2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第六章 3 第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和


1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的比等于同一常数(不为零)，那么这个
数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用 字母q表示，定义的表达式为
a
n
＋
1
＝q(q≠0，n∈N
*
)．
a
n
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中
项?G
2
＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
q
n
1
．
na
1
，q＝1，
?
?
(2)前n项和公式：S
n
＝
?
a
1
（1－q
n
）a
1
－a
n
q

＝，q≠1.
?
1－q
?
1－q
3．等比数列的性质 已知数列{a
n
}是等比数列，S
n
是其前n项和(m，n，p，q，r ，k∈N
*
)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
＝a
2
r
；
(2)数列a
m
，a
m
＋
k
，a
m
＋2k
，a
m
＋
3k
，…仍是等比数列；
(3)数列S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…仍是等比数列(此时{a
n
}的公比q≠－1)．
4．等比数列的单调性
当q>1，a
1
>0或01< br><0时，{a
n
}是递增数列；
当q>1，a
1
<0或0< q<1，a
1
>0时，{a
n
}是递减数列；
当q＝1时，{a
n
}是常数列．
5．等比数列与指数函数的关系
a
1
n
当q≠1时，a
n
＝·q，可以看成函数y＝cq
x
，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，
q
因此数列{a
n
}各 项所对应的点都在函数y＝cq
x
的图象上．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
－

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数
列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b
2
＝ac.( )
(3)满足a
n
＋
1
＝qa
n
(n∈N
*
，q为常数)的数列{a
n
}为等比数列．( )
(4)如果{a
n< br>}为等比数列，b
n
＝a
2n
－
1
＋a
2n
，则数列{b
n
}也是等比数列．( )
(5)等比数列中不存在数值为0的项．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
[教材衍化]
1．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插 入两个数，使它们同这两个数成等比数
列，则这两个数为________．
解析：设该数列的公比为q，由题意知，
192＝3×q
3
，q
3
＝64，所以q＝4.
所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.
答案：12，48
1< br>2．(必修5P51例3改编)已知{a
n
}是等比数列，a
2
＝2， a
5
＝，则公比q＝________．
4
a
5
11
解析：由题意知q
3
＝＝，所以q＝.
a
2
82
1
答案：
2
S
10
3 1
3．(必修5P61A组T1改编)等比数列{a
n
}的首项a
1
＝－1，前n项和为S
n
，若＝，
S
5
32
则{a
n
}的通项公式a
n
＝________．
S
10
－S< br>5
S
10
311
解析：因为＝，所以＝－，因为S
5
，S
10
－S
5
，S
15
－S
10
成等比 数列，且公
S
5
32S
5
32
n－1n－1
11< br>11
????
比为q
5
，所以q
5
＝－，q＝－，则 a
n
＝－1×
?
－
2
?
＝－
?
－
2
?
.
322
1
－
?
答案：－
?
?
2
?
[易错纠偏]
n－1

(1)忽视项的符号判断；
(2)忽视公比q＝1的特殊情况；
(3)忽视等比数列的项不为0.
1．在等比数列{a
n
}中，a
3
＝4，a
7
＝16，则a
3
与a
7
的等比中项为 ________．
解析：设a
3
与a
7
的等比中项为G，因为a
3
＝4，a
7
＝16，所以G
2
＝4×16＝64，所以G
＝±8.
答案：±8

2．数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝a
n
(a≠0)，则其前n项和S
n
＝________．
解析：因为a≠0，a
n
＝a
n
，所以{a
n
}是以a为首项，a为公比的等比数列．当a＝1时，
a（1－a
n
）
S
n
＝n；当a≠1时S
n
＝.
1－a< br>n，a＝1，
?
?
答案：
?
a（1－a
n
）

，a≠0，a≠1
?
?
1－a
3．已知x，2x＋2，3 x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．
解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，
所以(2x＋2)
2
＝x(3x＋3)，
即x
2
＋5x＋4＝0，
解得x＝－1或x＝－4.
当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，
不是等比数列，舍去．
答案：－4


等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是 高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度
为中、低档题．主要命题角度有：
(1)求首项a
1
、公比q或项数n；
(2)求通项或特定项；
(3)求前n项和．
角度一 求首项a
1
、公比q或项数n
( 1)已知S
3
＝a
2
＋10a
1
，a
5
＝ 9，则a
1
等于( )
1
A.
3
1
C.
9
1
B．－
3
1
D．－
9
(2)设数列{a
n
}是等比数列 ，前n项和为S
n
，若S
3
＝3a
3
，则公比q＝____ ____．
【解析】 (1)设等比数列{a
n
}的公比为q，
由S3
＝a
2
＋10a
1
，得a
1
＋a
2
＋a
3
＝a
2
＋10a
1
，即a
3
＝9a
1
，q
2
＝9，
1
又a
5
＝a
1
q
4
＝9，所以a
1
＝.
9
a
1
（1－q
3
）
1
(2)当q≠1时，＝3a
1
q
2
，解得q＝1(舍去)或－.当q＝1时，S
3
＝a
1
＋a
2
＋a
3
2
1－q

