高中数学课堂导入案例研究-高中数学教学方法交流
第三节排列与组合
1．排列与排列数
(1)排列：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同
元素中
取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
有不同排列的个数叫做从n个不同元素中
m
取出m个元素的排列数，记作A
n
.
2．组合与组合数
(1)组合：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合
成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个组合．
(2)组合数：
从n个
不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的组合
数，记作C
m
n
.
3．排列数、组合数的公式及性质
排列数 组合数
A
m
n
m
C
n
＝
m
A
m
n?n－1?…?n－m＋1?
＝
m！
＝
n
A
n
＝n！；
m
A
n
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
公式
＝
n！
?n－m?！
n！
m！?n－m?！
C
0
n
＝1；
性质
0！＝1
n，m∈N
*
且m≤n
m
C
n
＝C
n<
br>n
－
－
m
_；
m1m
C
n
＋C<
br>m
＝C
n
＋
1
n
备注
[小题体验]
1．将8种不同的菜种任选4种种植在不同土质的4块地里，不同的种植方法有( )
A．24
C．70
B．1 680
D．840
4
解析：选B
由题可得，不同的种植方法有A
8
＝8×7×6×5＝1 680种．
2．(教材习
题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中
恰有1门相同的选法有___
_____种．
解析：依题意得知，满足题意的选法共有C
1
C
1
C
1
4
·
3
·
2
＝24种．
答案：24
3．(2019·舟山模拟)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为____
____．
3
解析：依题意得，满足题意的组成方法有C
1
2
A<
br>4
＝48个．
答案：48
1．易混淆排列与组合问题，区分的关
键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与
顺序有关，组合问题与顺序无关．
m
2．计算A
n
时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．
3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有
排列的个数，是
一个正整数．
[小题纠偏]
22
1．方程3A
3
x
＝2
A
x
＋
1
＋6A
x
的解为________．
解析：由排列数公式可知
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3且x∈N
*
，
∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x
2
－17x＋10＝0，
2
解得x＝5或x＝(舍去)，
3
∴x＝5.
答案：5
2．已知圆上有9个点，则任取三点构成一个三角形，这样的三角形的个数为________．
9×8×7
解析：由题可得，三角形的个数为C
3
＝84.
9
＝
3×2×1
答案：84
考点一
排列问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
解：(1)从7人中选5人排列，有A
5
7
＝7×6×5×4×3＝2
520(种)．
3
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A
7
种方法，余
下4人站后排，有A
4
4
种方法，共有
A
3
A
4<
br>7
·
4
＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排
甲，有5种方法，其余6人有A
6
共有5×A
6
6
种排列方法，6
＝3 600(种)．
5
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中
的两人，有A
2
6
种排法，其他有A
5
种
25
排法
，共有A
6
A
5
＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看
作一个整体与3名男生一起全排列，有A
4
4
种方法，再将女生全排
4
列，有A
4
A
4
4
种方法，共有A
4
·
4
＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A
4
4
种方法
，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安
3
排男生，有A
5
种方法，
共有A
4
A
3
4
·
5
＝1 440(种)．
[由题悟法]
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
优先法
捆绑法
插空法
定序问题
除法处理
间接法
[即时应用]
1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(
)
A．324
C．328
B．648
D．360
把符合条件的排列数直接列式计算
优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
素排列的空当中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正难则反、等价转化的方法
解析：选C 首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A
2
9
＝9×8＝72(个)，当0排在十位
11
时，有A
1
A
2
4
A
8
＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A
4<
br>·
8
＝4×8×7＝224(个)，由分类加法计数
原理，得符
合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．
2．(2019·湖州调研)A，B，C，D
，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能
同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成
一排的不同坐法共有______种．(用数
字作答)
解析：先排C，D，E学生，有A3
3
种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，
2322
有A
2
4
－A
2
种坐法，则共有A
3
(A
4<
br>－A
2
)＝60种坐法．
答案：60
3．(2019·诸暨模拟)
将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一
个小球，且每个盒子中的小球个数都不
同，则不同的放法有________种．
解析：根据要求，小球的分类有1＋2＋6；1＋3＋5；
2＋3＋4三类．所以满足要求的
不同的放法有3A
3
3
＝18种．
答案：18
考点二 组合问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中
各有
多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员．
32
解：(1)任选3名男运动员，方法数为C
6
，再选2名女运动员，方法数为C
4
，共有C
3
C
2<
br>6
·
4
＝120(种)方法．
(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，
由分类加法计数原理可得总选法数为
4233241
C
1
4
C
6
＋C
4
C6
＋C
4
C
6
＋C
4
C
6
＝
246(种)．
法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法
求
5
解，不同选法有C
5
10
－C
6
＝246(种
)．
[由题悟法]
1．解决组合应用题的2个步骤
(1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；
(2)局部分步用到分步乘法计数原理．
2．解决含有附加条件的组合问题的2种方法 通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对
于涉及“至少”
“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研
究进行直接求解
．
[即时应用]
1．(2019·嘉善模拟)跨越台阶，可以一步跨越一级，也可以一步跨
越两级，现有11级
台阶，准备8步跨完，则不同的跨越方式有( )
A．165种
C．56种
B．120种
D．28种
解析：选C 11级台阶
，8步跨完，则其中有3步是跨越两级的，则不同的跨越方式
有C
3
8
＝56
种．故选C.
