(浙江专用)2020版高考数学 数列的概念与简单表示法讲义(含解析)

§7.1 数列的概念与简单表示法
最新考纲

了解数列的概念和表示方法(列表、
图象、公式).

考情考向分析
以考查
S
n
与
a
n
的关系为主，简单的递推关系
也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、
填空题的形式进行考查，难度为低档.



1．数列的有关概念
概念

数列

数列的项

数列的
通项

通项公式

前
n
项和


2.数列的表示方法
列表法

图象法

公
式
法


3.
a
n
与
S
n
的关系
若数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
则
a
n
＝
?
?
?
S
1
，
n
＝1，
含义
按照一定顺序排列着的一列数
数列中的每一个数
数列{
a
n
}的第
n
项
a
n
< br>数列{
a
n
}的第
n
项
a
n
与n
之间的关系能用公式
a
n
＝
f
(
n
)表示，这个
公式叫做数列的通项公式
数列{
a
n
}中，
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
an
叫做数列的前
n
项和
列表格表示
n
与
a
n
的对应关系
把点(
n
，
a
n
)画在平面直角坐标系中
把数列的通项使用公式表示的方法
使用初始值
a
1
和
a< br>n
＋1
＝
f
(
a
n
)或
a
1
，
a
2
和
a
n
＋1
＝
f
(
a
n
，
a
n
－1
)等
通项
公 式

递推
公式

表示数列的方法
?
?
S
n
－
S
n
－1
，
n
≥2.


4．数列的分类

1

分类标准

项数

类型

有穷数列

无穷数列

递增数列

满足条件
项数有限
项数无限
a
n
＋1
__>__
a
n

a
n
＋1
__<__
a
n

a
n
＋1
＝
a
n

其中
n
∈N

*
项与项间的
大小关系


概念方法微思考
递减数列

常数列

1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列的通项公式
a
n
＝3
n
＋5与函数
y
＝3
x
＋5有何区别与联系？
提示 数列的通项公式
a
n
＝3
n
＋5是特殊的函数，其定义域为N，而函数
y
＝3
x
＋5的定义域
是 R，
a
n
＝3
n
＋5的图象是离散的点，且排列在
y
＝3
x
＋5的图象上．

题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
(2)所有数列的第
n
项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(6)如果数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，则对?
n
∈N，都有
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
.( × )
题组二 教材改编
2．[P33A组T4]在数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝4
a
n
＋1，则
a
3
＝________.
答案 21
解析 由题意知，
a
2
＝4
a
1＋1＝5，
a
3
＝4
a
2
＋1＝21.
3． [P33A组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式
a
n< br>＝
________.
*
*

答案 5
n
－4
题组三 易错自纠

2

4． 已知
a
n
＝
n
＋
λn
，且对于任意的
n< br>∈N，数列{
a
n
}是递增数列，则实数
λ
的取值范围是________．
答案 (－3，＋∞)
解析 因为{
a
n
}是递增数列，所以对任意的
n
∈N，都有
a
n
＋1
>< br>a
n
，即(
n
＋1)＋
λ
(
n
＋1 )>
n
＋
*22
2*
λn
，
整理，得2
n
＋1＋
λ
>0，即
λ
>－(2
n
＋1)．(*)
因为
n
≥1，所以－(2
n
＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立 ，只需
λ
>－3.
5．数列{
a
n
}中，
an
＝－
n
＋11
n
(
n
∈N)，则此数列最大 项的值是________．
答案 30
2*
?
11
?
2
121
2
解析
a
n
＝－
n
＋11
n
＝－
?
n
－
?
＋，
2
?
4
?
∵
n
∈N，∴ 当
n
＝5或
n
＝6时，
a
n
取最大值30. 6．已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
＋1，则
a
n
＝________.
?
?
2，
n
＝1，
答案
?
*
?
?
2
n
－1，
n
≥2，
n
∈N
2
*


解析 当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝2，当
n
≥2时，
a
n
＝S
n
－
S
n
－1
＝
n
2
＋1 －[(
n
－1)
2
＋1]＝2
n
－1，
?
?
2，
n
＝1，
故
a
n
＝
?
*
?
2
n
－1，
n
≥2，
n
∈N.
?