＝3a
3
也成立．
1
【答案】 (1)C (2)1或－
2
角度二 求通项或特定项
已知各项都为正数的数列{a
n
}满 足a
1
＝1，a
2
n
－(2a
n
＋
1－1)a
n
－2a
n
＋
1
＝0，则a
n
＝
________．
【解析】 由a
2
n
－(2a
n
＋
1
－1)a
n
－2a
n
＋
1
＝ 0得2a
n
＋
1
(a
n
＋1)＝a
n
(a
n
＋1)．
a
n
＋
1
1
因为{a
n
}的各项都为正数，所以＝.
a
n
2
1
故{a
n
}是首项为1，公比为的等比数列，
2
1
因此a
n
＝
n
－
1
.
2
【答案】
2
n
－
1

1
角度三 求前n项和
(2020·温州模拟)已知数列{a
n
}是递增的等比数列，a
1
＋a
4
＝9，a
2
a
3
＝8，则数列
{a
n
}的前n项和等于________．
3?
?
a
1
＋a
1
q＝9，
【解析】 设等比数列的公比为q，则有
?
2

?
a
1
·q< br>3
＝8，
?
?
?
?
a
1
＝1，?
解得
?
或
?
1
?
?
q＝2
?
q＝.
a
1
＝8，
?
?
a
1
＝ 1，
又{a
n
}为递增数列，所以
?

?
?
q＝2，
?
2
1－2
n
n
所以S
n
＝＝ 2－1.
1－2
【答案】 2
n
－1

解决等比数列有关问题的三种常见思想方法
(1)方程思想：等比数列中有五个量a
1
，n，q，a
n
，S
n
，一般可以“知三求二”，通过列
方程(组)求关键量a
1
和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论思想：因为等比数 列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某
一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进 行分类讨论．
a
1
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把q
n
或当成整体进行求解．
1－q

1．设等比数列{a
n}的各项均为正数，其前n项和为S
n
，若a
1
＝1，a
3＝4，S
k
＝63，则k
＝( )

A．4
C．6
B．5
D．7
a
3
解析：选C.设等比数列{a
n
}的公比为q，由已知a
1
＝1，a
3
＝4，得q
2
＝＝4.又{a
n
}的
a
1
各项均为正数，
1－2
k
所以q＝2.而S
k
＝＝63，
1－2
所以2
k
－1＝63，
解得k＝6.
2．(20 20·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{a
n
}的前n项和S
n
满 足：S
n
和2的
等比中项等于a
n
和2的等差中项，则a
1
＝________，S
n
＝________．
a
n
＋ 2（a
n
＋2）
2
解析：由题意知＝2S
n
，平方可得S< br>n
＝，①
28
a
1
＋2
由a
1
＝ S
1
得＝2a
1
，从而可解得a
1
＝2.
2（a
n
－
1
＋2）
2
又由①式得S
n
－
1
＝(n≥2)，②
8
（a
n
＋2）
2
（a
n
－
1
＋2）
2
①－②可得a
n
＝ S
n
－S
n
－
1
＝－(n≥2)，
88
整理得(a
n
＋a
n
－
1
)(a
n
－a< br>n
－
1
－4)＝0，
因为数列{a
n
}的各项都是正数，
所以a
n
－a
n
－
1
－4＝0，即a
n
－a
n
－
1< br>＝4.
故数列{a
n
}是以2为首项4为公差的等差数列，
n（n－1）
所以S
n
＝2n＋×4＝2n
2
.
2
当n＝1时，S
1
＝a
1
＝2.
故S
n
＝2n
2
.
答案：2 2n
2


等比数列的判定与证明
(1)已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
2
＝12，a
3
a
5
＝4，则下列说法正确的
是( )
A．{a
n
}是单调递减数列
B．{S
n
}是单调递减数列
C．{a
2n
}是单调递减数列
D．{S
2n
}是单调递减数列

35
(2)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，n∈N
*
.已知a
1
＝1，a
2
＝，a
3
＝，且当n≥2时，4S
n
＋
2
24
＋5S
n
＝8S
n
＋
1
＋S
n
－
1
.
①求a
4
的值；
1
??
②证明：
?
a< br>n
＋
1
－
2
a
n
?
为等比数列．
??
【解】 (1)选C.由于{a
n
}是等比数列，则a
3
a
5
＝a
2
4
＝4，又a
2
＝12，则a
4
＞0，a
4
＝2，
1
?
16
－
q2
＝，当q＝－时，{a
n
}和{S
n
}不具有单调性，选项A 和B错误；a
2n
＝a
2
q
2
n
2
＝12 ×
?
?
6
?
66
n－1
单调递减，选项C正确；当 q＝－
6
时，{S
2n
}不具有单调性，选项D错误．
6
335
35
1＋
?
＝8
?
1＋＋
?
＋1， (2)①当n＝2时，4S
4
＋5S
2
＝8S
3
＋S
1
，即4(1＋＋＋a
4
)＋5
?
?
2
??24
?
24
7
解得a
4
＝.
8
②证 明：由4S
n
＋
2
＋5S
n
＝8S
n
＋< br>1
＋S
n
－
1
(n≥2)，得4S
n
＋2
－4S
n
＋
1
＋S
n
－S
n
－
1
＝4S
n
＋
1
－
4S
n
( n≥2)，即4a
n
＋
2
＋a
n
＝4a
n
＋
1
(n≥2)．
5
因为 4a
3
＋a
1
＝4×＋1＝6＝4a
2
，
4所以4a
n
＋
2
＋a
n
＝4a
n
＋< br>1
，
1
a
n
＋
2
－a
n
＋
1
2
4a
n
＋
2
－2a
n
＋< br>1
4a
n
＋
1
－a
n
－2a
n＋
1
所以＝＝
1
4a
n
＋
1
－2a
n
4a
n
＋
1
－2a
n
a
n＋
1
－a
n
2
＝
2a
n
＋
1
－a
n
1
＝，
2（2a
n
＋
1
－a
n
）
2
1
??
11
所以数列
?
a
n
＋
1
－
2
a
n
?
是以a< br>2
－a
1
＝1为首项，为公比的等比数列．
22
??