2．(2019·南昌模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程
中至少
有1门不相同的选法共有( )
A．30种
C．60种
B．36种
D．72种
2
解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有
C
2
4
C
4
＝36(种)选法，甲、乙所选
的课程中完全相
同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36
－6＝30(种)．
3．平面内有10个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，则从中任取2点，
可以构成的不
同的直线的条数为________；从中任取3点，能够构成的不同的三角形的个
数为_______
_．
2
解析：构成直线的情况是，第一类，从不共线的6点中任取2点，可以构成C
6
＝15条
1
不同的直线；第二类，从共线的4点中任取一点，不共线的6点中任取一
点，可以构成C
1
6
C
4
＝24条不同的直线；第三类，从共线的4
点中任取2点，构成1条直线，所以满足条件的
不同的直线有15＋24＋1＝40条．
构成
三角形的情况是，第一类，从不共线的6点中任取3点，可以构成C
3
6
＝20个不同
1
的三角形；第二类，从不共线的6点中任取2点，共线的4点中任取1点，可以构成C
2
6
C
4
＝
60个不同的三角形；第三类，从不共线的6点中任取
1点，共线的4点中任取2点，可以
2
构成C
1
6
C
4＝36个不同的三角形．所以满足条件的三角形的个数为20＋60＋36＝116.
答案：40
116
考点三 排列、组合的综合应用?题点多变型考点——多角探明?
[锁定考向]
排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度
不大，
多为容易题或中档题．
常见的命题角度有：
(1)简单的排列与组合的综合问题；
(2)分组、分配问题．
[题点全练]
角度一：简单的排列与组合的综合问题
1．(201
8·镇海适应性考试)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人
只去一个景点，每个景
点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有( )
A．18种
C．36种
B．12种
D．24种
22
解析：选D 若
A景点只有一个人，则不同的方案有C
1
3
C
3
A
2
＝18种；若A景点有2
2
个人，则不同的方案有C
2
3
A
2
＝6种．所以不同的方案有18＋6＝24种．故选D.
角度二：分组、分配问题 2．(2019·广州五校联考)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这
3所
大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )
A．150种
C．240种
B．180种
D．540种
2
C
4
·C
2
2
31
C
5
＋C
5
×
＝25(种)，再将解析：选A 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有
2！
每组
学生分到3所学校有A
3
3
＝6种分法，共有25×6＝150(种)不同的保送方法
．
[通法在握]
1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路
(1)根据附加条件将要完成事件先分类．
(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．
(3)由分类加法计数原理计算总数．
2．分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题．
①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何
，都是一种情况，所以
分组后一定要除以A
n
n
(n为均分的组数)，避免重
复计数．
②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数
相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排
列数． ③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，
所以不需要除以
全排列数．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常采用的方法是“隔板法”．
[演练冲关]
1．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮
球兴趣
小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组
至少有一人报名，则不同的报名方法有( )
A．12种
C．36种
B．24种
D．72种
2
解析：选C 由题意可知，从4人中任
选2人作为一个整体，共有C
4
＝6(种)，再把这
个整体与其他2人进行全排列，对
应3个活动小组，有A
3
所以共有6×6＝36(种)
3
＝6(种)情况，<
br>不同的报名方法．
2．(2019·浙江六校联考)在某商场的促销活动中，A，B，C，D，
E五名顾客随机抽取
四个礼品，每人最多抽取一个，礼品中有两个相同的手机和两个相同的平板电脑，则
A，B
两人都抽到礼品的情况有( )
A．12种
C．24种
B．18种