题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
246810
(1)，，，，，…；(2)－1,7，－13,19，…；
3153 56399
1925
(3)，2，，8，，…；(4)5,55,555,5555，….
222
解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为
1×3, 3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，
相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为
a
n
＝
2
n
.
?2
n
－1??2
n
＋1?
n
(2)偶数项为正， 奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)，观察各项的绝对值，后一项的
绝对值总比它前一项的绝对 值大6，故数列的一个通项公式为
a
n
＝(－1)
n
(6
n
－5)．

3

14
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各 项都统一成分数再观察．即，，
22
91625
n
，，，…，分子为项数的平 方，从而可得数列的一个通项公式为
a
n
＝.
2222
555n
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为1 0－1，故
999
5
n
所求的数列的一个通项公式为
a
n< br>＝(10－1)．
9
思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征．
(2)相邻项的变化特征．
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．
(4)各项符号特征等．
(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．
3579
跟 踪训练1(1)(2018·宁波北仑中学期中)数列，－，，－，…的一个通项公式为( )
24 816
2＋1
A．
a
n
＝(－1)·
n

2
n
n
2
2
n
＋1
n
B．
an
＝(－1)·
n

2
C．
a
n
＝( －1)
D．
a
n
＝(－1)
答案 D
解析 数列各项的分 母为等比数列{2}，分子为2
n
＋1，可用(－1)
数列的一个通项公式为
a
n
＝(－1)
n
＋1
nn
＋1
n
＋1< br>2＋1
·
n

2
2
n
＋1
·
n

2
n
n
＋1
来控制各项的符号，故
2
n
＋1
·
n
.
2
379
(2)数列{
a
n
}的前4项是，1，，， 则这个数列的一个通项公式是
a
n
＝________.
21017
答案
2
n
＋1

n
2
＋1
2×1＋12×2＋12×3＋12×4＋12
n
＋1
解析 数列{< br>a
n
}的前4项可变形为
2
，
2
，
2
，
2
，故
a
n
＝
2
.
1＋12＋13＋14＋1
n
＋1
题型二 由
a
n
与
S
n
的关系求通项公式
2
例2 (1)(2018·浙江绍兴一中期中)已知数列{
a
n
}的前
n
项 和为
S
n
＝
n
＋
n
＋1，
b
n< br>＝(－1)·(
a
n
－2)(
n
∈N)，则数列{
a
n
}的通项公式为________，数列{
b
n
}的前50项和为 ________．
*
n

4

?
?
3，
n
＝1，
答案
a
n
＝
?
?
2
n
，
n
≥2
?
49
解析 当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝3；
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝
n
＋
n
＋1－[(
n
－ 1)＋(
n
－1)＋1]＝2
n
，当
n
＝1时不满足上式，
?
?
3，
n
＝1，
故则其通项公式为
a
n
＝
?
?
2
n
，
n
≥2.
?
22


当
n
＝1时，
b
1
＝－1；
当
n
≥2时，
b
n
＝(－1)·(
a
n< br>－2)＝(－1)·2(
n
－1)，则数列{
b
n
}的前50 项和为－1＋2×1
－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋ 2×25＝49.
(2)(2018·全国Ⅰ)记
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和．若
S
n
＝2
a
n
＋1，则
S
6
＝________.
答案 －63
解析 ∵
S
n
＝2
a
n
＋1，当
n
≥2时，
S
n
－1
＝2
a
n
－1
＋1，
∴
a
n
＝
S
n
－
S
n
－ 1
＝2
a
n
－2
a
n
－1
(
n< br>≥2)，
即
a
n
＝2
a
n
－1
(
n
≥2)．
当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝2
a
1
＋1，得
a
1
＝－1.
∴数列{
a
n
}是首项
a
1
＝－1，公比
q
＝2的等比数列，
nn
a
1
?1－
q
n
?－1×?1－2
n
?
n
∴
S
n
＝＝＝1－2，
1－
q
1－2
∴
S
6
＝1－2＝－63.
(3)已知数列{
a
n
}满足
a
1
＋2
a
2
＋3
a
3
＋…＋
na
n
＝2，则
a< br>n
＝________.
2，
n
＝1，
?
?
n
－1
答案
?
2
，
n
≥2
?
?
n
n
6


解析 当
n
＝1时，由已知，可得
a
1
＝2＝2，
∵
a
1
＋2
a
2
＋3
a
3
＋…＋
na
n
＝2，①
故
a
1
＋2
a
2
＋ 3
a
3
＋…＋(
n
－1)
a
n
－1
＝2
由①－②得
na
n
＝2－2
2
∴
a
n
＝
n
－1
nn
－1
n
－1
n
1
(
n
≥2)，②
＝2
n
－1
，
n
.
显然当
n
＝1时不满足上式，
2，
n＝1，
?
?
n
－1
∴
a
n
＝
?
2
，
n
≥2.
?
?
n

?
?
S
1
，
n
＝1，
思维升华已知
S
n
求
a
n
的常用方法是利用
a
n
＝
?
?
?
S
n
－
S
n
－1
，n
≥2，


一定要检验
a
1
的情况．
5

跟踪训练2(1)已知数列{
a
n
n
} 的前
n
项和
S
n
＝3＋1，则
a
n
＝__ ______.
答案
?
?
?
4，
n
＝1，?
?
2×3
n
－1
，
n
≥2


解析 当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝3＋1＝4；
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－S
n
－1
＝(3
n
＋1)－(3
n
－1
＋1)＝
2×3
n
－1
.
当
n
＝1时，2×3
1－1
＝2≠
a
1
，
所以
a
?
?
4，
n
＝1，
n
＝< br>?
?
2×3
n
－1
，
n

?
≥2.

