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2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 21:22
tags:浙江高中数学教材

信息技术的高中数学课件ppt-高中数学老师试讲套话

2020年10月7日发(作者:元则)


2018年浙江省高中数学竞赛试卷
一、填空题
1.已知
a
为正实数,且
f(x)?
11
?
x
是奇函数,则
f(x)
的值域为 .
aa?1
2018
2.设数列
{ a
n
}
满足
a
1
?1

a
n?1
?5a
n
?1(n?1,2,???)
,则
?
a
n ?1
n
?

3.已知
?
,
?
?
?
4
?
?
12
?
??
3?
???
,
?
?

cos(
?
??
)?

sin
?
?
?
?
?
,则
cos
?
?
?
?
?

5
4
?
134
??
4
???
4.在八个数 字
2

4

6

7

8

11

12

13
中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分
数.
?
z
?
5.已知虚数
z
满足
z?1?0
,则
??
?
z?1
?
3
2018?
1
?
?
??
?
z?1
?
2018< br>?

6.设
AB?10
,若平面上点
P
满足,对于任意
t?R
,有
AP?tAB?3
,则
PA? PB
的最小值
为 ,此时
PA?PB?

7.在
?ABC
中,
AB?AC?7
,且三角形的面积为
4
,则
sin?A
的最小值为 .
8.设
f (x)?x?1?x?x?2
,则
f(f(x))?1?0
有 个不同的解.
9.设
x,y?R
满足
x?6y?4x?y?12?0
,则
x
的取值范围为 .
10.四面体
P?ABC< br>,
PA?BC?6

PB?AC?8

PC?AB?10,则该四面体外接球的半径
为 .
二、解答题
x
2
?y
2
?1
相交于不同的两点
A

B
. 求原点到
AB
的11.已知动直线
l
与圆
O

x? y?1
相切,与椭圆
9
22
中垂线的最大距离.
12.设
a?R
,且对任意实数
b
均有
maxx?ax?b?1
,求
a
的取值范围.
x?[0,1]
2
13.设实数
x
1
x
2
,…,
x
2018
满足
x
2< br>n?1
?x
n
x
n?2
(n?1,2,???,2016)< br>和
?
x
n
?1
,证明:
x
1009
x
1010
?1
.
n?1
2018
14.将
2n (n?2)
个不同整数分成两组
a
1

a
2
,…,
a
n

b
1

b
2
,…,
b
n
.证明
1?i?n
1?j?n
?
a
i
?b
j
?
1?i?j?n
?
(a
j
?a
i
?b
j
?b
i
)?n
.
1
第页 < /p>


15.如图所示将同心圆环均匀分成
n(n?3)
格.在内环中固定数字
1
使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同?
n
.问能否将数字
1n
填入外环格内,

第页
2


2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、填空题
1156
5
2019
8077
?
1.
(?,)
2. 3.
?
4.
36
5.
?1

22
65
1616
6.
?16

6
7.
7
8.
3
9.
14?213?x?14?213
10.
3

2
二、解答题
11.解:依题意可设
l

y?kx?m(k?0)
.
因 为直线
l
与圆
O
相切,所以,
O
到直线
l
的距离为
1
,即
m
1?k
2
?1
.
原点到
AB
的中垂线的最大距离为
4
.
3
12. 解1:设
f(x)?x
2
?ax?b
,对于
b?1?f(0)?1< br>,
所以只要考虑
b?1
.
(1)当
?
a
?0
时,即
a?0
.此时函数
f(x)
的最值在抛物线的左右端点取 得,对任意
b?1

2
f(1)?1?a?b?f(0)?b
,所以
f(1)?1?a?b?1

解得
a?1
.
(2)当< br>0??
a1
?
时,即
?1?a?0
,此时函数
f(x )
的最值在抛物线的顶点和右端点取得,而对
b?0
22
a?a
2< br>有
f(1)?1?a?1

f(?)??1
.
24
(3)当
1a
???1
时,即
?2?a??1
,此时函数
f (x)
的最值在抛物线的顶点和左端点取得,而对
b?0
22
a?a
2

f(0)?b?1

f(?)??1
.
24
(4)当
?
a
?1
时,即
a??2
,此时函数
f( x)
的最值在抛物线的左右端点取得,对任意
b?1

2
f(0)? b?1
,所以
f(1)?1?a?b??1
,解得
a??3
.
综上
a?1

a??3
.
解2:设
m?maxx?ax?b
,则有
x?[0,1]
2
1?a
?1?a?1
,或
a??3
.
m?b

m?1?a?b?2m?b?1?a?b?1?a
依题意,
2
第页
3


13.证明:由条件
x
n

x
n?2
同 号.反证法,假设
x
1009
x
1010
?1
.
(1)若
x
1009

x
1010
同为正数,由
x
n

x
n?2
同号可知
x
1

x
2
,…,
x
2018
同号.