D．48种
2
解析：选B 若A，B抽到的礼品不同，则有A2
2
A
3
种情况，若A，B抽到的礼品相同，
22212
则有C
1
2
C
3
种情况，又A
2
A
3<
br>＋C
2
C
3
＝18，所以根据分类计数原理可得，A，B两人都抽到礼
品共有18种情况．
3．(2019·杭州高三质检)有红，黄，蓝三种颜色的小球(除颜色
外均相同)各4个，都分
别标有字母A，B，C，D.任意取出4个，字母各不相同且三种颜色齐备的取
法有________
种．
11
C
2
4
C
2C
1
解析：首先根据所取的颜色按1,1,2分为三组，分法有种，然后将所得三组分配<
br>A
2
2
到三类球中，不同的分配方法有A
3
3
种，根
据分步乘法计数原理，知满足条件的取法共有
11
C
2
4
C
2
C
1
×A
3
2
3
＝36(种)．
A
2
答案：36
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1
．(2019·金华十校联考)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、
丙组每组至
少一人，则不同的分配方案的种数为( )
A．50
C．120
B．80
D．140
解析：选B 根据题意，分2种情况讨论：
①甲组有2人，首先选2个放到甲组，有C
2
5
＝10种，
2再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，有C
2
3
A
2<
br>＝6种，
∴共有10×6＝60种分配方案，
2
②当甲中有三个人时，有C
3
5
A
2
＝20种分配方案，
∴共有60＋20＝80种分配方案．
2．(2019·金丽衢十二校联考)
用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的能被3整除的三位数的
个数是( )
A．20
C．36
B．24
D．48
解析：选A 若没有0，则满足条
件的三位数有2A
3
3
＝12个；若有0，则满足条件的三
12
位数
有2C
2
A
2
＝8个．所以满足条件的三位数有20个．故选A.
3．(2019·绍兴质检)将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个小球，放入编号为1,2，…，
7的
七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有( )
A．98种
C．252种
B．196种
D．336种
2
解析：选D 若有一个盒子放2个
球，则不同的放法有C
2
3
A
7
＝3×42＝126种；若一个盒子只放1个球，则不同的放法有A
3
7
＝210种．所以不同的放法有126＋
210＝336种．
4．(2018·温州期末)某篮球队有12名球员，按位置区分，为3名中锋，
4名后卫，5名
前锋．某一场比赛进行中，教练员拟派出1名中锋，2名后卫和2名前锋的标准阵容．现
已
知中锋甲与后卫乙不能同上，则不同的选派方法种数有( )
A．180
C．120
B．150
D．108
22
解析：选B
若不考虑限制情况，则不同的选派方法有C
1
3
C
4
C
5<
br>＝180种，其中中锋甲
2
与后卫乙同上的选派方法有C
1
3
C
5
＝30种，所以满足条件的不同选派方法有180－30＝150
种．故选B.
5．(2018·北京西城区模拟)大厦一层有A，B，C，D四部电梯， 3人在一层乘坐电梯
上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答)
解
析：元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C
2
在将“2”
3<
br>＝3种，
2
个元素安排坐四部电梯有A
4
＝12种，则不同的乘坐方式
有3×12＝36种．
答案：36
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(20
19·舟山模拟)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，
每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法
总数是
( )
A．40
C．80
B．60
D．100
解析：选A 三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2种，由排列组合的知识可得，
不同的放
法总数是2C
3
6
＝40种．
2．(2018·绿色联盟适
应性考试)若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则
不同的分法数是( )
A．120
C．240
B．150
D．300
3
解析：选B 第一类，书的数量为1＋1＋3，则不同的分法有C
3
5A
3
＝60种；第二类，
2
C
2
5
C
3
书的数量为1＋2＋2，则不同的分法有
2
·A
3
所以不同的分法
有60＋90＝150种．
3
＝90种．
A
2
3．(2019·衢
州期末)小明有3双颜色相近的袜子(不分左右脚)．某天早晨，由于贪睡造
成晚起．为了防止上学迟到
，小明随手从这3双颜色相近的袜子中抓起两只袜子套在脚上，
拔腿就走．则小明穿的不是同一双袜子的
可能性有几种( )
A．22
C．28
B．24
D．30
1
解析：选B 根据条件，先从三双袜子中任选一双，选一只，有C
1
3C
2
＝6种不同的选
法；再从剩余的2双袜子中任选一只，有C
1
4
＝4种不同的选法．由分步乘法计数原理可知，
N＝6×4＝24种．故选B.