(2)设数列{
a
满足
a
2< br>n
－1
n
}
1
＋3
a
2
＋3
a
3
＋…＋3
a
n
n
＝
3
，则
a
n
＝________.
答案
1
3
n

解析 因为
a
2－1
1
＋3
a
2
＋3a
3
＋…＋3
n
a
n
n
＝
3
，①
则当
n
≥2时，
a
1
＋3
a
n< br>－2
n
－1
2
＋3
2
a
3
＋…＋3
a
n
－1
＝
3
，②
①－②得3
n
－1
a
＝
1
3
，所以
a
1
nn
＝
3
n
(
n
≥2)．
由题意知
a
11< br>1
＝
3
符合上式，所以
a
n
＝
3
n
.
(3)若数列{
a
}的前
n
项和
S
2 1
nn
＝
3
a
n
＋
3
，则{
a< br>n
}的通项公式是
a
n
＝________.
答案 (－2)
n
－1

解析 当
n
＝1时，
a
21
1
＝
S
1
＝
3
a
1
＋
3
，即
a
1
＝1；
当
n
≥2时，
a< br>22
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝
3
a
n
－
3
a
n
－1
， 故
a
n
a
＝－2，故
a
＝(－2)
n
－1
n
.
n
－1



题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3设数列{
a
n
}中，
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝
a
n
＋
n< br>＋1，则
a
n
＝________.

6

答案
n
2
＋
n
＋2
2

解析 由条件知
a
n
＋1
－
a
n
＝
n
＋1，
则当
n
≥2时
a
n
＝(
a< br>2
－
a
1
)＋(
a
3
－
a
2
)＋(
a
4
－
a
3
)＋…＋(
a
n
－
a
n
－1
)＋
a
1
＝(2＋3＋4 ＋…＋
n
)＋2
＝
n
2
＋
n
＋2
2
.
当
n
＝1时，符合上式，因此
a
n
＝
引申探究
n
2
＋
n
＋2
2
.
1．若将“
a
n
＋1
＝
a
n
＋
n
＋1”改为“
a
n
＋1
＝
解 ∵
a
n
＋1
＝
∴
a
n
”，如何求解？ < br>n
＋1
n
a
n
，
a
1
＝2，∴a
n
≠0，
n
＋1
n
a
n
＋1
n
＝.
a< br>n
n
＋1
a
n
a
n
－1
a
n
－2
a
3
a
2
···…···
a
1
a
n
－1
a
n
－2
a
n
－ 3
a
2
a
1
∴当
n
≥2时
a
n< br>＝
＝
n
－1
n
－2
n
－312
·· ·…··2＝.
nn
－1
n
－22
n
n
2
当
n
＝1时，符合上式，因此
a
n
＝.
2．若将“a
n
＋1
＝
a
n
＋
n
＋1”改为“< br>a
n
＋1
＝2
a
n
＋3”，如何求解？
解 设递推公式
a
n
＋1
＝2
a
n
＋3可以转化为a
n
＋1
－
t
＝2(
a
n
－
t
)，即
a
n
＋1
＝2
a
n
－
t
，解得
t
＝－3.
故
a
n
＋1
＋3＝2(
a
n
＋3)．令
b
n
＝
a
n
＋3 ，则
b
1
＝
a
1
＋3＝5，且
为首项，2为公比的 等比数列．
所以
b
n
＝5×2
n
－1
b
n
＋1
a
n
＋1
＋3
＝＝2.所以{
b
n
}是以5
b
n
a
n
＋3
，故
a
n
＝5×2
n
－1
－3.
2
a
n
”，如何求解？
a
n
＋2
3．若 将“
a
n
＋1
＝
a
n
＋
n
＋1” 改为“
a
n
＋1
＝
解 ∵
a
n
＋1
＝
∴
1
2
a
n
，
a
1
＝2，∴
a
n
≠0，
a
n
＋2
11111
＝＋，即－＝，
a
n
＋1
a
n
2
a
n
＋1
a
n
2< br>11
又
a
1
＝2，则＝，
a
1
2
?
1
?
11
∴
??
是以为首项，为公差的等差数列． 22
?
a
n
?
111
n
2
∴＝＋(< br>n
－1)×＝.∴
a
n
＝.
a
n
a
1
22
n

