浙江省高考数学试卷(理科)

2014年浙江省高考数学试卷（理科）


一、选择题（每小题5分，共50分）
2
1．（5分）（2014?浙江）设全集U ={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x≥5}，则?
U
A=（ ）

A．
?
B．
{2}
C．
{5}
D． {2，5}

2．（5分）（2014?浙江）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a= b=1”是“（a+bi）=2i”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．（5分）（2014?浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
（ ）
2

A．
90cm
B．
129cm
C．
132cm
2

D．
138cm
2


4．（5分）（2014?浙江）为了得到函数 y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图
象（ ）

A． B．
向右平移个单位 向左平移个单位

C．
< br>5．（5分）（2014?浙江）在（1+x）（1+y）的展开式中，记xy项的系数为f（m，n），
则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）

A．
45
B．
60
C．
120
D．
210

6．（5分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x+ax+bx+c，其0＜f（﹣ 1）=f（﹣2）=f（﹣3）
≤3，则（ ）

A．
c≤3
B． 3＜c≤6 C． 6＜c≤9 D． c＞9

7．（5分）（2014 ?浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x（x≥0），g（x）=log
a
x的图象可能是（ ）
a
32
64mn
22

向右平移个单位
D．
向左平移个单位

A． B． C． D．

8．（5分）（2014?浙江）记max{x，y}=
平面向量，则（ ）

A．
min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}

C．
max{|+|，|﹣|}≤||+||
2222
，min{x，y}=，设，为
B．
D．
min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}
max{|+|，|﹣|}≥||+||
2222

9．（5分）（2014?浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒 中有m个红球和n个蓝球（m≥3，
n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ
i
（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p
i
（i=1，2）．
则（ ）

A．
p
1
＞p
2
，E （ξ
1
）＜E（ξ
2
）
B．
p
1
＜p
2
，E（ξ
1
）＞E（ξ
2
）

C．
p
1
＞p
2
，E（ξ
1
）＞E（ξ
2）
D．
p
1
＜p
2
，E（ξ
1
） ＜E（ξ
2
）

10．（5分）（2014?浙江）设函数f
1
（x）=x，f
2
（x）=2（x﹣x），
22
，
，i=0 ，1，2，…，99．记I
k
=|f
k
（a
1
）﹣f
k
（a
0
）|+|f
k
（a
2
）﹣f
k
（a
1
）丨+…+|f
k
（a
99
）
﹣f
k
（a
98
）|，k=1，2，3，则（ ）

A．
I
1
＜I
2
＜I
3

B．
I
2
＜I
1
＜I
3

C．
I
1
＜I
3
＜I
2

D．
I
3
＜I
2
＜I
1



二、填空题
11．（4分）（2014?浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该 程序运算后输出的结
果是 ．

12．（4 分）（2014?浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D
（ξ ）= ．

13．（4分）（2014?浙江）当实数x，y满足时，1≤ax +y≤4恒成立，则实数a
的取值范围是 ．

14．（4分）（20 14?浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8
张奖券分配给4个人，每人 2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）．

15．（4分）（2014?浙江）设函数f（x）=
取值范围是 ．

，若f（f（a））≤2，则实数a的

16．（4分）（2014?浙江）设直 线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）
的两条渐近线分别交于点A，B．若点 P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率
是 ．

17．（4分）（2014?浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训
练 ．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄
准目标点P，需 计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，
则tanθ 的最大值是 ．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）



三、解答题
18．（14分）（2014?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c．已知a≠b，
22
c=，cosA﹣cosB=sinAcosA﹣sinB cosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

19．（14分）（2014?浙江）已知数列{a
n
}和{b
n
} 满足a
1
a
2
a
3
…a
n
=
为等 比数列，且a
1
=2，b
3
=6+b
2
．
（Ⅰ）求a
n
和b
n
；
（Ⅱ）设c
n
= （n∈N）．记数列{c
n
}的前n项和为S
n
．
*
（n∈N）．若{a
n
}
*
（i）求S
n
；
*
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N均有S
k
≥S
n
．
< br>20．（15分）（2014?浙江）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．

21．（15分）（2014?浙江）如图，设椭圆C：（a＞ b＞0），动直线l与椭圆C只
有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l< br>1
与l垂直，证明：点P到直线l
1
的距离的最大值为a﹣b．