(变问法)在本例(2)条件下，求数列{a
n
}的通项公式．
1
?
n－1
1
?
解：由本例(2)的②知，a
n
＋
1
－a
n
＝
?
2
?
，
2
即
an
＋
1
a
n
－
n
＝4.
n＋11
1
??
??
?
2
?
?
2
?
?
?
a
n
n
?
?
a
1
a
n
所以数列
?
?
1
?
?
是以＝2为首项， 4为公差的等差数列，所以
n
＝2＋4(n－1)＝4n－2，
1
1
??
?
?
?
2
?
?
?
2
?2
?
?
1
?
即a
n
＝(2n－1)·
?
2
?
n－1
，

?
1
?
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝(2n－1)·
?
2
?

n－1
.
等比数列的判定方法
a
n
＋
1
a
n
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或 ＝q(q为非零常数且n≥2)，则{a
n
}是等比数
a
n
a
n
－
1
列．
*
(2)中项公式法：若数列{a
n
}中a
n
≠0且a
2

n
＋
1
＝an
·a
n
＋
2
(n∈N)，则数列{a
n
}是 等比数列．
(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a
n
＝c·q
n1
(c，q均为不为0的常数，n∈N
*
)，
则{a
n
}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{a
n
}的前n项和S
n< br>＝k·q
n
－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，
则{a
n
}是等比数列．
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法 常用于选
择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
1
(2020·瑞安市龙翔中学高三月考)各项为正的数列{a
n
}满足a
1
＝，a
n
＋
1
2
＝＋a
n
(n ∈N
*
)．
a
2
n
－
λ
?
a< br>n
＋
1
?
?
是等比数列，并求其公比； (1)取λ＝an
＋
1
，求证：数列
?
?
a
n
?(2)取λ＝2时令b
n
＝
1
，记数列{b
n
}的前n 项和为S
n
，数列{b
n
}的前n项之积为T
n
，
a
n
＋2
＋
求证：对任意正整数n，2
n
1
Tn
＋S
n
为定值．
a
2
n
解：(1)由λ＝ a
n
＋
1
，得a
n
＋
1
＝＋a
n
，
a
n
＋
1
2
所以a
2
n＋
1
－a
n
＋
1
a
n
－a
n
＝0.
?
a
n
＋
1
?
－
an
＋
1
－1＝0， 两边同除a
2
n
可得：
a
n
?
a
n
?
a
n
＋
1
1 ±5
解得＝.
a
n
2
a
n
＋
1
1＋5
因为a
n
>0，所以＝为常数，
a
n
2
?
a
n
＋
1
?
1＋5
?
是等比数列，公比为 故数列
?
.
2
?
a
n
?
2
a< br>2
n
(2)证明：当λ＝2时，a
n
＋
1
＝＋an
，
2
得2a
n
＋
1
＝a
n
(a
n
＋2)，

11a
n
所以b
n
＝＝·.
a
n
＋2< br>2
a
n
＋
1
1a
1
??
1a
2
?
?
1a
n
?
?
1
?
a1
?
1
?
·
所以T
n
＝b
1
·b
2
…b
n
＝
?
?
2
·
a2
??
2
·
a
3
?
…
?
2< br>a
n
＋
1
?
＝
?
2
?
a< br>n
＋
1
＝
?
2
?
2a
n
＋
1
－2a
n
11a
n
a
2
1
n< br>又b
n
＝·＝＝＝－，
2
a
n
＋
1
2a
n
a
n
＋
1
a
n
a
n＋
1
2a
n
a
n
＋
1
111
所以S
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
n
＝－＝ 2－，
a
1
a
n
＋
1
a
n
＋< br>1
故2
n
＋
1
nn＋1
，
a
n< br>＋
1
1
T
n
＋S
n
＝2
n
＋
1
1
?
·
?
?
2
?
n＋11
a
n
＋
1
＋2－
1
a
n
＋
1
＝2为定值．

等比数列的性质(高频考点)
等 比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等．主要
命题角度有：
(1)等比数列项的性质的应用；
(2)等比数列前n项和的性质的应用．
角度一 等比数列项的性质的应用
a
1
a
17
(1)在等比数列{an
}中，a
3
，a
15
是方程x
2
－6x＋8 ＝0的根，则的值为( )
a
9
A．22
C．－22或22
B．4
D．－4或4
－
22
(2)(2020·温州八校联考) 数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n
1
，则使不 等式a
2
1
＋a
2
＋…＋a
n
<5
×2< br>n
＋
1
成立的n的最大值为( )
B．3
D．5
A．2
C．4
【解析】 (1)因为a
3
，a
15
是方程x
2
－6x＋8＝0的根，
所以a
3
a
15
＝8，a
3
＋a
15＝6，
易知a
3
，a
15
均为正，由等比数列的性质知，a< br>1
a
17
＝a
2
9
＝a
3
a
15
＝8，
所以a
9
＝22，
－
a
1
a
17
＝22，故选A.
a
9
－
2
＝4
n
1
， (2)因为an
＝2
n
1
，a
n
所以
22
a
2
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝
1×（1－4
n
）
1
n
＝(4－1)．
3
1－4
＋
n
122
因为a
2
，
1
＋a
2
＋…＋a
n
<5×2
1
＋
所以 (4
n
－1)<5×2
n
1
，
3
因为2
n
(2
n
－30)<1，对n进行赋值，可知n的最大值为4.

