B
＝( )
a
??
A．{－1，2，3，5}
C．{5，－1，2}
B．{－1，2，3}
D．{2，3，5}
bbb
??
?
?
＝2，
?
＝－1，
?
?< br>＝2，
?
a
＝1，
?
解析：选A.由
A
∩< br>B
＝{2，－1}，可得
?
a
或
?
a
当?
a
时，
?
?
b
＝2.
?
?
a
－
b
＝－1
?
?
a
－
b
＝2.
?
?
a
－
b
＝－1
b
?
?
a
＝1，
?
＝－1，
?
此时
B
＝{2，3，－1 }，所以
A
∪
B
＝{－1，2，3，5}；当
?
a
时，
?
此时不符
?
b
＝－1，
?
?
?a
－
b
＝2
合题意，舍去．
9．已知集合
P
＝{
n
|
n
＝2
k
－1，
k
∈N，
k
≤50}，
Q
＝{2，3，5}，则集合
T
＝{
xy< br>|
x
∈
P
，
*
y
∈
Q
}中 元素的个数为( )
A．147
C．130
B．140
D．117

11

解析：选B.由题意得，
y< br>的取值一共有3种情况，当
y
＝2时，
xy
是偶数，不与
y< br>＝3，
y
＝5有相同的元素，当
y
＝3，
x
＝5，1 5，25，…，95时，与
y
＝5，
x
＝3，9，15，…，57
时 有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.
10．(2020· 温州质检)已知全集
U
＝R，集合
A
＝{
x
|
x< br>－3
x
＋2>0}，
B
＝{
x
|
x
－
a
≤0}，
若?
U
B
?
A
，则实数a
的取值范围是( )
A．(－∞，1)
C．[1，＋∞)
2
2
B．(－∞，2]
D．[2，＋∞)
解析：选D.因为x
－3
x
＋2>0，所以
x
>2或
x
<1.
所以
A
＝{
x
|
x
>2或
x
<1 }，因为
B
＝{
x
|
x
≤
a
}，
所以?
U
B
＝{
x
|
x
>
a
} ．
因为?
U
B
?
A
，借助数轴可知
a
≥ 2，故选D.
11．集合
A
＝{0，2，
a
}，
B
＝{1，
a
}，若
A
∪
B
＝{0，1，2，4，16}， 则
a
的值为________．
解析：根据并集的概念，可知{
a
，
a
}＝{4，16}，故只能是
a
＝4.
答案：4
1 2．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集
U
＝R，集合
A
＝{
x
|－1≤
x
≤3}，集合
B
＝
{
x
|l og
2
(
x
－2)<1}，则
A
∪
B
＝_ _______；
A
∩(?
U
B
)＝________．
解析：log
2
(
x
－2)<1?0<
x
－2<2?2<< br>x
<4?
B
＝(2，4)，所以
A
∪
B
＝[ －1，4)，
A
∩(?
U
B
)
＝[－1，2]．
答案：[－1，4) [－1，2]
13．设集合
A
＝{
n
|
n
＝3
k
－1，
k
∈Z}，
B
＝{< br>x
||
x
－1|>3}，则
B
＝________，
A
∩(?
R
B
)＝
________．
解析：当
k
＝－1时，
n
＝－4；当
k
＝0时，
n
＝－1； 当
k
＝1时，
n
＝2；当
k
＝2时，
n
＝ 5.由|
x
－1|>3，得
x
－1>3或
x
－1<－3，即
x
>4或
x
<－2，所以
B
＝{
x
|x
<－2或
x
>4}，?
R
B
＝{
x
|－2≤
x
≤4}，
A
∩(?
R
B
)＝{－1，2 }．
答案：{
x
|
x
<－2或
x
>4} {－1，2}
14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合
M
＝{
x
∈R|
x
－4
x
＋3>0}，
集合
N
＝{
x
∈R|2>4}，则
M
∩
N
＝____ ____；?
R
(
M
∩
N
)＝________．
解析：
M
＝{
x
∈R|
x
－4
x
＋3> 0}＝{
x
|
x
<1或
x
>3}，
N
＝{
x
∈R|2>4}＝{
x
|
x
>2}，所以
M∩
N
＝(3，＋∞)，所以?R(
M
∩
N
)＝(－∞， 3]．
答案：(3，＋∞) (－∞，3]
15．已知集合
M
＝{
x
|
x
－4
x
<0}，
N
＝{
x
|
m
＜
x
＜5}，若
M
∩
N
＝{
x
|3<
x
<
n
}，则
m
＝________，
2
2
2
2
2
x
x
n
＝_____ ___．
解析：由
x
－4
x
<0得0<
x
<4， 所以
M
＝{
x
|0<
x
<4}．又因为
N
＝{
x
|
m
<
x
<5}，
M
∩
N
＝
{
x
|3<
x
<
n
}，所以
m
＝3，
n
＝4.