22．（14分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x+3|x﹣a|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（ a）；
（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．


2
3

2014年浙江省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题（每小题5分，共50分）
1．（5分）（2014?浙江）设全集U={x∈N |x≥2}，集合A={x∈N|x≥5}，则?
U
A=（ ）

A．
?
B．
{2}
C．
{5}
D． {2，5}

考补集及其运算．
点：
专集合．
题：
分
先化简集合A，结合全集，求得?
U
A．
析：
2解
解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x≥5}={x∈N|x≥3}，
答：
则?
U
A={2}，
故选：B．
点本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．
评：

2
2．（5分）（2014?浙江）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+b i）=2i”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考
点：
专
题：
分
析：
解
答：
复数相等的充要条件；充要条件．
2
简易逻辑．
利用复数的运算性质，分 别判断“a=b=1”?“（a+bi）=2i”与“a=b=1”?“（a+bi）=2i”
的真假， 进而根据充要条件的定义得到结论．
22
解：当“a=b=1”时，“（a+bi）=（1+i）=2i”成立，
2
故“a=b=1”是“（a+bi）=2i”的充分条件；
222
当“（ a+bi）=a﹣b+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，
2
故“a=b=1”是“（a+bi）=2i”的不必要条件；
2
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）=2i”的充分不必要条件；
故选A
本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．
22
点
评：

3．（5分）（2014?浙江）某几何体的三视 图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
（ ）

A．
90cm
B．
129cm
C．
132cm
2

D．
138cm
2


考由三视图求面积、体积．
点：
专立体几何．
题：
分几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的
析： 形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公
式计算．
解解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，
答： 其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，
四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，
22

∴几何 体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）
×3=48+1 8+9+24+12+27=138（cm）．
故选：D．
点本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应
评： 的几何量是解题的关键．

4．（5分）（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x +cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图
象（ ）

A． B．
向右平移个单位 向左平移个单位

C．

考
点：
专
题：
分
析：
解
答：
向右平移个单位
D．
向左平移个单位
2
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
三角函数的图像与性质．
利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的 形式，然后利用
平移原则判断选项即可．
解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将 函数y=cos3x的图象向

右平移个单位，得到y==的图象．
点
评：

故选：C．
本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．
5．（5 分）（2014?浙江）在（1+x）（1+y）的展开式中，记xy项的系数为f（m，n），
则f（ 3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）

A．
45
B．
60
C．
120
D．
210

考二项式定理的应用．
点：
专二项式定理．
题：
30211203
分
由题意依次求出xy，xy，xy，xy，项的系数，求和即可．
析：
6430
解
解：（1+x）（1+y）的展开式中，含xy的系数是： =20．f（3，0）=20；
答：
64mn
含xy的系数是
含xy的系 数是
含xy的系数是
03
12
21
=60，f（2，1）=60；
=36，f（1，2）=36；
=4，f（0，3）=4；
点
评：

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选：C．
本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
6．（5分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x+ax+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f （﹣3）
≤3，则（ ）

A．
c≤3
B． 3＜c≤6 C． 6＜c≤9 D． c＞9

考
点：
专
题：
分
析：
解
答：
函数的值域．
32
函数的性质及应用．
由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a ，b，代入0＜f（﹣1）≤3求出c的
范围．
解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，
解得，

点
评：

f（x）=x+6x+11x+c，
由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，
即6＜c≤9，
故选：C．
本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．
32
7 ．（5分）（2014?浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x（x≥0），g（x）=log
a
x的图
象可能是（ ）

A． B．

C．

D．
a


考
点：

专
题：
分
析：

解
答：

函数的图象．
函数的性质及应用．
结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜ a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论
a
函数f（x）=x（x≥0），g（x）=loga
x的图象，比照后可得答案．
a
解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x（x ≥0），g（x）=log
a
x的图象为：


此时答案D满足要求，
a
当a＞1时，函数f（x）=x（x≥0），g（x）=l og
a
x的图象为：

无满足要求的答案，
综上：故选D
点本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答
评： 的关键．

8．（5分）（2014?浙江）记max{x，y}=
平面向量，则（ ）

A．
min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}

C．
max{|+|，|﹣|}≤||+||
2222
，min{x，y}=，设，为
B．
D．
min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}
max{|+|，|﹣|}≥||+||
2222