【答案】 (1)A (2)C
角度二 等比数列前n项和的性质的应用
等比数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
3
＝8，a
5
＋a
7
＝4，则a
9
＋ a
11
＋a
13
＋a
15
的值为( )
A．1
C．3
B．2
D．5
【解析】 法一：因为{a
n
}为等比数列，所以a
5
＋a
7
是a
1
＋a
3< br>与a
9
＋a
11
的等比中项，
所以(a
5
＋ a
7
)
2
＝(a
（a
5
＋a
7
）
2
4
2
(a
9
＋a
11
)，故a
9
＋a
11
＝＝＝2.
1
＋a
3
)·
8
a
1
＋a
3
同理，a
9
＋a
11
是a
5
＋a
7
与a
13
＋a
15
的等比中 项，
所以(a
9
＋a
11
)
2
＝(a
5
＋a
7
)(a
13
＋a
15
)，
（a< br>9
＋a
11
）
2
2
2
故a
13＋a
15
＝＝＝1.
4
a
5
＋a
7
所以a
9
＋a
11
＋a
13
＋a
15
＝2 ＋1＝3.
法二：在等比数列{a
n
}中，
a
5
＋a
7
1
得q
4
＝＝，
a
1
＋a
3
2
1
所以a
9
＋a
11
＋a
13
＋a
15
＝q
8
(a
1
＋a
3
＋a
5
＋a
7
)＝(8＋4)＝3.
4
【答案】 C

等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：
(1)通项公式的变形；
(2)等比中项的变形；
(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具 体的变化特征即可找出解
决问题的突破口．

1．已知等比数列{a
n}中，a
4
＋a
8
＝－2，则a
6
(a
2＋2a
6
＋a
10
)的值为( )
A．4
C．8
B．6
D．－9
222
解析：选A.a
6
(a
2
＋2a
6
＋a
10
)＝a
6
a
2
＋2a
2
6
＋a
6
a
10
＝a
4
＋2a
4
a
8
＋a
8
＝(a
4
＋a
8
)，因为a
4
＋a
8
＝－2，所以a< br>6
(a
2
＋2a
6
＋a
10
)＝4. 2．设等比数列{a
n
}中，前n项和为S
n
，已知S
3
＝8，S
6
＝7，则a
7
＋a
8
＋a
9
等于( )
1
A.
8
1
B．－
8

57
C.
8
55
D.
8
解析：选A.因为a
7
＋a
8
＋a
9
＝S
9
－S
6
，且S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
也成等比数列，即8，－1，
11
S
9
－S
6
成等比数列，所以8(S
9
－S
6
)＝1 ，即S
9
－S
6
＝.所以a
7
＋a
8
＋a
9
＝.
88
3．(2020·杭州学军中学高三月考)已知数列{a
n
}满足a
1
＝2且对任意的m，n∈N
*
，都有
an
＋
m
＝a
n
，则a
3
＝________； {a
n
}的前n项和S
n
＝________．
a
ma
n
＋
m
解析：因为＝a
n
，
a
m
所以a
n
＋
m
＝a
n
·a
m
，
所以a
3
＝a
1
＋
2
＝a
1
·a
2
＝a
1
·a
1
·a
1
＝2
3< br>＝8；
令m＝1，
则有a
n
＋
1
＝a
n
·a
1
＝2a
n
，
所以数列{a
n
}是首项为a
1
＝2，公比q＝2的等比数列， < br>2（1－2
n
）
n
＋
1
所以S
n
＝ ＝2－2.
1－2
答案：8 2
n
1
－2

思想方法系列4 分类讨论思想求解数列问题
等差数列{a
n
}的前n项 和为S
n
，数列{b
n
}是等比数列，满足a
1
＝3，b< br>1
＝1，b
2
＋S
2
＝10，a
5
－2b< br>2
＝a
3
.
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
2
?
?
S
，n为奇数，
(2)令c
n
＝
?
n
设数列{c
n
}的前n项和为T
n
，求T
2n
.
?
?
b
n
，n为偶数，
【解】 (1)设数列{a
n
}的公差为d，数列{b
n
}的公比为q，
?
b
2
＋S
2
＝10，
?
q＋6＋d＝10，
??
由
?
得
?

??
a－2b＝a，3＋4d－ 2q＝3＋2d，
?
5
?
23
?
?
d＝2，
解得
?

?
q＝2，
?
＋
所以a
n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，b
n
＝2
n
1
.
n （a
1
＋a
n
）
(2)由a
1
＝3，a
n
＝2n＋1，得S
n
＝＝n(n＋2)，
2
2
?
?
n（n＋2）
，n为奇数，
则c
n
＝
?

－
?
?
2
n
1
，n为偶数，

－

11
?
?
n
－
n＋2
，n为奇数，
即c
n
＝
?

