精选浙江专用2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑
用语 1.1 集合及其运算教师用书



1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合

符号

自然数集

N

正整数集

N(或N
＋
)

*
整数集

Z

有理数集

Q

实数集
R
2.集合间的基本关系
关系

自然语言

集合
A
中所有元素都在集合
B
中(即若
符号语言

Venn图
子集

A
?
B
(或
B
?
A
)

x
∈
A
，则
x
∈
B
)

集合
A
是集合
B
的子集，且集合
B
中
至少有一个元 素不在集合
A
中

集合
A
，
B
中的元素相 同或集合
A
，
B
互为子集

真子集

AB
(或
BA
)

集合相等
A
＝
B

3.集合的基本运算
运算

交集

自然语言

由属于集合
A
且属于集合
B
的所有元素组成的集合

由所有属于集合
A
或属于集
合
B
的元素组成的集合

由全集
U
中不属于集合
A
的
所有元素组成的集合

符号语言

Venn图
A
∩
B
＝{
x< br>|
x
∈
A
且
x
∈
B
}


并集
A
∪
B
＝{
x
|
x∈
A
或
x
∈
B
}


?U
A
＝{
x
|
x
∈
U
且
x< br>?
A
}


nn
补集

【知识拓展】
1．若有限集
A
中有
n
个元素，则集合A
的子集个数为2，真子集的个数为2－1.

2．
A
?
B
?
A
∩
B
＝
A
?
A
∪
B
＝
B
.
3．
A
∩(?
U
A< br>)＝?；
A
∪(?
U
A
)＝
U
；?
U
(?
U
A
)＝
A
.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){
x
|
y
＝
x
＋1}＝{
y
|
y
＝
x
＋ 1}＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋1}．( × )
(3)若{
x
1}＝{0,1}，则
x
＝0,1.( × )
(4){
x
|
x
≤1}＝{
t
|
t< br>≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合
A
，
B
，关系 (
A
∩
B
)?(
A
∪
B
)恒成立．( √ )
(6)若
A
∩
B
＝
A
∩
C
， 则
B
＝
C
.( × )
2,
222

1 ．(教材改编)若集合
A
＝{
x
∈N|
x
≤10}，
a
＝22，则下列结论正确的是( )
A．{
a
}?
A
B．
a
?
A

C．{
a
}∈
A
D．
a
?
A

答案 D
解析 由题意知
A
＝{0,1,2,3}，由
a
＝22，知
a
?
A
.
2．(2016·杭州质检)设集合
A
＝{
x
|
x
－2
x
≥0}，
B
＝{
x
|－1<
x
≤2}，则(?
R
A
)∩
B
等于( )
A．{
x
|－1≤
x
≤0} B．{
x
|0<
x
<2}
C．{
x
|－1<
x
<0} D．{
x
|－1<
x
≤0}
答案 B
解析 因为
A
＝{
x
|
x
≥2或
x
≤0}，所以?
R
A
＝{
x
|0<
x
<2}，(?
R
A< br>)∩
B
＝{
x
|0<
x
<2}，故选B.
3．(2016·天津)已知集合
A
＝{1,2,3,4}，
B
＝{
y
|
y
＝3
x
－2，
x
∈
A
}， 则
A
∩
B
等于( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
答案 D
解析 因为集合
B
中，
x
∈
A
，所以当
x
＝1时，
y
＝3－ 2＝1；
当
x
＝2时，
y
＝3×2－2＝4；
当
x
＝3时，
y
＝3×3－2＝7；
当
x
＝4时，
y
＝3×4－2＝10；
即
B
＝{1,4,7,10}．
又因为
A
＝{1,2,3 ,4}，所以
A
∩
B
＝{1,4}．故选D.
4．(2016·云 南名校联考)集合
A
＝{
x
|
x
－2<0}，
B< br>＝{
x
|
x
<
a
}，若
A
∩
B
＝
A
，则实数
a
的取值
范围是__________．
2

答案 [2，＋∞)
解析 由
A
∩
B< br>＝
A
，知
A
?
B
，

从数轴观察得
a
≥2.