考向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．
点：
专平面向量及应用．
题：
分
将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以
析：
，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．
解
解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；
答： 对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显
然，不等式 不成立；
对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|，|﹣
|}=| +|=4
故选：D．
点
本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个
评：
平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举
反例说明，这是高考 中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考
22
2
，而不等式右边 =||+||=2
22
，故C不成立，D选项正确．

选择题的处理上 ，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排
除法”，“确定法”，“特殊值”代 入法等也许是一种更快速，更有效的方法．

9．（5分）（2014?浙江）已知甲盒中 仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，
n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1 ，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ
i
（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p
i
（i=1，2）．
则（ ）

A．
p
1
＞p
2
，E （ξ
1
）＜E（ξ
2
）
B．
p
1
＜p
2
，E（ξ
1
）＞E（ξ
2
）

C．
p
1
＞p
2
，E（ξ
1
）＞E（ξ
2）
D．
p
1
＜p
2
，E（ξ
1
） ＜E（ξ
2
）

考离散型随机变量的期望与方差．
点：
专概率与统计．
题：
分首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，
析： 有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，
则从乙盒中拿出放 入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公
式及分布列知识求出P
1，P
2
和E（ξ
1
），E（ξ
2
）进行比较即可．
解
，，
答：
解析：
，所以P
1
＞P
2
；
由已知ξ
1
的取值为1、2，ξ
2
的取值为1、2、3，
所以，
=
=，
E（ξ
1
）﹣E（ξ
2
）=
故选A
．
点
正确理解ξ
i
（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法， 不妨令
评： m=n=3，也可以很快求解．

10．（5分）（2014?浙江 ）设函数f
1
（x）=x，f
2
（x）=2（x﹣x），
22
，
，i=0，1，2，…，99．记I
k
=|f
k
（a
1
）﹣f
k
（a
0
）|+|f
k
（a
2）﹣f
k
（a
1
）丨+…+|f
k
（a
99< br>）
﹣f
k
（a
98
）|，k=1，2，3，则（ ）

A．
I
1
＜I
2
＜I
3

B．
I
2
＜I
1
＜I
3

C．
I
1
＜I
3
＜I
2

D．
I
3
＜I
2
＜I
1

考
点
：
专
题
：
分
析
：
解
答
：
函数与方程的综合运用．
函数的性质及应用．
根据记I
k
=|f
k
（a
1
）﹣f
k
（a
0
）|+|f
k
（a
2
）﹣f
k
（a1
）丨+…+|f
k
（a
99
）﹣f
k
（a< br>98
）|，分别
求出I
1
，I
2
，I
3与1的关系，继而得到答案
解：由
=
由
×=×＜1，
+

=，
，故
=1，
，故
点
评
：

二、填空题
11．（4分）（ 2014?浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结
果是 6 ．
故I
2
＜I
1
＜I
3
，
故选：B．
本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．

考
点：
专
题：
分
析：
解
答：
程序框图；循环结构．
算法和程序框图．
根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的
值．
解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；
第二次循环S=2×1+2=4，i=3；
第三次循环S=2×4+3=11，i=4；
第四次循环S=2×11+4=26，i=5；
第五次循环S=2×26+5=57，i=6，
满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．
故答案为：6．
点本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问
评： 题的常用方法．

12．（4分）（2014?浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若 P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D
（ξ）=

考
．
离散型随机变量的期望与方差．

点：
专
题：
分
析：
解
答：
概率与统计．
结合方差的计算公式可知 ，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列
的性质和期望的计算公式不难求得．
解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，
解得
所以故答案为：
，，
．
，
点本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．
评：

1 3．（4分）（2014?浙江）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a
的取值范围 是 [

考
点：
专
题：
分
析：
解
答：
] ．
简单线性规划．
不等式的解法及应用．
由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的
坐标满足不 等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．
解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得C（1，）．
联立，解得B（2，1）．
在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．
要使1≤ax+y≤4恒成立，
则，解得：1．

∴实数a的取值范围是．

解法二：令z=ax+y，
当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，
可得，即1≤a≤；
当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，
①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得
去）
②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得
舍去）
综上所述即：1≤a≤；
故答案为：．
，解得1≤a≤（不符合条件，
，解得0≤a≤（不符合条件，舍