7

< br>4．若将本例条件换为“
a
1
＝1，
a
n
＋1
＋
a
n
＝2
n
”，如何求解？
解 ∵
a
n
＋1
＋
a
n
＝2
n
，∴
a
n
＋2
＋
a
n
＋1
＝2
n
＋2，
故
a
n
＋2
－
a
n
＝2.
即数列{
a
n
}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．
??
当
n
为偶数时，
a
2
＝1，故
a
n
＝
a
2
＋2
?
－1
?
＝
n
－1 .
?
2
?
当
n
为奇数时，∵
a
n
＋1
＋
a
n
＝2
n
，
a
n
＋1
＝
n
(
n
＋1为偶数)，故
a
n
＝
n
.
综上所述，
a
n
＝
?
?
n
，
n
为奇数，
?
n
?
?
n
－1，
n
为偶数，

n
∈N
*
.
思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现
a
n＝
a
n
－1
＋
m
时，构造等差数列．
(2) 当出现
a
n
＝
xa
n
－1
＋
y
时 ，构造等比数列．
(3)当出现
a
n
＝
a
n
－1
＋
f
(
n
)时，用累加法求解．
(4)当出现
a
n
＝
f
(
n
)时，用累乘法求解．
a
n
－1
*
跟踪训练3(1)已知数列{
a
n
}满足
a
1
＝1，
a
2
＝4，
a
n
＋2
＋ 2
a
n
＝3
a
n
＋1
(
n
∈N) ，则数列{
a
n
}的通项
公式
a
n
＝______ ________.
答案 3×2
n
－1
－2
解析 由
a
n
＋2
＋2
a
n
－3
a
n
＋1
＝0，
得
a
n
＋2
－
a
n
＋1
＝2(
a
n
＋1
－
a
n
)，
∴ 数列{
a
n
＋1
－
a
n
}是以
a
2
－
a
1
＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴
a
n
＋1
－
a
n
＝3×2
n
－1
， n
－2
∴当
n
≥2时，
a
n
－
an
－1
＝3×2
将以上各式累加，得
，…，
a
3－
a
2
＝3×2，
a
2
－
a
1
＝3，
a
n
－
a
1
＝3×2
n
－2< br>＋…＋3×2＋3＝3(2
n
－1
－1)，
∴
a
n
＝3×2
n
－1
－2(当
n
＝1时，也满足)．
1
，则通项公式
a
n
＝________.
n
?
n
＋1?
(2)在数列{
a
n
}中，
a
1
＝3，
a
n
＋1
＝
a
n
＋
1答案 4－
n
11
解析 原递推公式可化为
a
n
＋1
＝
a
n
＋－，
nn
＋1
1111
则当
n
≥2时，
a
2
＝
a
1
＋－，
a
3
＝
a
2
＋－，
1223
a
4
＝
a
3
＋－，…，
a
n
－1
＝
a
n
－2
＋
1
3
1< br>4
11
－，
n
－2
n
－1
8

a
n
＝
a
n
－1
＋－，逐项相加得
a
n
＝
a
1
＋1－，
n
－1
n n
1
故
a
n
＝4－，经验证当
n
＝1时也符合．
111
n

题型四 数列的性质


命题点1 数列的单调性
例4已知
a
n
＝
A．递减数列
C．常数列
答案 B
解析
a
n
＝1－
2
*
，将< br>a
n
看作关于
n
的函数，
n
∈N，易知{
a
n
}是递增数列．
n
＋1
n
－1
，那么数列{
a
n
}是( )
n
＋1
B．递增数列
D．摆动数列
命题点2 数列的周期性
3＋
a
n
例5(2018·台州质检)在数列{
a
n
}中，
a
1
＝0，
a
n
＋1
＝，则
S< br>2020
＝________.
1－3
a
n
答案 0
3＋
a
n
解析 ∵
a
1
＝0，
a
n
＋1
＝，
1－3a
n
∴
a
2
＝
33＋323
＝3，
a
3
＝＝＝－3，
1
1－3×3
－2
3－3
＝0，
a
4
＝
1＋3×3
即数列{
a
n
}的取值 具有周期性，周期为3，
且
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝0，则
S
2020
＝
S
3×673＋1< br>＝
a
1
＝0.
命题点3 数列的最值
例6已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
S
m
－1
＝－2，
S
m
＝0，
S
m
＋1
＝3(
m
≥2)，则
nS
n
的最小
值为( )
A．－3
C．－6
答案 D
解析 由
S
m
－1
＝－2，
S
m
＝0，
B．－5
D．－9
S
m
＋1
＝3(
m
≥2)可知
a
m
＝2，
a
m
＋1
＝3，