－
?
?
2
n
1
，n为偶数，
所以T
2n
＝(c
1
＋c
3
＋…＋c
2n
－
1
)＋(c
2< br>＋c
4
＋…＋c
2n
)
11
??
111< br>32
n
－
1
－
1－
?
＋
?
－
?
＋…＋
?
＝
?
?
＋(2＋2＋…＋2) 2n－12n＋1
?
3
??
35
?
????
2 （1－4
n
）
12n2
＝1－＋＝＋(4
n
－1)．
2n＋11－42n＋1
3

分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：
(1)已知S
n
与a
n
的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．
(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．
(3)项数的奇、偶数讨论．
(4)等比数列的单调性的判断注意与a
1
，q的取值的讨论．
1．(2020·宁波模拟)设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若 S
n
＝2
n
1
＋λ，则λ＝( )
A．－2
C．1
B．－1
D．2
＋
解析：选A.法一：当n＝1时，a
1
＝S
1
＝4＋λ.
当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1＝(2
n
＋
1
a
n
＋
1
2
n
1
nn
＋λ)－(2＋λ)＝2，此时＝
n
＝2.
an
2
＋
a
2
因为{a
n
}是等比数列，所以＝ 2，
a
1
即
4
＝2，解得λ＝－2.故选A.
4＋λ< br>法二：依题意，a
1
＝S
1
＝4＋λ，a
2
＝S2
－S
1
＝4，a
3
＝S
3
－S
2< br>＝8，
2
因为{a
n
}是等比数列，所以a
2
2< br>＝a
1
·a
3
，所以8(4＋λ)＝4，解得λ＝－2.故选A. < br>2．已知等比数列{a
n
}中a
2
＝1，则其前3项的和S
3
的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：选D.设等比数列{a
n
}的公比为q，
1
1
＋1＋q
?
＝1＋q＋. 则S
3
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＝a
2
?
?
q
?
q
1
当公比q>0时，S
3
＝1＋q＋≥1＋2
q
1
q·＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；
q
1
－q－
?
≤1－2当公比q<0时，S
3
＝1－
?
q
??
等号成立．
?
－
1
?
＝－1，当且仅当q＝－1时，（－q）·
?
q
?

所以S
3
∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

[基础题组练]
5
1．(2020·宁波质检)在单调递减的等比数列{a
n
}中，若a3
＝1，a
2
＋a
4
＝，则a
1
＝( )
2
A．2
C.2
B．4
D．22
5
解析：选B.在等比数列{a
n
}中，a
2< br>a
4
＝a
2
3
＝1，又a
2
＋a
4
＝，数列{a
n
}为递减数列，所
2
1a
4
11a
2
以a
2
＝2，a
4
＝，所以q
2
＝＝， 所以q＝，a
1
＝＝4.
2a
2
42q
S
82．(2020·衢州模拟)设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和，a
2
－8a
5
＝0，则的值为( )
S
4
1
A.
2
C．2
17
B.
16
D．17
a
5
11
解析 ：选B.设{a
n
}的公比为q，依题意得＝＝q
3
，因此q＝.注意到a< br>5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
a
2
82
S
8
17
＝q
4
(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)，即有S
8
－S
4< br>＝q
4
S
4
，因此S
8
＝(q
4
＋ 1)S
4
，＝q
4
＋1＝，选B.
S
4
163．(2020·瑞安四校联考)已知数列{a
n
}的首项a
1
＝2，数 列{b
n
}为等比数列，且b
n
＝
若b
10
b11
＝2，则a
21
＝( )
A．2
9

C．2
11

B．2
10

D．2
12

a
n
＋
1
，
an
a
n
＋
1
a
2
a
2
a3
解析：选C.由b
n
＝，且a
1
＝2，得b
1
＝＝，a
2
＝2b
1
；b
2
＝，a
3
＝ a
2
b
2
＝2b
1
b
2
；
an
a
1
2a
2
a
4
b
3
＝， a
4
＝a
3
b
3
＝2b
1
b
2< br>b
3
；…；a
n
＝2b
1
b
2
b< br>3
…b
n
－
1
，所以a
21
＝2b
1
b
2
b
3
…b
20
，又{b
n
}为等比
a
3
数列，所以a
21
＝2(b
1
b20
)(b
2
b
19
)…(b
10
b
11
)＝2(b
10
b
11
)
10
＝2
1 1
.
4．(2020·丽水市高考数学模拟)设等比数列{a
n
}的前n项 和为S
n
，下列结论一定成立的
是( )
A．a
1
＋a
3
≥2a
2

C．a
1
S
3
>0
B．a
1
＋a
3
≤2a
2

D．a
1
S
3
<0
解析：选C.选项A，数列－1，1， －1为等比数列，但a
1
＋a
3
＝－2<2a
2
＝2，故A 错误；
选项B，数列1，－1，1为等比数列，但a
1
＋a
3
＝2> 2a
2
＝－2，故B错误；选项D，数列1，
－1，1为等比数列，但a
1< br>S
3
＝1>0，故D错误；对于选项C，a
1
(a
1
＋a
2
＋a
3
)＝a
1
(a
1
＋a
1
q＋

