2020届浙江新高考数学核心考点 基本不等式

2020
届浙江新高考数学核心考点


2020届浙江高考数学复习备考建议
一、2020届浙江高考数学继续坚持以习近平新时代 中国特色社会主义思想为指引，坚持“一体四层四
翼”的命题指导思想，注重顶层设计，明确“立德树人 、服务选才、引导教学”这一高考核心功能；明确
“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考 查内容以及“基础性、综合性、应用性、创新性”
四个方面的考查要求，强化对空间想象能力、抽象概括 能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能
力、应用意识和创新意识的全面考查。
二、 回归课本．课本是根基，在进行复习时，要回归课本，发挥课本例题或习题的作用，注重基础，
抓牢基础 ，充分利用课本弄清问题的来龙去脉，对知识追根溯源。
三、把握复习重心，不忽略边缘线知识．在 复习过程中应在核心考点函数与导数、三角函数、解三角
形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、 选考内容等主干知识上花主要精力，同时，不要忽略一些
边缘性的知识。
四、命题者依然坚 守“重视通性通法，淡化技巧”。因此高考数学备考不宜过难过偏，要多从归纳解题
通法的角度去进行教 学备考。
五、重视数学思想方法的指引。数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认 识，它蕴
涵于具体的内容与方法之中，又经过提炼与概括，成为理性认识，它直接支配数学教学的实践活 动，数学
概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体 现与应用。
数学思想方法是数学学科的精髓和灵魂，常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分 类讨论思想、
转化（化归）思想等。
六、从近几年高考数学评卷情况来看，大部分考生对基础 知识、基本技能掌握较好，文、理平均分比
较稳定。存在主要问题有：数学语言的表述不严谨，数学方法 与数学思想的运用不够灵活，使用数学知识
解决实际问题的能力较薄弱，如2018年浙江卷理科20题 ，很多考生不能从实际问题的背景材料中提取有
效的数据信息．因此，在教学过程中要高度重视独立思考 、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键
能力的培养，特别重视运用数学方法解决实际问题的教学 。
七、不要盲目追求题量，而应注重引导学生经历数学知识的发生过程，以及问题的发现、提出、分 析
和解决的全过程，充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性与创新性。 < br>八、要充分利用高三的各种形式的考试和练习，优化答题策略、思考答题技巧，培养好的答题习惯和
书写习惯。

1．掌握基本不等式
2．掌握基本不等式的应用.
.

一、基本不等式

1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
a?0,b?0
.
（2）等号成立的条件，当且仅当
a?b
时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设
a?0,b?0
，则a、b的算术平均数为
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）如 果积xy是定值P，那么当且仅当
x?y
时，x＋y有最小值是
2P
.(简记 ：积定和最小)
a?b
，几何平均数为
ab
，基本不等式可叙述为：两个正 数
2
P
2
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当
x?y
时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4
4．常用结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）


（6）

（7）
二、基本不等式在实际中的应用

1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及
b?0)
等．
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．

考向一

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式 条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变
形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分 式”的和，再根据分式中分母的情
况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不 等式，再组与组之间应用基本
不等式得出最值．
③配——配式配系数
有时为了挖掘 出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式
相乘后 可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用 基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.
注：若可用基 本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.

典例1 若正数a，b满足
A．1
C．9
【答案】B
1119
的最小值为
??1
，则
?
aba?1b?1
B．6
D．16

【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：
一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得，
若忽略了某个条件，就会出现错误．

1
．已知 实数
x>0
，
y>0
，
x+4y=2
2
，若
A
．
1
C
．
2
2
．（
1
）已知
x?


(m>0)
的最小值为
1
，则
m=
B
．
2

D
．
2
2

的最大值；

5
，求函数
4
*
19
（2
）已知
x,y?R
(
正实数集
)
，且
??1
，求
x?y
的最小值．

xy
考向二

基本不等式的实际应用

有关函数最值的实际问题的解题技巧：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 学……&科网
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.

典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新 平台，
1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级 ，部分地区达
到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备 ，已知这台设备
维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（
修和消耗费用为，即 (设备单价
是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维
设备使用的年数． 设备维修和消耗费用）
（1）求关于的函数关系式；
（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．
【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，
因此年平均维修和消耗费用为.