12
2

答案：3 4
16．设全集
U
＝{
x< br>∈N|
x
≤9}，?
U
(
A
∪
B
) ＝{1，3}，
A
∩(?
U
B
)＝{2，4}，则
B
＝________．
解析：因为全集
U
＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
由?
U
(
A
∪
B
)＝{1，3}，
得
A
∪
B
＝{2，4，5，6，7，8，9}，
由
A
∩(?
U
B
)＝{2，4}知，{2，4}?
A
，{2 ，4}??
U
B
.
所以
B
＝{5，6，7，8，9}．
答案：{5，6，7，8，9}
17．已知集合
A
＝{
x
|1≤
x
<5}，
C
＝{
x
|－
a
<x
≤
a
＋3}，若
C
∩
A
＝
C
，则
a
的取值范围是
________．
解析：因为
C
∩
A
＝
C
，所以
C
?
A
.
3< br>①当
C
＝?时，满足
C
?
A
，此时－
a≥
a
＋3，得
a
≤－；
2
－
a
<< br>a
＋3，
?
?
②当
C
≠?时，要使
C
?
A
，则
?
－
a
≥1，

?
?
a
＋3<5，
3
解得－<
a
≤－1.
2
综上，可得
a
的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
[综合题组练]
1．(2020·金华东阳二中高三调研) 已知全集
U
为R，集合
A
＝{
x
|
x
<1 6}，
B
＝{
x
|
y
＝log
3
(
x
－4)}，则下列关系正确的是( )
A．
A
∪
B
＝R
C．(?
U
A
)∪
B
＝R
B．
A
∪(?
U
B
)＝R
D．
A
∩(?
U
B
)＝
A

2< br>*
解析：选D.因为
A
＝{
x
|－4<
x
< 4}，
B
＝{
x
|
x
>4}，
所以?
U
B
＝{
x
|
x
≤4}，所以
A
∩(?U
B
)＝
A
，故选D.
2．集合
A
＝{x
|
y
＝ln(1－
x
)}，
B
＝{
x
|
x
－2
x
－3≤0}，全集
U
＝
A< br>∪
B
，则?
U
(
A
∩
B
)＝( )
A．{
x
|
x
＜－1或
x
≥1}
C．{
x
|
x
≤－1或
x
＞1}
B．{
x
|1≤
x
≤3或
x
＜－1}
D．{
x
|1＜
x
≤3或
x
≤－1}
2
2
解析：选B.集合
A
＝{
x
|
y
＝ln (1－
x
)}＝{
x
|1－
x
＞0}＝{
x
|
x
＜1}，
B
＝{
x
|
x
－2
x
－3≤0}
＝{
x
|(
x
＋1)(
x
－3)≤0}＝{
x
|－1≤
x
≤3}，所以
U
＝
A
∪
B
＝{
x
|
x
≤3}，
所以
A
∩
B
＝{
x
|－1≤
x
＜1}；
所 以?
U
(
A
∩
B
)＝{
x
|1≤
x
≤3或
x
＜－1}．
故选B.