a
1
q
22
)＝a
2
1
(1＋q＋q)，因为等比数列的项不为
2
故a
2
1
(1＋q＋q)>0，故C正确．
0，故a
2
1
>0 ，而
1
3
q＋
?
＋>0， 1＋q＋q＝
?
?2
?
4
2
2
5．(2020·郑州市第一次质量预测)已知数列 {a
n
}满足a
1
a
2
a
3
…a
n
＝2n
2
(n∈N
*
)，且对任意
111
n∈N
*
都有＋＋…＋a
1
a
2
a
n
1
A．(，＋∞)
3
2
C．(，＋∞)
3
1
B．[，＋∞)
3
2
D．[，＋∞)
3
a
1
a
2
a
3
…a
n
2n
2
－
解析：选D.依题意得，当 n≥2时，a
n
＝＝＝2n
2
－(n－1)
2
＝2
2
n
2
a
1
a
2
a
3
…a
n
－
1
2（n－1）
1
，又a
1
＝2
1
＝2
2
×
1
－
1
11111
－
， 因此a
n
＝2
2
n
1
，＝
2
n
－
1
，数列{}是以为首项，为公比的等比数
a
n
2
a
n
24
11
（1－
n
）
24
12122
列，等比数列{}的前n项和等于＝(1－
n
)<，因此实数t的取值范围是[，＋
a
n
13433
1－
4
∞)，选D.
6．(2020·江南 十校联考)设数列{a
n
}是各项均为正数的等比数列，T
n
是{a
n
}的前n项之
1
积，a
2
＝27，a
3
a
6
a
9
＝，则当T
n
最大时，n的值为( )
27
A．5或6
C．5
B．6
D．4或5
11
解析：选D.数列{a
n
}是各项均为正数的等比数列，因为a
3
a
6
a
9
＝，所以a
3
6
＝，所以
27 27
1
1
?
n－2
?
1
?
n－5
1a
6
3
11
?
n
－
24
a
6< br>＝.因为a
2
＝27，所以q＝＝＝，所以q＝.所以a
n
＝a
2
q＝27×
?
3
?
＝
?
3
?
.
3a
2
27813
1
?
令a
n
＝
?
?
3
?
n－5
＝1，解得n＝5，则当T
n
最 大时，n的值为4或5.
7．已知等比数列{a
n
}为递增数列，且a
2< br>5
＝a
10
，2(a
n
＋a
n
＋
2
)＝5a
n
＋
1
，则数列{a
n
}的通项
公式a
n
＝________．
429
解析：设数列{a
n
}的公比为q，由a
2
5
＝a
10
，得(a
1
q )＝a
1
·q，即a
1
＝q.
1
q＝舍去
?，所以a
n
＝a
1
·q
n
－
1
又由2 (a
n
＋a
n
＋
2
)＝5a
n
＋
1
，得2q
2
－5q＋2＝0，解得q＝2
?
?
2
?
＝2
n
.
答案：2
n

8．已知等比数列{a
n
}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数
项之和为170 ，则这个等比数列的项数为________．

解析：由题意得 a
1
＋a
3
＋…＝85，a
2
＋a
4
＋… ＝170，
所以数列{a
n
}的公比q＝2，
a
1
（1 －q
n
）1－2
n
由数列{a
n
}的前n项和公式S
n
＝，得85＋170＝，解得n＝8.
1－q1－2
答案：8
9．( 2020·温州市十校联合体期初)设等比数列{a
n
}的公比为q，前n项和为S
n
，若S
n
＋
1
，
S
n
，S
n＋
2
成等差数列，则q的值为________．
解析：设等比数列{a
n
}的公比为q，前n项和为S
n
，且S
n
＋
1
，S
n
，S
n
＋
2
成等差数列，
则2S
n
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋
2
，
若q＝1，则S
n
＝na
1
，等式显然不成立，
a
1
（1－q
n
）a
1
（1－q
n
1
）a
1
（1－q
n
2
）
若q≠1，则为2·＝＋，
1 －q1－q1－q
故2q
n
＝q
n
1
＋q
n
2
，
即q
2
＋q－2＝0，
因此q＝－2.
答案：－2
10．(2020·台州市高考模拟)已知数列{a
n
}的前m (m≥4)项是公差为2的等差数列，从第
m－1项起，a
m
－
1
， a
m
，a
m
＋
1
，…成公比为2的等比数列．若a
1
＝－2，则m＝________，{a
n
}
的前6项和S
6＝________．
解析：由a
1
＝－2，公差d＝2，得a
m－
1
＝－2＋2(m－2)＝2m－6，
a
m
2m－4
a
m
＝－2＋2(m－1)＝2m－4，则＝＝2，
a
m
－
1
2m－6
所以m＝4；
所以S
6
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋ a
5
＋a
6

＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28.
答案：4 28
11．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n< br>，等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
，a
1
＝－1 ，b
1
＝1，a
2
＋b
2
＝2.
(1)若a3
＋b
3
＝5，求{b
n
}的通项公式；
(2)若T
3
＝21，求S
3
.
解：设{a
n< br>}的公差为d，{b
n
}的公比为q，则a
n
＝－1＋(n－1)d， b
n
＝q
n
1
.
由a
2
＋b
2
＝2得d＋q＝3.①
(1)由a
3
＋b
3
＝5得2d＋q
2
＝6.②
联立①和②解得
?
?
d＝3，
?
?
d＝1，
?
(舍去)，
?