4．(2018·杭高3月模拟)某学校高三年级共有两个实验班，四个普通班，现每个班指定
1人，对
各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且实验班学生不检查实验班，则不
同安排方法的种数是(
)
A．360
C．168
B．288
D．144
解析：选B 由题可得，第一步，实验班的同学检查普通班，有A
2
4
＝12
种；第二步，
普通班的同学检查剩余的班，有A
4
所以不同的安排方法的种数是12×
24＝288种．
4
＝24种，
5．(2019·三明调研)将A，B，C，D，E
排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，
B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排
列数有( )
A．12种
C．40种
B．20种
D．60种
5
解析：选C (排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A
5<
br>，由于要求A，B，C
的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A
3
3
，可得这样的排列数
A
5
5
有
3×2＝40(种)．
A
3
6．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加
区分，将这9个球排成一列，有
________种不同的方法．(用数字作答)．
解析：第
一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C
2
9
种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C
3
7
种选法；第三步，
剩下的4个
3
位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有
C
2
9
C
7
＝1
260(种)．
答案：1 260
7．(2019·浙江高三模拟)7名同学准备报名两门选修课，每名同学
只能报一门，若每门
选修课至少要有2名同学报名，则不同的报名方式的种数为________． <
br>解析：7名同学准备报名两门选修课，每名同学只能报一门，每门选修课至少要有2名
同学报名，
其方式有2,5和3,4两种组合，①一门选修课2人报名，另一门5人报名，有
23222
C
2
7
A
2
种方式；②一门选修课3人报名，另一门4人报名，有C<
br>7
A
2
种方式．因此，共有C
7
A
2
2＋C
3
7
A
2
＝112种报名方式．
答案：112
8．(2019·黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，
2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种
数为___
_____．
2
解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N
1<
br>＝A
3
3
×A
4
＝72(种)，女
2
生甲排
第一个且2位男生不连续出场的排法共有N
2
＝A
2
2
×A
3
＝12(种)，所以出场顺序的排
法种数为N＝N
1
－N
2
＝60.
答案：60
9．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙
、丙、丁四个人，每人至少一
张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为___
_____(用数字作答)．
解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少
一张，至多两
张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这
五个数用3
个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C
3
4
＝4(种)情况，
再对应到4个人，有A
4
4
＝24(种)情况
，则共有4×24＝96(种)情况．
答案：96
12
10．(1)已知C
n
n
＋
1
＝A
n
－
1
＋1，求n；
－
1m
(2)若C
m
＞3C
8
，求m.
8
－
12
解：(1)由C
n
n
＋
1
＝A<
br>n
－
1
＋1得
－
?n＋1?n
＝(n－1)(n－2)＋1.
2
即n
2
－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.
由A
2
n
－
1
知，n≥3，故n＝6.
(2)原不等式可化为
解得m＞
27
.
4
8！3×8！
＞，
?m－1?！?9－m?！m！?8－m?！
∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.
又m是整数，∴m＝7或m＝8.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．甲、乙等5人在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的
排法有(
)
A．12种
C．48种
B．24种
D．120种
2
解析：选B 甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有A
4
4
A
2
种排法，甲、
322132
乙相邻且在两端有C
1故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A
4
2
A
3
A
2
种排法，
4
A
2
－C
2
A
3
A<
br>2
＝
24(种)．
2．(2019·浙江名校协作体联考)安排甲、乙、丙、
丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金
华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同
的安排方式共有
________种，学生甲被单独安排去金华的概率是________．
解析：先将甲、乙、丙、丁、戊5名大学生分为三组，每组至少有1名大学生，有两
种情况：第一种情况
是，各组人数分别是3,1,1，共有C
3
5
＝10种分法；第二种情况是，各组2
C
1
5
C
4
人数分别是1,2,2，共有
2
＝15种分法．由以上两种情况得甲、乙、丙、丁、戊5名大学
A
2
生分为三
组且每组至少有1名大学生共有25种分法，再将这三组大学生分到三个城市，每
个城市一组，共有3
25A
3
＝150
C
4
?
2
C1
种安排方式；其中学生甲被单独安排去金华有
?
4
＋
2
A
2
＝
A
2
??
2
147
14种，所以
学生甲被单独安排去金华的概率是＝.
15075
答案：150
7
75
3．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
解：(1)分三步
完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C
3
4
种情况；第二步，在5个奇
7
数中取4个，有C
4
5
种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A
7
种情况．
47
所以符合题意的七位数有C
3
4
C
5
A
7
＝100 800(个)．
435
(2)上述七
位数中，3个偶数排在一起的有C
3
4
C
5
A
3
A
5
＝14 400(个)．
34342
(3)在(1)中的七位数中，3个
偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C
4
C
5
A
3
A<
br>4
A
2
＝5
760(个)．