【名师点睛】利用基本 不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过
相关的关系建立关系式 .在解题过程中尽量向模型

上靠拢.
3．要制作一个体积为
9m
3
，高为
1m
的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造< br>价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？
考向三 基本不等式的综合应用
基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形 式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方
程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下 几种命题方式：

（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将 所给不等式(或式子)变形，然
后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
（
3
）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围
.

典例3 下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．

【答案】C

【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系 及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判
断、比较代数式的大小等.一般地，结合所 给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式
和根式相互转化)，使其中的不等关系 明晰即可解决问题.

4
．设正实数
x,y
满足
x ?
1
,y?1
,
不等式
2
恒成立
,
则m
的最大值为

A
．
22

C
．
8


B
．
42

D
．
16

典例4 设正项等差数列
?
an
?
的前
n
项和为
S
n
，若，则
14
?
的最小值为______．
a
4
a
2014
【答案】
3

2
，所以
即.
【解析】因为
则
所以
当且仅当时取等号.
.

故答案为：
3
.
2
【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法： 一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然
后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条 件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式
子，然后利用基本不等式求解最值．

5
．在
△ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，若
b=2
，
△ABC
面积的最大值为
3
，则角
B
的值为

2π

3
π
C
．

6
A
．


π

3
π
D
．

4
B
．


1．函数
A．
?
取得最小值时，
x
的值为
1

2
B．
1

2
C．1
2
．若实数
a,b,d,e
满足
3≤a≤b≤d≤e≤12
，则
A
．
2
C
．
1


D．2
ad
?
的最小值是

be
B
．
2

D
．
2

2
3．
A．
（）的最大值为
B．
9

2
32

2
C． D．
4
．已知
x,y,z
为正实数，则的最大值为

A．
23

5
2

2
B．
4

5
2

3
C．D．
5
．若实数
x,y,z
满足
2
x
+2
y< br>=2
x
+
y
,2
x
+2
y
+2z
=2
x
+
y
+
z
,
则
z< br>的最大值为

A
．
2-log
2
3
C
．


B
．
2+log
2
3
D
．
log
2
3
4

3
6．若正实数a，b满足
a?b?1
，则
A．
11
?
有最大值4
ab
1

4
B．
a?b
有最大值
C．ab有最小值D．
a
2
?b
2
有最小值
2

2
7
．高三学生在 新的学期里
,
刚刚搬入新教室
,
随着楼层的升高
,
上下楼耗 费的精力增多
,
因此不满意度升高
,
当教
室在第层楼时
,< br>上下楼造成的不满意度为
,
但高处空气清新
,
嘈杂音较小
,< br>环境较为安静
,
因此随教室所在
楼层升高
,
环境不满意度降低
,
设教室在第层楼时
,
环境不满意度为
,
则同学们认为最适 宜的教室应在楼

A
．

C
．



B
．

D
．

8
．若关于x
的方程
9
x
+(4+a)·3
x
+4=0
有 解
,
则实数
a
的取值范围是

A
．
(-∞,-8]
∪
[0,+∞)
C
．
[-8,4)
9．若对任意正数x，不等式
A．1
B
．
(-∞,-4)
D
．
(-∞,-8]
1a
恒成立，则实数
a
的最小值为
?
x
2
?1x
B．
2

C．
2

2
D．
1

2
10．已知
x?1
，
y?1
，且
log
2
x
，
A．最小值
2

C．最大值
2





1
，
log
2
y
成等比数列，则
xy
有
4






B．最小值
2

D．最大值
2

11．如图，在
△ABC
中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为

A．
C．
12．已知正实数
A．2
C．
13．函数
最小值为
A．13
C．16
B．14
D．12
满足当
B．
D．
取最小值时，
B．
D．
的图象恒过定点，若定点在直线 上，则的
的最大值为
14．已知满足，的最大值为，若正数
B．
D．
满足，则的最小值为
A．9
C．
15
．当
x>0
时，的最大值为
. < br>16
．已知函数
==,
当
g
?
x
?
时
,
函数的最小值为
.
f
?
x
?
17
．设
x
∈
(0,
π
),
当
2
，且
取最小值时
,x= .
18．已 知，则
xy
的最大值是________，
12
?
的最小值是___ _____.
xy
19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可 获得的总利润y(单位：万元)与机

器运转时间x(单位：年)的关系为
年平均利润最大，最大值是________万元．
20．已知，则
，则当每台机器运转 年时，
21
的最小值为__________．
?
a?1b?1
2 1
．若正项等比数列
{a
n
}
满足
(a
6
+a
5
+a
4
)-(a
3
+a
2
+a1
)=49,
则
a
9
+a
8
+a
7< br>的最小值为