??
q＝0q＝2.
??
－
＋＋
＋＋

因此{b
n
}的通项公式为b
n
＝2n
－
1
.
(2)由b
1
＝1，T
3
＝21得q
2
＋q－20＝0，
解得q＝－5，q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S
3
＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S
3
＝－6.
12．(2020·瑞安市 龙翔中学高三月考)已知数列{a
n
}是首项为2的等差数列，其前n项和
11
S
n
满足4S
n
＝a
n
·a
n
＋
1
.数列{b
n
}是以为首项的等比数列，且b
1
b
2< br>b
3
＝.
264
(1)求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式； < br>11111
(2)设数列{b
n
}的前n项和为T
n
，若对任 意n∈N
*
不等式＋＋…＋≥
λ
－T
n
恒成
S1
S
2
S
n
42
立，求λ的取值范围．
解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d，
由题意得4a
1＝a
1
(a
1
＋d)，解得d＝2，所以a
n
＝2n，
3
＝由b
1
b
2
b
3
＝b
211
?b
2
＝，
644
b
2
1
从而公比q＝＝，
b
1
2
1
?
所以b
n
＝
?
?
2
?
.
1111
(2)由(1)知＝＝－，
S
n
n（n＋1）n
n＋1
11
?
111
1111
1－
?
＋
?
－
?
＋…＋
?
n
－
所以＋＋…＋＝
?
＝1－，
2
??
23
?
S
1
S
2
S
n
?
?
n＋1
?
n＋1
1
1
?
1－
n
?
2
?
2
?
1
又T
n
＝＝1－
n
，
12
1－
211111
所以对任意n∈N
*
，＋＋…＋≥
λ
－T
n

S
1
S
2
S
n
42
3111< br>等价于－－
n
＋
1
≥
λ
，
2
n＋ 12
4
311
因为－－
n
＋
1
对n∈N
*
递增，
2
n＋12
311
3113
所以
?
2
－
n＋1
－
2
n
＋
1
?
＝－ －＝，
??
min
2244
31
所以≥
λ
?λ
≤3，
44
即λ的取值范围为(－∞，3]．
[综合题组练]

n

1．(2020·丽水模拟)已知等比数列{a
n
}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T
n
，
且a
2a
4
＝a
3
，则使得T
n
＞1的n的最小值为( )
A．4
C．6
B．5
D．7
解析：选C.因为{a
n
}是各项均为正数的等比数列且a
2
a
4
＝a
3
，所以a
2
3
＝a
3
，所以a
3
＝1.< br>又因为q＞1，所以a
1
＜a
2
＜1，a
n
＞1(n ＞3)，所以T
n
＞T
n
－
1
(n≥4，n∈N
*
)，T
1
＜1，T
2
＝a
1
·a
2
＜1，T
3
＝a
1
·a
2
·a
3
＝a< br>1
a
2
＝T
2
＜1，T
4
＝a
1< br>a
2
a
3
a
4
＝a
1
＜1，T5
＝a
1
·a
2
·a
3
·a
4
·a
5
＝a
5
3
＝1，
T
6
＝T
5
·a
6
＝a
6
＞1，故n的最小值为6，故选C.
2 ．(2020·温州十校联合体期初)已知数列{a
n
}是等差数列，数列{b
n}是等比数列
(b
n
>0)．( )
A．若b
7
≤ a
6
，则b
4
＋b
10
≥a
3
＋a
9

B．若b
7
≤a
6
，则b
4
＋b< br>10
≤a
3
＋a
9

C．若b
6
≥ a
7
，则b
3
＋b
9
≥a
4
＋a
10

D．若b
6
≤a
7
，则b
3
＋b< br>9
≤a
4
＋a
10

解析：选C.因为数列{an
}是等差数列，数列{b
n
}是等比数列(b
n
>0)， < br>在A中，因为b
7
≤a
6
，b
4
＋b
10< br>≥2b
4
b
10
＝2b
7
，
a
3
＋a
9
＝2a
6
，所以b
4
＋b
10≥a
3
＋a
9
不一定成立，故A错误；
在B中，因为b
7
≤a
6
，b
4
＋b
10
≥2b
4b
10
＝2b
7
，
a
3
＋a
9＝2a
6
，所以b
4
＋b
10
≤a
3
＋a
9
不一定成立，故B错误；
在C中，因为b
6
≥a
7
，所以b
3
＋b
9
≥2b
3
·b
9
＝2b
6
，a
4
＋a
10
＝2a
7
，所 以b
3
＋b
9
≥a
4
＋
a
10
， 故C正确；
在D中，因为b
6
≤a
7
，所以b
3
＋b
9
≥2b
3
·b
9
＝2b
6
，a4
＋a
10
＝2a
7
，所以b
3
＋b
9
≤a
4
＋
a
10
不一定成立，故D错误．
3． 已知直线l
n
：y＝x－2n与圆C
n
：x
2
＋y
2
＝2a
n
＋n交于不同的两点A
n
，B
n
，n∈ N
*
，
1
数列{a
n
}满足：a
1
＝1， a
n
＋
1
＝|A
n
B
n
|
2，则数列{a
n
}的通项公式为________．
4
|2n|1解析：圆C
n
的圆心到直线l
n
的距离d
n
＝＝n，半 径r
n
＝2a
n
＋n，故a
n
＋
1
＝|A
n
B
n
|
2
4
2
n
12
＝r
2
(n∈N
*
)．
n
－d
n
＝2a
n
，故数列{a
n
}是以1为首项，2为公比的等比数列，故a
n< br>＝2
－
答案：a
n
＝2
n
1
(n∈N
*
)
1
4．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝，且对任意正整数m，n都有a
m
＋
n
＝a< br>m
·a
n
，
3
若S
n
解析：因为a
m
＋
n
＝a
m
·a
n
，令m＝1得a
n
＋
1
＝a
1< br>·a
n
，即
a
n
＋
1
1
＝a
1
＝，所以{a
n
}为等比数
a
n
3
－