9

设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，则
d
＝1，
∵
S
m
＝0，∴
a
1< br>＝－
a
m
＝－2，
则
a
n
＝
n< br>－3，
S
n
＝
设
f
(
x
)＝
n
?
n
－5?
2
，
nS
n
＝
n
2
?
n
－5?
2
.
x
2
?x
－5?
2
3
2
，
x
>0，
f
′(
x
)＝
x
－5
x
，
x
>0， 2
10
∴
f
(
x
)的极小值点为
x
＝ ，
3
∵
n
∈N，且
f
(3)＝－9，
f
(4)＝－8，
∴
f
(
n
)
min
＝－9. < br>思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用
数 列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
1
*
跟踪训练4(1)(2018·浙江杭州二中期中)已知数列{
a
n
}满足< br>a
1
＝2，
a
n
＋1
＝(
n
∈N) ，则
1－
a
n
*
a
2020
等于( )
1
A．－2B．－1C．2D.
2
答案 C
11111
*
解析 由
a
1
＝2，
a
n< br>＋1
＝(
n
∈N)，得
a
2
＝＝－1，
a< br>3
＝＝，
a
4
＝＝2，…，
1－
a
n
1－
a
1
1－
a
2
21－
a
3
以此类推知数列{
a
n
}是周期为3的周期数列，所以
a
2020< br>＝
a
3×673＋1
＝
a
1
＝2，故选C.
(2)若数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
－10
n
(
n
∈N)，则数列{
na
n
}中数值最小的项是( )
A．第2项
C．第4项
答案 B
解析 ∵
S
n
＝
n
－10
n
，
∴当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝2
n
－11；
当
n
＝1时，< br>a
1
＝
S
1
＝－9也适合上式．
∴
a
n
＝2
n
－11(
n
∈N)． 记
f
(
n
)＝
na
n
＝
n
( 2
n
－11)＝2
n
－11
n
，
11
*
此函数图象的对称轴为直线
n
＝，但
n
∈N，
4
∴当
n
＝3时，
f
(
n
)取最小值．
∴数列{
na
n
}中数值最小的项是第3项．



10
2
*
2
2*
B．第3项
D．第5项

1．(2018·嘉兴期末检测)已知数列 {
a
n
}的通项公式为
a
n
＝
A．第4项
C．第6项
答案 B
解析 由
211
*
＝，
n
∈N，得
n
＝5，所以是数列{
a
n
}的第5项，故选B.
n
＋
n
1515
2
21
，则是它的( )
n
＋
n
15
2
B．第5项
D．第7项
2．记
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和． “任意正整数
n
，均有
a
n
>0”是“{
S
n}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
答案 A
解析 ∵“
a
n
>0”?“数列{
S
n
}是递增数列”，
∴“
a
n
>0”是“数列{
S
n
}是递增数列”的充分条 件．
如数列{
a
n
}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{
S
n
}是递增数列，但是
a
n
不一定大于零，还有可
能小 于零，
∴“数列{
S
n
}是递增数列”不能推出“
a
n< br>>0”，
∴“
a
n
>0”是“数列{
S
n
}是递增数列”的不必要条件．
∴“
a
n
>0”是“数列{
Sn
}是递增数列”的充分不必要条件．
3．若
S
n
为数列{< br>a
n
}的前
n
项和，且
S
n
＝2
a
n
－2，则
S
8
等于( )
A．255B．256C．510D．511
答案 C
解析 当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝2
a
1
－2，据此可得
a
1
＝2，
当
n
≥2时，
Sn
＝2
a
n
－2，
S
n
－1
＝2a
n
－1
－2，
两式作差可得
a
n
＝2a
n
－2
a
n
－1
，则
a
n
＝2
a
n
－1
，
据此可得数列{
a
n
}是首项为2，公比为2的等比数列，
2×< br>(
1－2
)
9
其前8项和为
S
8
＝＝2－2 ＝512－2＝510.
1－2
8
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
＋2
n
，则数列
?
24510
A.B.C.D.
15151111
答案 A

2
1
?
?
的前6项和为( )
a
·
a
nn
＋1
??
?
11

解析 数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
＋2
n
，
S
n
－1
＝
n
－1，两式作差得到
a
n
＝2
n
＋1(n
≥2)，
又当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝1＋2×1＝3，符合上式，
所以
a
n
＝2
n
＋1，
1
?
111
?
1
－
＝＝
??
< br>a
n
·
a
n
＋1
(
2
n
＋ 1
)(
2
n
＋3
)
2
?
2
n＋12
n
＋3
?
1
?
21
?
11裂项求和得到
S
6
＝
?
－＋…－
?
＝，故选A .
15
?
152
?
35
5．在数列{
a
n
}中，
a
1
＝2，
A．2＋
n
ln
n< br>
C．2
n
＋
n
ln
n