题型一 集合的含义
例1 ( 1)(2016·济南模拟)设
P
，
Q
为两个非空实数集合，定义集合
P
＋
Q
＝{
a
＋
b
|
a
∈P
，
b
∈
Q
}，若
P
＝{0,2,5}，Q
＝{1,2,6}，则
P
＋
Q
中元素的个数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
(2)若集合
A
＝{
x< br>∈R|
ax
－3
x
＋2＝0}中只有一个元素，则
a
＝________.
9
答案 (1)B (2)0或
8
解析 (1)当
a
＝0时，
a
＋
b
＝1,2,6；
当
a
＝2时，
a
＋
b
＝3,4,8；
当
a
＝5时，
a
＋
b
＝6,7,11.
由集合中元素的互异性知
P
＋
Q
中有1,2,3,4,6,7,8,11共8 个元素．
?
2
?
(2)若
a
＝0，则
A
＝
??
，符合题意；
?
3
?
2
9
若a
≠0，则由题意得Δ＝9－8
a
＝0，解得
a
＝.
8
9
综上，
a
的值为0或.
8
思维升华 (1) 用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制
条件，明白集合的类型是数集 、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类 讨论的思想方法常用
于解决集合问题．
(1)(2016·宁波模拟)已知
A＝{
x
|
x
＝3
k
－1，
k
∈Z}， 则下列表示正确的是
( )
A．－1?
A
B．－11∈
A

C．3
k
－1∈
A
(
k
∈Z) D．－34?
A

(2)设
a
，
b
∈R，集合{1 ，
a
＋
b
，
a
}＝
?
0，，
b< br>?
，则
b
－
a
＝________.
??
?
2
b
a
?
答案 (1)C (2)2

解析 (1)∵
k
∈Z，∴
k
∈Z，∴3
k
－1∈
A
.
(2)因为{1，
a
＋
b
，
a
}＝
?
0，，
b
?
，
a
≠0，
??
?
22
b
a
?
所以
a
＋b
＝0，得＝－1，
所以
a
＝－1，
b
＝1，所以< br>b
－
a
＝2.
题型二 集合的基本关系
例2 (1)(2 016·余姚一模)设
A
，
B
是全集
I
＝{1,2,3,4 }的子集，
A
＝{1,2}，则满足
A
?
B
的
B< br>的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)已知集合
A
＝{
x
|
x
－2 017
x
＋2 016<0}，
B
＝{
x
|
x<
a
}，若
A
?
B
，则实数
a
的取值 范围是
__________________．
答案 (1)B (2)[2 016，＋∞)
解析 (1)∵{1,2}?
B
，
I
＝{1,2,3,4}，
∴满足条件 的集合
B
有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
(2)由
x
－2 017
x
＋2 016<0，解得1<
x
<2 016，
故
A
＝{
x
|1<
x
<2 016}，
又
B
＝{
x
|
x
<
a
}，
A?
B
，如图所示，
2
2
b
a

可得
a
≥2 016.
引申探究
本例(2)中，若将集合
B
改为{
x
|
x
≥
a
}，其他条件不变，则实数
a
的取值范围是____________．
答案 (－∞，1]
解析
A
＝{
x
|1<
x
<2 016}，
B
＝ {
x
|
x
≥
a
}，
A
?
B
，如图所示，

可得
a
≤1.
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否
则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为 参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)(2016·宁波模拟) 已知集合
A
＝{－1,0,1,2}，
B
＝{1，
x
，x
－
x
}，且
B
?
A
，
则
x
等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
2

(2)(2016·连云港模拟)已知集合
A
＝{
x
|－2≤
x< br>≤7}，
B
＝{
x
|
m
＋1<
x
< 2
m
－1}，若
B
?
A
，则
实数
m
的取值范围是____________．
答案 (1)D (2)(－∞，4]
解析 (1)当
x
＝0时，
x
－
x
＝0，不满足条件；
当
x
＝2时，
x
－
x
＝2，不满足条件；
当
x
＝－1时，
x
－
x
＝2，满足条件，
所以
x
＝－1，故选D.
(2)当
B
＝?时，有
m
＋1≥2
m
－1，则
m
≤2；
当
B
≠?时，若
B
?
A
，如图，
2
2
2
m
＋1≥－2，
?
?
则
?2
m
－1≤7，
?
?
m
＋1<2
m
－ 1，

解得2<
m
≤4.
综上，
m
的取值范围为(－∞，4]．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合
A
＝{
x
|
x
－4
x
＋3<0}，
B
＝{
x
|2
x
－3>0}，则
A
∩
B
等于
( )
3
??
3
??
A.
?
－3，－
?B.
?
－3，
?

2
??
2
??2
?
3
??
3
?
C.
?
1，
?
D.
?
，3
?