.
22
．设
x>0,y>0,
且
(x-
1
2
16y
1
1
)=,
则当< br>x+
取最小值时
, x
2
+
2
=

.
y
yy
x
23
．在
△ABC
中，a,b,c
分别是内角
A,B,C
的对边，若
bcos C+ccos B=6-b
，且
csin A=
3
acos C
，则
△ABC
面积的最大值为
.
24
．已知
(x-
2
1
2
)+(y-)
2
=4,
则< br>x
2
?y
2
的最大值为

.
y< br>x
25
．已知实数
a,b
满足
a
2
+2ab +4b
2
=4,
则
a+2b
的取值范围为

.
26
．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为
8 0
万元，维持系统正常运行的费用包括
保养费和维修费两部分
.
每年的保养费 用为
1
万元
.
该系统的维修费为：第一年
1.2
万元，第二 年
1.6
万
元，第三年
2
万元，
…
，依等差数列逐 年递增
.
(1)
求该系统使用
n
年的总费用
(
包 括购买设备的费用
)
；

(2)
求该系统使用多少年报废最合算(
即该系统使用多少年平均费用最少
).







27
．已知函数
(1)
若
(2)
当


,
求当
).
时函数的最小值
;
时
,
函数有最大值
-3,
求实数的值
.

28
．
(1)
设
x,y
是正实数
,
且
2 x+y=4,
求
lg x+lg y
的最大值
.
(2)
若 实数
a,b
满足
ab-4a-b+1=0(a>1),
求
(a+1) (b+2)
的最小值
.












29．已知在
△ABC中，，，分别为角，，所对的边长，且
（1）求角的值；
（2）若






，求的取值范围．
．

30
．已知实数
x,y
满足
4x+y-4=0.
(1)< br>求满足不等式
|2x|+3>|7-y|
的
x
的取值范围
;
(2)
若
x>0,y>0,
不等式










≥a
恒成立
,
求
a
的取值范围
.
1．（2017山东理科）若
a?b?0
，且
ab?1
，则下列不等式成 立的是
A． B．
C． D．
2．（2015陕西理科）设，若，，，

则下列关系式中正确的是
A．
q?r?p

C．
p?r?q

B．
q?r?p

D．
p?r?q

3．（20 17山东文科）若直线
4．（2018天津理科）已知
a,b?R
，且
过点< br>(1,2)
,则2a+b的最小值为___________．
，则
2?
a
1
的最小值为 .
b
8
5．（2015重庆文科）设
6．（2015天津文科）已知
,则的最 大值为___________．
则当a的值为___________时，取得最大值.
7
．（
2017
江苏）某公司一年购买某种货物
600
吨，每次购买
x
吨，运费为
6
万元

次，一年的总存储费用为
4x
万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x
的值是
_______ ____
．

8．（2018江苏）在
△ABC
中，角
A, B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
D，且
BD?1
，则< br>4a?c
的最小值为___________．
，
?ABC
的平分线交
AC
于点

变式拓展
1
．【答案】
C
【解析】∵
x+4y=2
2
，< br>x+4y=(x+1)+
[(x+1)+

4444
(my+1)-( 1+)
，∴
(x+1)+(my+1)=2
2
+(1+)>0
，由< br>mmmm
·
4
(my+1)](
m
)=1+
my?1 4
4
≥1+
+2(
当且仅当
x?1m
m
m(x+1 )
2
=4(my+1)
2
时取等号
)
，得
≥.根据题意
,
知
=1,
得
m=2.
2
．【解析 】（
1
）
x?
5
，
?4x?5?0
，故
5 ?4x?0
,
4

3．【解析】设该长方 体的容器长为
xm
，则宽为
9
m
，又设该容器的造价为
y< br>元，
x
则，
因为
所以
y
min
?250
．
（当且仅当
x?
9
即
x?3
时取“=”），
x
答：该容器长为3米时，容器的总造价最低，为250元．
4
．【答案】
C