答案 C
解析 由题意得
2
22
a
n
＋1
a
n?
1
?
＝＋ln
?
1＋
?
，则
an
等于( )
n
＋1
n
?
n
?
B ．2
n
＋(
n
－1)ln
n

D．1＋
n
＋
n
ln
n

a
n< br>＋1
a
n
a
n
a
1
－＝ln(
n< br>＋1)－ln
n
，
n
分别用1,2,3，…，(
n
－ 1)取代，累加得－
n
＋1
nn
1
a
n
n
＝ln
n
－ln1＝ln
n
，＝2＋ln
n
，∴
a
n
＝(ln
n
＋2)
n
，故选C.
63
*
6．已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝
n
，若
a
1
·
a
2
·…·
a
n
≤
a
1
·
a
2
·…·
a
k
对
n
∈N恒成立，则
2
正整数
k
的值为( )
A．5B．6C．7D．8
答案 A
63
解析
a
n< br>＝
n
，当
n
≤5时，
a
n
>1；当
n
≥6时，
a
n
<1，
2
由题意知，
a
1
·
a
2
·…·
a
k
是{
a
n< br>}的前
n
项乘积的最大值，所以
k
＝5.故选A.
134< br>7．若数列{
a
n
}满足关系
a
n
＋1
＝1 ＋，
a
8
＝，则
a
5
＝________.
a
n
21
8
答案
5
21138
解析 借助递推关系，由
a
8
递推依次得到
a
7
＝，
a< br>6
＝，
a
5
＝.
1385
8．(2018·浙江“ 七彩阳光”新高考研究联盟第二学期期初)已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
＋2
n
－1(
n
∈ N)，则
a
1
＝________；数列{
a
n
}的通项公 式为
a
n
＝________.
?
?
2，
n
＝1，
答案 2
?
?
?
2
n
＋1，
n
≥2
*
2


22
解析 由题意易得
a
1
＝
S
1
＝2， 当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S< br>n
－1
＝(
n
＋2
n
－1)－[(
n
－1)＋2(
n
－1)
?
?
2，
n
＝1，
－1]＝2
n
＋1，而
a
1
＝2≠3，所以
a
n
＝
?
?
2
n
＋1，
n
≥2.
?< br>


12

9．(2018·绍兴柯桥第 二学期质检)已知正数数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
和2的等比中项
等于
a
n
和 2的等差中项，则
a
1
＝________；
S
n
＝___ _____.
答案 2 2
n

解析 由题意，得
2
2< br>a
n
＋2
2
＝2
S
n
，即(
an
＋2)＝8
S
n
，①
2
所以(
a
1
＋2)＝8
a
1
，解得
a
1
＝2；
当
n
≥2时，(
a
n
－1
＋2)＝8
S
n< br>－1
，②
①－②，得(
a
n
－
a
n
－1
)(
a
n
＋
a
n
－1
)＝4(a
n
＋
a
n
－1
)，
又
a
n
>0，所以
a
n
－
a
n
－1
＝4，所以 数列{
a
n
}是首项为2，公差为4的等差数列，所以
S
n
＝2
n
＋
2
n
?
n
－1?
2
×4 ＝2
n
.
2*
2
10．(2019·衢州质检)在数列{
a
n
}中，
a
1
＝1，(
n
＋2
n
)(
a
n
＋1
－
a
n
)＝1(
n
∈N)，则通项公式
a
n
＝________.
72
n
＋1
答案 －
42
n
?
n
＋1?
1
?
11
?
1
－
解析 由(
n< br>＋2
n
)(
a
n
＋1
－
a
n
)＝1得
a
n
＋1
－
a
n
＝
2
＝×
??
，所以当
n
≥2时，
a
2
－
a< br>1
n
＋2
n
2
?
nn
＋2
?
2
11
?
1
?
11
?
1
?
11
?
1
?
1
1
?
1
－
?
－
＝×
?
－
?
，
a
3
－
a
2
＝×
?
－
?
，…，
a
n
－1
－
a
n
－2
＝
?
，
a
n
－
a
n
－1
＝
???
，
2
?
13
?
2
?
24
?
2
?
n
－2
n
?
2
?
n
－1
n
＋1
?
11
1
?
1
7
－
?
所以
a
n
＝(
a
n
－
a
n
－1
)＋(
a
n
－ 1
－
a
n
－2
)＋…＋(
a
3
－
a
2
)＋(
a
2
－
a
1
)＋
a< br>1
＝×
?
1＋－
＋1＝
?
2
?
2< br>n
＋1
n
?
4
－
2
n
＋172n
＋1
，当
n
＝1时，满足上式，故
a
n
＝－ .
2
n
?
n
＋1?42
n
?
n
＋1?
11．已知在数列{
a
n
}中，
a
1
＝1， 前
n
项和
S
n
＝
(1)求
a
2
，
a
3
；
(2)求{
a
n
}的通项公式．
4
解 (1)由
S
2
＝
a
2
，得3(a
1
＋
a
2
)＝4
a
2
，
3
解得
a
2
＝3
a
1
＝3；
5
由
S
3
＝
a
3
，得3(
a
1＋
a
2
＋
a
3
)＝5
a
3
，
3
3
解得
a
3
＝(
a
1
＋
a
2
)＝6.
2
(2)由题设知
a
1
＝1.
n
＋2
a
n
.
3