1
1
?
1－
n
?
3?
3
?
1
?
1
1111
列，所以a
n
＝
n
，所以S
n
＝＝
?
1－
3
n
?
<，所以a≥.故a的最小值为.
?
231222
1－
3
1
答案：
2
5． (2020·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a
n
}的各项均为正数，记A(n)＝a1
＋a
2
＋…＋
a
n
，B(n)＝a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＋
1
，C(n)＝a
3
＋a
4
＋…＋a
n
＋
2
，n＝1，2，…
(1 )若a
1
＝1，a
2
＝5，且对任意n∈N
*
，三个数A( n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列
{a
n
}的通项公式；
( 2)证明：数列{a
n
}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N
*< br>，三个数
A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
解：(1)因为对 任意n∈N
*
，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，所以B(n)－A(n) ＝
C(n)－B(n)，即a
n
＋
1
－a
1
＝a< br>n
＋
2
－a
2
，亦即a
n
＋
2－a
n
＋
1
＝a
2
－a
1
＝4. < br>故数列{a
n
}是首项为1，公差为4的等差数列，于是a
n
＝1＋( n－1)×4＝4n－3.
(2)证明：(必要性)：若数列{a
n
}是公比为q的 等比数列，对任意n∈N
*
，有a
n
＋
1
＝a
n< br>q.
B（n）a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＋1
q（a
1
＋a
2
＋…＋a
n
）
由a
n
>0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是＝＝
A（n）a
1
＋a
2
＋…＋a
n
a
1
＋a
2
＋ …＋a
n
＝q，
C（n）a
3
＋a
4
＋…＋a< br>n
＋
2
q（a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＋
1
）
＝＝＝q，
B（n）a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＋
1
a
2
＋a
3
＋… ＋a
n
＋
1
即
B（n）C（n）
＝＝q，
A（n）B（n）
所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列； (充分性)：若对任意n∈N
*
，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等 比数列，则
B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)，
于是C(n)－B(n)＝q [B(n)－A(n)]，即a
n
＋
2
－a
2
＝
q(a
n
＋
1
－a
1
)，亦即a
n
＋2
－qa
n
＋
1
＝a
2
－qa
1.
由n＝1时，B(1)＝qA(1)，
即a
2
＝qa
1< br>，从而a
n
＋
2
－qa
n
＋
1
＝0 .
因为a
n
>0，
a
n
＋
2
a
2
所以＝＝q.故数列{a
n
}是首项为a
1
，公比为q的等比数 列．
a
n
＋
1
a
1
综上所述，数列{a
n
}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N
*
，三个数
A( n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
9
6．(2020·杭州市七校高三联 考)已知等比数列{a
n
}的公比为q(02
＋a
5
＝，aa
8
34

1
＝.
8
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若b
n＝a
n
·(log
2
a
n
)，求{b
n
}的前n项和T
n
；
S
n
－m
1
(3)设该等 比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，正整数m，n满足<，求出所有符合条< br>S
n
＋
1
－m
2
件的m，n的值．
19< br>解：(1)由等比数列的性质可知a
3
a
4
＝a
2
a
5
＝，a
2
＋a
5
＝，
88
91
所以a
2
，a
5
是方程x
2
－x＋＝0的两根，
88
由题意可知a
2
>a
5
，
1
解得a
2
＝1，a
5
＝，
8
1
由等比数列的性质可知a
5
＝a
2
·q
3
，解得q＝，
2
1
?
a
n
＝a
2
·
?
?
2
?
n－2
1
?
＝
?
?
2?
n－2
，
n－2
1
?
所以数列{a
n}的通项公式为a
n
＝
?
?
2
?
(2)由(1 )可知b
n
＝a
n
·(log
2
a
n
)＝
.
2－n
－
，
2
n
2
{b
n
}的前n项和T
n
＝b
1
＋b
2
＋b
3< br>＋…＋b
n

1232－n
－
?
＋
?
－
2
?
＋
?
－
3
?
＋…＋
n< br>－
2
， ＝2＋0＋
?
?
2
??
2
??
2
?
2
1232－n
1
－
2
?
＋
?
－
3
?
＋
?
－
4
?
＋…＋
n
－
1
， T
n
＝1＋0＋
?
?
2
??
2
??
2
?
2
2
两式相减 可得
1111
2－n
1
T
n
＝1－
?
2
＋
4
＋
8
＋…＋
2
n
－
2
?
－
n
－
1

2
??
2
11< br>－
n
－
1
2
2
2－n
＝1－－
n< br>－
1

1
2
1－
2
1
2－n
＝1－
?
1－
2
n
－
2
?
－
n
－
1

??
2
＝
＝
2
n
－
2
－
n
－
1

1
n
2－n
2
2
n
－
1
，

n
所以T
n
＝
n
－
2
.
2
1
1－
n
?
， (3)因为S
n
＝4< br>?
?
2
?
由
S
n
－m
1
<
?2<2
n
(4－m)<6，
S
n
＋
1
－m
2
2
n
(4－m)为偶数，因此只能取2
n
(4－m) ＝4，
?
2
n
＝2
?
2
n
＝4
?
n＝1
?
?
n＝2
???
所以有
?
或< br>?
?
?
或
?
.
????
4－m＝24－m＝1m＝2m＝3
????