5
．【答案】
B
22
【解析】由余弦定理得
4=a+c-2accos B≥2ac-2accos B=2ac(1-cos B)
，当且仅当
a=c
时取等号，

所以
ac≤
2
，
1?cosB
π
.
故选
B．

3
，即
1
tan
B
2
?3
，

所以
B
为
考点冲关
1．【答案】B

【解析】
当且仅当
x?
2
．【答案】
C
【解析】因为
a≥3,e≤12,b≤d
，所以
，
11
时取等号,此时
x?
，故选B.
4x2
ad3d3d
3
=1
，当且仅当
a=3,e=12,b=d=6
时等号
?
≥
?
≥
?
≥2
beb12d12
12
成立 ，故
ad
?
的最小值为
1.
故选
C
．

be
3．【答案】B
【解析】∵，∴，
∴
∴（
，当且仅当
）的最大值为．故选B．
，即时等号成立，

4
．【答案】
C

【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基< br>本不等式求最值.
5
．【答案】
A


x
+
yxyx
+
yxyzx
+
y
+
z
,所【解析】因为
2=2+2
≥2
2
x
?2
y
= 2
2
x?y
(
当且仅当
x=y
时取等号
)
，所以
2
≥4.
又
2
+2+2=2
14
2
x?y
2,
所以
2=
x?y
=1+
x?y
,
由
2
x
+
y
≥4
得
2
z
的最大 值为
,
从而
z
的最大值为
2-log
2
3 . < br>以
2+2=2·
2?13
2?1
x
+
yzx
+
yzz
6．【答案】B
【解析】∵正实数a，b满足
a?b?1
，∴
当
a?b?
,当且仅
1
时取等号.故
2
有最小 值4，故A不正确；
由于
由基本不等式可得a+b=1?2,∴
ab?
,∴ ?,故有最大值，故B正确；
1
1
,故ab有最大值，故C不正确；
4
4
,故有最小值∵
故选B.
7
．【答案】
B
【解析】由题意知同学们总的不满意度
当且仅当
,
即时
,
不 满意度最小
,
1
，故D不正确.
2
,
则同学们认为最 适宜的教室应在
3
楼
,
故选
B
．

8
．【答案】
D
4
9
x
?4
x
x
3+4=0
得
4+a=
?
=-(3+) ≤=-4,
即
a≤-8,
【解析】由
9+(4+a)·
?23?< br>x
x
3
3
xx
当且仅当
3=2
时等号成立< br>.
9．【答案】D
【解析】由题意可得
a?
x
x
恒成立．
2
x?1
由于（当且仅当
x?1
时取等号），故
x1
的最大值为，
x
2
?12
?a?
11
，即
a
的最小值为，故选D ．
22
10．【答案】A

11．【答案】D
【解析】易知x
，
y均为正，设
共线，，
，
则，
，
，
当且仅当
y4x
?
，即
xy
时等号成立.

则的最小值为，故选D．
12．【答案】C

13．【答案】D
【解析】
函数
时，函数
的图象恒过定点
的值恒为，
，
又点在直线上，，
又
当且仅当
则
时取“=”，
，故选D．
，
的最小值为
14．【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示：

15
．【答案】
1
【解析】∵
x>0
，∴，

当且仅当
x?
16．【答案】
1
，即
x=1
时取等号．

x
< br>=
3?1
(
当且仅当
g
?
x
?
3x
2
?2x?1
==
【解析】由题意可得
f
?
x?
2x
即
x?
3x1
,
?
22x
3
时取等号
).
3
17
．【答案】
π

6
π
),
∴
cos x>0,
∴
2
=【解析】∵
x
∈
(0,
3
+4cos x≥
cosx
=4
，当且仅当
3
π
=4cos x
，即
x=
时等号成立
.
cosx6
9
18．【答案】2
4

19
．【答案】
5

8

【解析】每台机器运转
x
年的年平均利润为，

而
x>0
，故
当且仅当
x=5
时等号成立，

，

此时年平均利润最大，最大值为
8
万元．

20．【答案】
9

8
21
?
a?1b?1
【解析】
，
当且仅当
21
．【答案】
196
时取等号.
33
【解析】设正项等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，则
(q-1)(a
3
+a
2
+a
1
)=49
，显然
q-1>0
，所以
a
3
+a
2
+a
1=
49
，

