2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析

2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析
已知函数
f(x)?x?lnx
.
（I）若
f(x)
在< br>x
1
，
x
2
(x
1
?x
2
)
处导数相等，证明：
f(x
1
)?f(x
2
)?8?8l n2
；
（II）若
a?3?4ln2
，证明：对任意
k?0
，直线
y?kx?b
与曲线
f(x)
有唯一公共点.
【题目分析】
本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。解决第（I）问中
f(x
1
)?f(x
2
)
取
值范围问题的关键在于建立< br>x
1
与
x
2
之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量 的取值
范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。
第（II）问 重点考察函数零点的寻找，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯
一零点”这类问题的 常规套路——“零点存在性定理”解决有没有的问题，“函数单调性”解决可
能有几个的问题。题目中需 要构造
h(x)?x?lnx?kx?a
这样一个含有双参变量的函数，参
数a不会影 响“函数单调性”，也就是意味着函数
h(x)
的单调性比较好处理，难点在于“零点存
在性定理”的运用，
h(x)
是否存在大于0或者小于0的点是由参数k和a共同控制的，对 于这
样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。当然考虑
h(x)
在
x?0
?
及
x???
处的极限很容易得出
h(x)
存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来讲不属于
高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉 及），高考时得不得分存在很大争议，因此高考数
学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的 放缩来证明函数值是否存在大于(小于)0
的点，本题中官方标准答案中给出
m?e
? (|a|?k)
以及
n?(|a|?1)
2
k
2
?1
这样两个极其复杂的“特
殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。
本解答过程另辟蹊径，给出 了两个非常简单的范围来说明
h(x)
的正负号问题——将
h(x)
分为x?kx
与
?lnx?a
两部分，此时参数k和a分开(k和a二者之间没有关系 ，相互独立)，
逐一讨论范围之后再合并，从而确定
h(x)
的正负号。
【题目解答】
（I）
f
?
(x)=
则
1
2x
?
111111
2
1
?(?)??(?)?
，
x?0
；令
f
?
(x
1
)?f
?
(x2
)?m(x
1
?x
2
?0)
，
x16
x
2
xx
4
1
11
和是关于
t
的一元二 次方程
?t
2
?t?m?0
的两个不相等的正数根，从而
2
x
1
x
2

?
?
0?m?
1
?
16
?
11
?
1
+=
?
x
2
2
?
x
1
?
11
?
=m
?
?
x
1
x
2
?
1
?
x
1
x
2
?
x
1
+x
2
=

2?
?
x
1
x
2
?256
?
f(x1
)?f(x
2
)?x
1
?x
1
?lnx1
x
2
?
令
g(t)?
x
1
x
2
?lnx
1
x
2
；
2
t
11t?4
，
g(t)
在
(0，16)
上单调递减，在
(16,??)
上单
?lnt
，则
g
?
(t)???
2
t 4t
4t
调递增，所以当
x
1
x
2
?256
时，
g(x
1
x
2
)?g(256)?8?8ln2
，即
f(x
1
)?f(x
2
)?8?8ln2
，得证.
（II）直线
y?kx?b
与曲线
f(x)
有唯一公共点等价于函数
h(x)?x?lnx?kx?a
有唯一零点；
(a) 零点的存在性证明：
当
x?(0,
11
?a
?a
?lnx?a?0
)x?(0,m in(,e))
时，时，当时，所以当
x?kx?0
x?(0,e)
22kk
1
，+?)
时
x?kx?0
，当
x?(e
?a
，+?)
时
?lnx?a?0
，因
2
k
h(x )=x?kx?lnx?a?0
；当
x?(
此当
x?(max(
在区 间
(min(
1
?a
,e),??)
时，
h(x)=x?k x?lnx?a?0
；根据零点存在性定理可知函数
h(x)
2
k
1
?a
1
?a
,e),max(,e))
至少存在一个零点，从而h(x)
在
(0,??)
至少存在一个零点.
k
2
k
2
(b) 零点的唯一性证明：
h
?(x)=
若
k?
111
2
1
??k??(?)??k< br>；
16
2x
x
x
4
1
1
，则h
?
(x)?0
恒成立，
h(x)
单调递减，此时
h( x)
在
(0,??)
最多只有一个零点；
16
1
1111
，且易知
0?
h
?
(x)=0
有两个不相等正根
x
3
和
x
4
（设
x
3
?x
4
）
???
，
16
x
3
4
x
4
2
若
0?k?
从而
h(x)
在
(0,x
3
)
上单调递减，
(x
3
,x
4
)
上单调递增，
(x
4
,??)
上单调递减。由
h
?
(x
3)?0
得：
k=
11
?
，
x
3
?16

2x
3
x
3
x
11
?)x
3
?a?
3
?lnx
3
?a?1
；结合（I）中
2
2x
3x
3
从而
h(x
3
)?x
3
?lnx
3
?kx
3
?a=x
3
?lnx
3
?(