13

3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合
A
＝{1，2，
m
}，
B
＝{1，
m
}，若
B
?
A
，则< br>m
＝________，?
A
B
＝________．
解析 ：由题意，当
m
＝2时，
A
＝{1，2，2}，
B
＝{1， 2}，满足
B
?
A
；当
m
＝
m
，即
m
＝0或1时，若
m
＝0，则
A
＝{1，2，0}，
B< br>＝{1，0}，满足
B
?
A
.若
m
＝1，则
A
＝{1，3，1}，
B
＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以
m
＝1舍去．当
m
＝2时，?
A
B
＝{2}；当
m< br>＝0时，?
A
B
＝{2}．
答案：0或2 {2}或{2}
4．函数
g
(
x
)＝
?
?
?
x
，
x
∈
P
，
?
?
－
x
，
x
∈
M
，
其中
P
，
M
为实数集R的两个非 空子集，规定
f
(
P
)＝{
y
|
y
＝g
(
x
)，
x
∈
P
}，
f
(
M
)＝{
y
|
y
＝
g
(
x
)，
x
∈
M
}．给出下列四个命题：
①若
P
∩
M
＝?，则
f
(
P
)∩
f
(
M< br>)＝?；
②若
P
∩
M
≠?，则
f
(
P
)∩
f
(
M
)≠?；
③若
P
∪M
＝R，则
f
(
P
)∪
f
(
M
)＝R；
④若
P
∪
M
≠R，则
f
(
P
)∪
f
(
M
)≠R.
其中命题不正确的有________．
解析：①若
P
＝{1}，
M
＝{－1}，则
f
(
P
)＝{1}，
f
(
M
)＝{1}，则
f
(
P
)∩
f
(
M< br>)≠?，故①
错．
②若
P
＝{1，2}，
M
＝{1 }，则
f
(
P
)＝{1，2}，
f
(
M
) ＝{－1}，则
f
(
P
)∩
f
(
M
)＝? .故②错．
③若
P
＝{非负实数}，
M
＝{负实数}，
则
f
(
P
)＝{非负实数}，
f
(
M
)＝ {正实数}，
则
f
(
P
)∪
f
(
M)≠R，故③错．
④若
P
＝{非负实数}，
M
＝{正实数}，
则
f
(
P
)＝{非负实数}，
f
(
M)＝{负实数}，
则
f
(
P
)∪
f
(
M
)＝R，故④错．
答案：①②③④
?
1
x
?
2
5．设[
x
]表示不大于
x
的最大整数，集合
A
＝{
x
|
x
－2[
x
]＝3}，
B
＝< br>?
x
|<2<8
?
，求
A
∩
B
.
?
8
?
1
x
解：不等式<2<8的解为－3<
x< br><3，
8
所以
B
＝(－3，3)．
?
x
－2[
x
]＝3
?
若
x
∈
A
∩
B
，则
?
，
?
－3<
x
<3
?
2
所以[
x
]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.
若[
x< br>]≤－2，则
x
＝3＋2[
x
]<0，没有实数解；若[
x< br>]＝－1，则
x
＝1，得
x
＝－1；
22

14

若[
x
]＝0，则
x
2
＝3 ，没有符合条件的解；
若[
x
]＝1，则
x
2
＝5，没有符合条件的解；
若[
x
]＝2，则
x
2
＝7，有一个符合条件的解，
x< br>＝7.
因此，
A
∩
B
＝
{
－1，7
}
.
6．已知集合
A
＝{
x
|1<
x
<3}，集合B
＝{
x
|2
m
<
x
<1－
m
}．
(1)当
m
＝－1时，求
A
∪
B
；
(2)若
A
?
B
，求实数
m
的取值范围；
(3)若
A
∩
B
＝?，求实数
m
的取值范围． < br>解：(1)当
m
＝－1时，
B
＝{
x
|－2<
x
<2}，
则
A
∪
B
＝{
x
|－2<
x
<3}．
?
1－
m
>2
m
，
(2)由
A
?
B
知
?
?
2
m
≤1 ，

?
?
1－
m
≥3，
得
m
≤－ 2，即实数
m
的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由
A
∩
B
＝?，得
①若2
m
≥1 －
m
，即
m
≥
1
3
时，
B
＝?， 符合题意；
?
11
②若2
m
<1－
m
，即
m
<
1
?
m
<，
?
?
m
<，< br>3
时，需
?
3
或
?
3

?
?
1－
m
≤1
?
?
2
m
≥3，
得 0≤
m
<
1
3
或?，即0≤
m
<
1
3
.
综上知
m
≥0，即实数
m
的取值范围为[0，＋∞)．






15