13

当
n
>1时，有
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝
n
＋2
3
a
n
＋1
n
－
3
a
n
－1
，
整理，得a
n
＋1
n
＝
n
－1
a
n
－ 1
.
于是
a
34
1
＝1，
a
2
＝
1
a
1
，
a
3
＝
2
a
2
，…，
a
nn
＋1
n
－1
＝
n
－2
a
n
－2
，
a
n
＝
n
－1
a
n
－1
，
将以上
n
个等式两端分别相乘，整理 ，得
a
n
?
n
＋1?
n
＝
2
.
经检验，当
n
＝1时，
a
1
＝1符合上式，
综上 ，{
a
n
?
n
＋1?
n
}的通项公式
a< br>n
＝
2
.
12．已知数列{
a
中，
a项和为
Sn
∈N
*
n
}
1
＝1，其前
n
n
，且满足2
S
n
＝(
n
＋1)
an
()．
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2) 记
b
n
2
n
＝3－
λa
n
，若数列{b
n
}为递增数列，求
λ
的取值范围．
解 (1)∵2
S
n
＝(
n
＋1)
a
n
， < br>∴2
S
n
＋1
＝(
n
＋2)
a
n< br>＋1
，
∴2
a
n
＋1
＝(
n
＋2 )
a
n
＋1
－(
n
＋1)
a
n
，
即
na
a
n
＋1
a
n
＋1
＝(< br>n
＋1)
a
n
，∴
n
＋1
＝
nn
，
∴
a
n
＝
a
n
－1
n n
－1
＝…＝
a
1
1
＝1，
∴
a
N
*
n
＝
n
(
n
∈)．
(2)
b
n
＝3
n
－
λn
2
.
b
n
＋1
－
b
n
＝3
n
＋1－
λ
(
n
＋1)
2
－(3
n
－
λn
2
)
＝2·3
n
－
λ
(2
n
＋1)．
∵数列{
b
n
}为递增数列，
2·3
n
∴2·3
n
－
λ
(2
n
＋1)>0，即
λ
<
2
n
＋1
.
n
令
c
2·3
n
＝
2
n
＋1
，
即
c
＋1
n
＋1
2·3
n
2
n
＋16
c
＝
3
·< br>n
＋3
2·3
n
＝
2
n
＋3
>1.
n
2
n
＋
∴{
c
n
}为递增数列，∴λ
<
c
1
＝2，
即
λ
的取值范围为(－∞，2)．


14

13．(2018·浙江杭州四中期中)已知数列{
a
n
}满 足：
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝(
n
∈N)．若
b
n
＋1
＝(
n
a
n
＋2a
n
*
?
1
?
*
－2
λ
)·
?
＋1
?
(
n
∈N)，
b
1
＝－
λ
，且数列{
b
n
}是单调递增数列，则实数
λ
的 取值范围是
?
a
n
?
( )
2
A．
λ
>
3
3
C．
λ
>
2
答案 B
解析 由
a
n
＋1
＝
?1
?
121
?
1
?
，得＝＋1，则＋1＝2
?
＋1
?
，所以数列
?
＋1
?
是等比数列，
a
n
＋2
a
n
＋1
a
n
a
n＋1
?
a
n
?
?
a
n
?
2< br>B．
λ
<
3
3
D．
λ
<
2a
n
1
n
－1
nn
－1
首项为2，公比为2， 于是有＋1＝2×2＝2，所以
b
n
＝(
n
－1－2
λ)·2(
n
≥2)．由
b
2
>
b
1
a
n
2
nn
－1
得2(1－2
λ
)>－
λ< br>，解得
λ
<；当
n
≥2时，由
b
n
＋1>
b
n
得(
n
－2
λ
)·2>(
n< br>－1－2
λ
)·2，
3
解得
λ
<
n
＋12
.综上所述，
λ
<，故选B.
23
2*
14．已知 数列{
a
n
}的首项
a
1
＝
a
，其前n
项和为
S
n
，且满足
S
n
＋
Sn
－1
＝4
n
(
n
≥2，
n
∈N)， 若对
任意
n
∈N，
a
n
<
a
n
＋ 1
恒成立，则
a
的取值范围是( )
16
??
A.
?
－∞，
?