x
n?1
?x
n
x
n?2
?
2
x
n?1
x
n?2
xxx
??
1009
?
1010
?
1011

x
n
x
n?1
x
1008
x< br>1009
x
1010
?x
1009
x
1010
?x
1011
x
1008
?x
1011
x
100 8
?1

同理
x
1009
x
1009
x
1008
x
1011
x
1012
x
1012
?????
?x
1007
x
1012
?1
.
x
1007
x
1008
x
1007
x
1010
x
1011
x
1010
类似可证明:
x
1006
x
1013
?1

x
1005
x
1004
?1
,…,
x
1
x
2018
?1
.
因此
?
x
n?1
2018
n
?1
,矛盾.
(2)若
x
1009

x
1010
同为负数,由< br>x
n

x
n?2
同号可知
x
1
,< br>x
2
,…,
x
2018
均为负数,仍然有
2
x
n?1
?x
n
x
n?2
?
x
n?1x
n?2
,类似(1)可证得.
?
x
n
x
n ?1
14.证明:令
T
n
?
1?i?n
1?j?n
?
a
i
?b
j
?
1?i?j?n
?
(a< br>j
?a
i
?b
j
?b
i
)
,下面用 归纳法证明
T
n
?n
.

n?2
时,不妨设a
1
?a
2

b
1
?b
2

a
2
?b
2
.
T
2
?b
2?a
1
?b
2
?a
2
?b
1
?a1
?b
1
?a
2
?a
2
?a
1
?b
2
?b
1


a
1
?b
1
?T
2
?b
1
?a
1
?b
1
? b
2
?b
1
?a
2
?2


a
1
?b
1
?T
2
?b
2
?a
2< br>?a
1
?b
1
?2
.
假设对正整数
n
成立,对正整数
n?1
,不妨设
a
1
?a
2
?????a
n?1

b
1
? b
2
?????b
n?1

a
n?1
?b
n?1
.再设
b
k
?a
n?1
?b
k?1
,则有
T
n?1
?
?
b
n?1
?a
i< br>?
?
a
n?1
?b
i
?
?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i?b
n?1
?a
n?1
?T
n

i?1i? 1i?1i?1
nnnn
下证
?
b
i?1
n
n?1
?a
i
?
?
a
n?1
?b
i
?< br>?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1< br>?b
i
?0
.
i?1i?1i?1
nnn
由(1)
b
k
?a
n?1
?b
k?1
(k?1,2,??? ,n)
,得到
第页
4


?
b
i?1n
n?1
?a
i
?
?
a
n?1
?b< br>i
?
?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i

i?1i?1i?1
nnn
? 2
?
(b
i
?a
n?1
)?0

i?k ?1
n
(2)若
a
n?1
?b
1
,则
n< br>?
b
i?1
n
n?1
?a
i
?
?< br>a
n?1
?b
i
?
?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i

i?1 i?1i?1
nnn
?
?
(b
i
?a
n?1
)?0
.
i?1
15.解:设对应于内环
1

2
,…,
n
的外环数字为
i
1

i
2
,… ,
i
n
,它是数字
1

2
,…,
n
的一个排列.

k?1,2,???,n
,记外环数字
i
k
在按顺时针方向转动
j
k
格时,和内环数字相同,即
i
k
?k?j
k
modn

k?1,2,???,n
.
根据题 意,
j
1

j
2
,…,
j
n
应是
0

1

2
,…,
n?1
的排列.求和
?
(i
k
?k)?
?
j
k
modn
?(0?1?2?????(n?1))modn
?
k?1k?1
nn
1< br>n(n?1)modn
.
2
于是
n
必须是奇数.
对于奇数
n
,我们取
i
n
?n

i
m?n?m

(m?1,2,???,n?1)
,可以验证
i
k
?k?j
k
modn

j
n
?0

j
n?1
?2

j
n?2
?4< br>,…,
j
n?
n?1
2
?n?1

j1
?n?2

j
n?1
?n?4

j
3
?n?6
,…,
j
n?1
?1

2
符合题目要求!

第页
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