?
2
??
2< br>?
(2)(2016·浙江)已知集合
P
＝{
x
∈R|1≤< br>x
≤3}，
Q
＝{
x
∈R|
x
≥4}，则< br>P
∪(?
R
Q
)等于( )
A．[2,3] B．(－2,3]
C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 (1)D (2)B
解析 (1)由
A
＝{
x
|
x
－4x
＋3<0}＝{
x
|1<
x
<3}，
2
2
B
＝{
x
|2
x
－3>0}＝{
x
|x
>}，
3
?
3
?
得
A
∩
B
＝{
x
|<
x
<3}＝
?
，3
?
，故选D.
2
?
2
?
(2)由已知得
Q
＝{< br>x
|
x
≥2或
x
≤－2}．
∴?
R
Q
＝(－2,2)．又
P
＝[1,3]，
∴
P
∪(?
R
Q
)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．
命题点2 利用集合的运算求参数
3
2

例4 (1)已知集 合
P
＝[1,3]，集合
Q
＝(－∞，
a
)∪(
b
，＋∞)，其中
a
<
b
，若
P
∩(?
R< br>Q
)＝[2,3]，
则( )
A．
a
＝2，
b
＝3 B．
a
＝2，
b
≤3
C．
a
＝2，
b
≥3 D．
a
≤2，
b
≥3
(2)设集合
A
＝{
x
|－1≤
x
<2}，
B
＝{
x
|
x< br><
a
}，若
A
∩
B
≠?，则
a
的取 值范围是( )
A．－1<
a
≤2 B．
a
>2
C．
a
≥－1 D．
a
>－1
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为?
R
Q
＝[
a
，
b< br>]，
P
∩(?
R
Q
)＝[
a
，
b< br>]∩[1,3]＝[2,3]，所以
a
＝2，
b
≥3，故选C. (2)因为
A
∩
B
≠?，所以集合
A
，
B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知
a
>－1.

思维升华 (1 )一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是
连续的实数，则用数轴 表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
( 1)(2016·山东)设集合
A
＝{
y
|
y
＝2，
x
∈R}，
B
＝{
x
|
x
－1<0}，则
A
∪
B
等于
( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知集合
A
＝{
x
|
x
－
x
－12≤0}，
B
＝{
x|2
m
－1<
x
<
m
＋1}，且
A
∩
B
＝
B
，则实数
m
的取值
范围为( )
A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)∵
A
＝{
y
|< br>y
>0}，
B
＝{
x
|－1<
x
<1}，
∴
A
∪
B
＝(－1，＋∞)，故选C.
(2)由
x
－
x
－12≤0，得(
x
＋3)(
x
－4)≤0 ，即－3≤
x
≤4，所以
A
＝{
x
|－3≤
x≤4}．又
A
∩
B
＝
B
，所以
B
?< br>A
.
①当
B
＝?时，有
m
＋1≤2
m－1，解得
m
≥2.
－3≤2
m
－1，
?
?
②当
B
≠?时，有
?
m
＋1≤4，
?
?< br>2
m
－1<
m
＋1，
2
2
x
2
解得－1≤
m
<2.
综上，
m
的取值范围为[－1，＋∞)．
题型四 集合的新定义问题

11
例5 若对任意的
x
∈
A
，∈
A
，则称
A
是“伙伴关系集合”，则集合
M
＝{－1,0，，1,2 }
x
2
的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________．
答案 7
1
解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和共三组，它们中任一组、 两组、三组均可组
2
1
成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{ －1}，{，2}，{－1,1}，{－1，
2
111
，2}，{1，，2}，{－1 ,1，，2}，共7个．
222
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点 < br>(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应
用到 具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
(2)用好集合的性质．解题时要 善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之
处用好集合的运算与性质．
定义 一种新的集合运算△：
A
△
B
＝{
x
|
x
∈
A
且
x
?
B
}．若集合
A
＝{
x
|
x
－4
x
＋
3<0}，
B
＝{
x
|2≤
x
≤4}，则按运算△，
B
△
A
等于( )
A．{
x
|3<
x
≤4} B．{
x
|3≤
x
≤4}
C．{
x
|3<
x
<4} D．{
x
|2≤
x
≤4}
答案 B
解析
A< br>＝{
x
|1<
x
<3}，
B
＝{
x
|2≤
x
≤4}，由题意知
B
△
A
＝{
x
|
x
∈
B
且
x
?
A
}＝{
x|3≤
x
≤4}．


1．集合关系及运算

典例 (1)已知集合
A
＝{1,3，
m
}，
B
＝ {1，
m
}，
A
∪
B
＝
A
，则
m
等于( )
A．0或3B．0或3
C．1或3D．1或3或0
(2) 设集合
A
＝{0，－4}，
B
＝{
x
|
x
＋2(
a
＋1)
x
＋
a
－1＝0，
x
∈R }．若
B
?
A
，则实数
a
的取
值范围是_____ ___．
错解展示
解析 (1)由
A
∪
B
＝
A
得
B
?
A
，∴
m
＝3或
m
＝m
，
故
m
＝3或
m
＝0或
m
＝1.
(2)∵
B
?
A
，讨论如下：
22
2