3
? ?
*
?
16
?
B.
?
5，
?

3
??
D．(3,5)
?
16
?
C.
?
3，
?

3
??
答案 D
2
解析 ∵
S
n
＋S
n
－1
＝4
n
，
S
n
＋1
＋
S
n
＝4(
n
＋1)，
∴当
n
≥2时 ，
S
n
＋1
－
S
n
－1
＝8
n< br>＋4，
即
a
n
＋1
＋
a
n
＝8< br>n
＋4，
即
a
n
＋2
＋
a
n＋1
＝8
n
＋12，
故
a
n
＋2
－
a
n
＝8(
n
≥2)，
由
a
1
＝
a
知
a
2
＋2
a
1
＝4×2＝16，
∴
a
2
＝16－2
a
1
＝16－2
a，
2
2
a
3
＋2
S
2
＝4×32
＝36，
∴
a
3
＝36－2
S
2
＝36－2(16－
a
)＝4＋2
a
，
a
4
＝24 －2
a
；
若对任意
n
∈N，
a
n
<a
n
＋1
恒成立，
只需使
a
1
<
a
2
<
a
3
<
a
4
，
即
a
<16－2
a
<4＋2
a
<24－2
a
，

15
*

解得3<
a
<5，故选D.

15．已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝15，且满足
(
2
n
－5
)
a
n
＋1
＝
(
2
n
－3
)
a
n
＋4
n
－16
n
＋15，
2
已知
n
，
m
∈N，
n
>
m
，则
S
n
－
S
m
的最小值为( )
49
A．－
4
C．－14
答案 C
解析 根据题意可知
(2
n
－5)
a
n
＋1
＝(2n
－3)
a
n
＋(2
n
－5)(2
n
－3)，
式子的每一项都除以(2
n
－5)(2
n
－3)，
可得＝＋1，
2
n
－32
n
－5
即－＝1，
2?
n
＋1?－52
n
－5
49
B．－
8
D．－28
*
a
n
＋1
a
n
a
n
＋1
a
n
?
a
n
?
15?
是以所以数列
?
＝－5为首项，以1为公差的等差数列，
2－5?
2
n
－5
?
所以＝－5＋(
n
－1)·1＝
n
－6，
2
n
－5
即
a
n
＝(
n
－6)(2
n
－5)，
a
n
<0，
5
解得<
n
<6.
2
由此可以判断出只有
a3
，
a
4
，
a
5
这三项是负数，且
a
6
＝0，从而得到当
n
＝5或6，
m
＝2时，
a< br>n
S
n
－
S
m
取得最小值，且
S
n
－
S
m
＝
S
5
－
S
2
＝
S
6
－
S
2
＝
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝－3－6－5＝－14，故选C.
16．已知 数列{
a
n
}是递增的等比数列且
a
1
＋
a
4
＝9，
a
2
a
3
＝8，设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，数
列
?
a
n
＋1
?
?
的前
n
项和为
T
n< br>，若不等式
λ
≤
T
n
对任意的
n
∈N
*
恒成立，求实数
λ
的最大值．
?
S
n
·S
n
＋1
?
?
解 ∵数列{
a
n
}是递增的等比数列，
且
a
1
＋< br>a
4
＝9，
a
2
a
3
＝8，
a1
a
4
＝
a
2
a
3
，
∴< br>a
1
，
a
4
是方程
x
－9
x
＋8＝0的两个根，且
a
1
<
a
4
，
解方程
x
－9
x
＋8＝0，
得
a
1
＝1，
a
4
＝8，
2
2
a
4
8
3
∴
q
＝＝＝8，
a
1
1
解得
q
＝2，
∴
a
n
＝
a
1
q

n
－1
＝2
n
－1
.
16

nn
∴
S
a
1
(
1－
q
)
1 ×
(
1－2
)
n
n
＝
1－
q
＝< br>1－2
＝2－1，
令
b
a
n
n
＋1
2
n
＝
S
＝
－1
)
·
(
2n
＋1
－1
)

n
S
n
＋1
(
2
n
＝
1
2
n
－1
－
1
2
n
＋1
－1
，
∴数列{
b
n
}的前
n
项和
T
1111 11
n
＝1－
3
＋
3
－
7
＋
7< br>－
15
＋…＋
2
n
－1
－
1
2n
＋1
－1

＝1－
1
2
n
＋1
－1
在正整数集上单调递增，
∴
TT
2
n
≥
1
＝
3
，
∵
λ
≤
T
n
，且对一切
n
∈N
*
恒成立，
∴
λ
≤
2
3
，
∴实数
λ
的最大值是
2
3
.



17