点本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训
评： 练了不等式组得解法，是中档题．

14．（4分）（2014?浙江）在8张奖券中有一 、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8
张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 60 种（用数字作答）．

考排列、组合及简单计数问题．
点：
专排列组合．
题：
分分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人
析： 获得1张．

解
解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有
答：
=24种；
=36种， 一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有
点
评：

共有24+36=60种．
故答案为：60．
本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．（4分）（ 2014?浙江）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的
取值范围是 （﹣∞，] ．

考其他不等式的解法．
点：
专不等式的解法及应用．
题：
分画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a
析： 的取值范围．
解
，它的图象如图所示：
答：
解：∵函数f（x）=
由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2．
由f（x）=﹣2，可得﹣x=﹣2，即x=，
故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤
故答案为：（﹣∞，]．
2
，

点本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属
评： 于中档题．

16．（4分）（2014?浙江）设直线x﹣3y+m=0 （m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）
的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足| PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是

考双曲线的简单性质．
点：
专圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分
析：
先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（
．
，），利用点P（m，
0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．
解
答：
解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则
与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，
∴=﹣3，
∴a=2b，
∴
∴e==．
．
=b，
故答案为：
点本题考查双曲线 的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
评：

1 7．（4分）（2014?浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训
练． 已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄

准 目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，
则tanθ的最大值是 ．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）


考在实际问题中建立三角函数模型；解三角形．
点：
专解三角形．
题：
分
过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=
析：
的性质，分类讨论，即可得出结论．
解解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，
答： ∴BC=20m， ，求出PP′，AP′，利用函数
过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=
设BP′=x，则CP′=20﹣x，
由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=
在直角△ABP′中，AP′=，
（20﹣x），
，
∴tanθ=?，
令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，
∴x=0时，取得最大值为=．
（20+x）， 若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=
在直角△ABP′中，AP′=，
∴tanθ=?，

令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，
故答案为：．

点本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的
评： 能力，属于中档题．

三、解答题
18．（14分）（2014?浙江）在△A BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，
22
c=，cosA﹣co sB=sinAcosA﹣sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

考
点：
专
题：
分
析：
正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
解三角形．
（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin （A﹣B）=2
（A+B）sin（A﹣B）．
求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
?cos
（Ⅱ）由 sinA= 求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）
﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为
22
的值．
sinAcosA﹣sinBcosB，
解
解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cosA﹣cosB=
答：
∴﹣=sin2A﹣sin2B，
即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B， 即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2
sin（A﹣B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，
∴tan（A+B）=﹣
（Ⅱ）∵s inA=＜
，∴A+B=
，C=，∴A＜
，∴C=．
（舍去），∴cosA=
?cos（A+B）
，或A＞=．

由正弦定理可得，=，即 =，∴a=．
∴sinB=sin[（A+B）﹣ A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=
×=，
=×=．
﹣（﹣）
∴△ABC的面积为
点本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．
评：

19．（14分）（2014?浙江）已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
a
2
a
3
…a
n
=
为等比数列，且a
1
=2，b
3
=6+b
2
．
（Ⅰ）求a
n
和b
n
；
（Ⅱ）设c
n
= （n∈N）．记数列{c
n
}的前n项和为S
n
．
*
（n∈N）．若{a
n
}
*
（i）求S
n
；
*
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N均有S
k
≥S
n
．

考数列与不等式的综合；数列的求和．
点：
专等差数列与等比数列．
题：
分
（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a
n
}的第三项的值，
析：
结合首项的值，求出通项a
n
，然后现利用条件求出通项b
n
； < br>（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法
求和，得出 本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．
解
*
解 ：（Ⅰ）∵a
1
a
2
a
3
…a
n
=（n∈ N） ①，
答：
当n≥2，n∈N时，
由①②知：
令n=3，则有
∵b
3
=6+b
2
，
∴a
3
=8．
∵{a
n
}为等比数列，且a
1
=2，
∴{a
n
}的公比为q，则=4，
，
．
*
②，
由题意知a
n
＞
0
，∴q＞0，∴q=2．

∴（n∈N）．
（n∈N）得：
，
，
**
又由a
1
a
2
a
3
…a
n
=
∴b
n
=n（n+1）（n∈N）．
（Ⅱ）（i）∵c
n
=
∴S
n
=c
1
+c
2
+c
3+…+< br>c
n