3
q?1
=49[(q
3
-1)+
q
3
=2
时等号成立，故
a
9
+a
8
+a
7
的最小值为
196.
22
．【答案】
12
【解析】∵
x>0,y>0,
∴当< br>x+
11
3
+2]≥49×4=196q
-1=
，当且仅当< br>，即
33
q?1q?1
11
2
1
22
12x
1
16y
,
又
(x-)
2
=,
取最小值时
,(x+)
取得最小值
,
∵
(x+)=x+
2
+< br>yy
yyyy
x
12x
16y
1
2
4x16y
1
4x
16y
4x16y
+,
∴
(x+ )=+
≥2
,
即
x=2y
时
·
=16,
∴
x+
≥4,
当且仅当
=
∴
x+
2
=
yyyy
yy
xxx
yx
2
取等号
,
∴当
x+
1
12x12?2y1
2
=16,
∴
x
2< br>+
2
+=16,
∴
x
2
+
2
=16 -4=12.
取最小值时
,x=2y,x+
2
+
yyyyy
y

23
．【答案】
93

4

24
．【答案】
3
【解析】由
(x-
2
141
2
)+(y-)
2
=4,
得
x
2
+ y
2
+
2
?
2
=10,
xy
y
x
1414
y
2
4x
2
y
2
4x
2
22222222
即
2
?
2
=10-(x+y)
，则
(x+y)[10-(x+y)]=(x+y)(
2
?
2
)=5 +
2
?
2
≥9
，当且仅当
2
?
2
时
xyxy
xyxy
等号成立
.
222
令
x+y =t
，得
t-10t+9≤0
，解得
1≤t≤9
，所以
1≤
x
2
?y
2
≤3
，即
x
2
?y< br>2
的最大值为
3.
25
．【答案】
[-
4343
,]
33
a?2b
2
a?2b
2
a?2b
2
)-2ab=()
≥0,
所以
2ab≤(
),
当且仅当
a=2b
时取等号
.
因
222
222222
a?2b
2
),
所以为a+2ab+4b=4,
所以
4=a+2ab+4b=(a+2b)-2ab≥(a+2b )-(
2
【解析】因为
a,b
∈
R
,
所以
(
3(a?2b)
2
43434343
≤4,-≤a+2b≤
,当且仅当
a=2b
时取等号
,
故
a+2b
的取值范围为
[-,].
4
3333
26
．【解析】
(1)
设 该系统使用
n
年的总费用为
的维修费为
则
(2)
设该系统使 用的年平均费用为



依题意，每年的维修费成以为公差的等差数列，则年
则
,

当且仅当即时等号成立
.
故该系统使用
20
年报废最合算
.
27
．【解析】
(1)
时
,.

28
． 【解析】
(1)
因为
x>0,y>0,
所以由基本不等式得
因为2x+y=4,
所以
≥,
学……
&
科网

≤2,
所以
xy≤2,
当且仅当
2x=y
时
,
等号 成立
,
?
2x?y?4
?
x?1
?
?
,
解得
?
y?2
,
由
?
2x?y

29．【解析】（1）依题意由正弦定理可得：
则
.
又．
.
.
，
（2）由余弦定理知：
（当且仅当
，
又
故
，
的取值范围是．
时成立），
30
．【解析】
(1)
由已知
,y=4-4x,
则不等式
|2x|+3>|7-y|
可化为
|2x|+3>|3+4x|,

直通高考
1．【答案】B
【解析】因为
a?b?0
，且
ab?1
，所以


，所以选
B.
2．【答案】C
【解析】，，，
函数
f(x)?lnx
在
?
0,??
?
上单调递增，
因为，所以，

所以
q?p?r
，故选C．
3．【答案】
8


【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应 用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正
数,“二定”是指应用基本不等式求最值 时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不
等式求最值时,要根据式子的特 征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．
4．【答案】
【解析】由可知，且，
因为对于任意x，
当且仅当
恒成立，结合基本不等式 的结论可得：
，即时等号成立.
.
综上可得的最小值为.
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：

①
②< br>a,b?R
?
，
，当且仅当
a?b
时取等号；
，当且仅当
a?b
时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条
件，同 时求最值时注意
“1
的妙用
”
．

5．【答案】
32

【解析】由
22
两边同时加上
a?b
，得，两边再同时开方即得：
（
a?0,b?0
且当且仅当
a ?b
时取“=”），
从而有（当且仅当
a?1?b?3
,即时，

“=”成立），故填
32
.
6．【答案】4

7
．【答案】
30
【解析】总费用为，

当且仅当
x?
900
，即
x?30
时等号成立．

x
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本 不等式中“正”(即
条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取 得的条件)的条件才能应用，否
则会出现错误．
8．【答案】9
【解析】由题意可知，,
由角平分线性质和三角形面积公式得
化简得，
，
因此
当且仅当



时取等号，则的最小值为.