=
=
=
=；



==．
*
（ii）因为c
1
=0，c
2
＞0，c
3
＞0，c
4
＞0；
当n≥5时，
，
而
=
得
，
所以，当n≥5时，c
n
＜0，
*
综上，对任意n∈N恒有S
4
≥S
n
，故k=4．
点本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想
评： 证 明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维
层次高，要求学生有较 高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．

20．（15分）（2014?浙江）如 图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，
∠CDE=∠BED=90°，AB=CD =2，DE=BE=1，AC=．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．
＞0，

考
点：
专
题：
分
析：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥
平 面ACD；
（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG ，
由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，
利 用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，
cos∠BFG==，从而可求得 答案．
解
证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，
答：
由AC=，AB=2得AB
2
=AC
2
+BC
2
，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于 点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，
由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以 ∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，
222
在直角梯形BCDE中，由CD=BC+B D，得BD⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，
由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．
在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；
在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；
在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，
，BG=． 在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=
在△BFG中 ，cos∠BFG=
所以，∠BFG=
=，
． ，二面角B﹣AD﹣E的大小为

点本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，
评： 推理论证能力和运算求解能力．

21．（15分）（2014?浙江）如图，设椭圆C： （a＞b＞0），动直线l与椭圆C只
有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l< br>1
与l垂直，证明：点P到直线l
1
的距离的最大值为a﹣b．


考直线与圆锥曲线的综合问题．
点：
专圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
题：
分
析：
222
（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去 y得（b+ak）
x+2akmx+am﹣ab=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；
（Ⅱ）由于直线l
1
过原点O且与直线l垂直，设直线l
1
的方程为 x+ky=0，利用点到
222222
直线间的距离公式，可求得点P到直线l
1的距离d=
整理即可证得点P到直线l
1
的距离的最大值为a﹣b．．
解
答：
解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得
，

（b+ak）x+2akmx+am﹣ab=0．
2222
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b﹣m+ak=0，解得点P的坐
标为
（﹣，），
222222222
又点P在第一象限，故点P的坐标为P（，）． < br>（Ⅱ）由于直线l
1
过原点O且与直线l垂直，故直线l
1
的方程为x +ky=0，所以点P
到直线l
1
的距离
d=，
整理得：d=，
因为ak+
22
≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k=
2
时等号 成立．
所以，点P到直线l
1
的距离的最大值为a﹣b．

点本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知
评： 识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．

22．（14分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x+3|x﹣a|（a∈R）．
（ Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）； < br>2
（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围 ．

考导数在最大值、最小值问题中的应用．
点：
专导数的综合应用．
题：
3

分（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可 求M（a）﹣m（a）；
析：
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h（′x ）=
2
，
则[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x） ≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，
分类讨论，即可求3a+b的取值范围．
解
3
（Ⅰ）∵f（x）=x+3|x﹣a|=
答：
解：，
∴f′（x）=，
①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，
∴M（a）﹣m（a）=8；
3
②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x +3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，
3
a），f（x）=x﹣3x+3a， 在（﹣1，a）上是减函数，
3
∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a，
∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，
∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a﹣3a+4；
＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a+3a+2；
③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，
∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，
∴M（a）﹣m（a）=4；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=
2< br>3
3
，h（′x）=，
∵[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，
∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，
由（Ⅰ）知，
①a≤﹣1时， h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h
（﹣1）=﹣4﹣3a +b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；
②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a+b ，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a+b≥﹣2且4﹣
3a+b≤2，
令t（a）=﹣2 ﹣a+3a，则t′（a）=3﹣3a＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t
（a）＞t（0）= ﹣2，
∴﹣2≤3a+b≤0；
③＜a＜1时，最小值h（a）=a+b，最大值h（﹣1 ）=3a+b+2，则a+b≥﹣2且3a+b+2≤2，
33
32
33

∴﹣＜3a+b≤0；
④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）= 3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且
3a+b+2≤2，∴3a+b=0．
综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．
点本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，
评： 难度大．

参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；翔宇 老师；清风慕竹；qiss；wdnah；任老师；王
兴华；whgcn；sxs123；刘长柏；王老 师；wfy814（排名不分先后）
菁优网
2015年9月14日