2020届浙江高考数学总复习讲义： 数学归纳法

第五节

数学归纳法


数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n
0
(n
0
∈N
*
)时命题成立；
( 2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n
0
，k∈N
*
)时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n
0
开始的所有 正整数n都成立．上述证明
方法叫做数学归纳法．
[小题体验]
1
1．( 教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步
2
检验n 等于________．
答案：3
2．(教材习题改编)用数学归纳法证明“1＋a＋a＋ …＋a
n＝1时，上式左端计算所得为________．
答案：1＋a＋a
2


1．数学归纳法证题时初始值n
0
不一定是1.
2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．
3．解“归纳—— 猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜
想的基础．否则将会做大量无用功．
[小题纠偏]
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
(4)不论是等式还是不等式 ，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加
了一项．( )
(5)用数 学归纳法证明等式“1＋2＋2
2
＋…＋2
n2
＝2
n3
－ 1”，验证n＝1时，左边式子
＋＋
2n
＋
1
1－a
n2< br>＝(a≠1)”．当验证
1－a
＋

应为1＋2＋2
2< br>＋2
3
.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

考点一 用数学归纳法证明等式?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1．(易错题)用数学归纳法证明：
证明：(1)当n＝1时，
左边＝
1111
＝，右边＝＝，
2×1×?2×1＋2?
8
4?1＋1?
8
n
1111
＋＋＋…＋＝(n∈N
*
)．
2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N
*
)时等式成立，即有
k
1111
＋＋＋…＋＝，
2×44×66×82k?2k＋2?4?k＋ 1?
则当n＝k＋1时，
＝
＝
11111
＋＋＋…＋＋
2 ×44×66×82k?2k＋2?2?k＋1?[2?k＋1?＋2]
k
1
＋
4?k＋1?4?k＋1??k＋2?
k?k＋2?＋1

4?k＋1??k＋2?
?k＋1?
2
＝
4?k＋1??k＋2?
＝
k＋1k＋1
＝.
4?k＋2?4?k＋1＋1?
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对于一切n∈N
*
等式都成立．
111
2． 设f(n)＝1＋＋＋…＋
n
(n∈N
*
)．求证：f(1)＋f(2)＋… ＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，
23
n∈N
*
)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
1
1＋－1
?
＝1，左边＝右边，等式成立． 右边＝2
?
?
2
?
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N
*
)时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)

1
＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)
?
f?k＋1?－
k＋1
?
－k
??
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－ 1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N
*
)．
[谨记通法]
用数学归纳法证明等式应注意的2个问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关 键点在于弄清等式两边的构成规律，
等式两边各有多少项，以及初始值n
0
的值． < br>(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，
即充 分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
考点二 用数学归纳法证明不等式?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
311< br>已知函数f(x)＝x－x
2
，设0＜a
1
＜，a
n
＋
1
＝f(a
n
)，n∈N
*
，证明：a
n
＜.
22
n＋1
1
证明：(1)当n＝1时，0＜a
1
＜，显然结论成立．
2
1
1
0，
?
时，0＜f(x)≤， 因为当x∈
?
?
2
?
6
11
所以0＜a
2
＝f(a
1
)≤＜.
63
故n＝2时，原不等式也成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
*
)时，
不等式0＜a
k
＜
1
成立．
k＋1
31
因为f(x)＝x－x
2
的对称轴为直线x＝，
23
1
0，
?
时，f(x)为增函数． 所以当x∈
??
3
?
所以由0＜a
k
＜
11
≤，
k＋1
3
1
得0＜f(a
k
)＜f
?
k＋1
?
.
??
于是，0＜a
k
＋
1
＝f(a
k
)＜
k＋4
1311111
－·＋－＝－＜.
22
k ＋1
2
?k＋1?k＋2k＋2k＋22?k＋1??k＋2?k＋2
所以当n＝k＋ 1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)，知对任何n∈N
*
，不等式a
n
＜
1
成立．
n＋1

[由题悟法]
用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应 用其他办法不容易证，则可考虑应用数
学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用
上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商) 比较法、放缩法等证明．
[即时应用]
1
??
1＋
2
( 2017·浙江新高考联盟)数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n＋
1
＝a
n
(n∈N
*
)．
n＋n
??
证明：(1)a
n
＋
1
＞a
n
；
2nen
(2)≤a
n
≤.
n＋1n＋1
证明：(1)用数学归纳法证明a
n
＞0.
①当n＝1时，a
1
＝1＞0；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
*
)时，a
k
＞0，
1
则当n＝k＋1时，a
k
＋
1
＝
?
1＋
k
2
＋k
?
a
k
＞0.
??
综上可知，当n∈N
*
时，a
n
＞0.
1< br>所以a
n
＋
1
＝
?
1＋
n
2
＋n
?
a
n
＞a
n
.
??
(2)用数 学归纳法证明a
n
≥
①当n＝1时，a
1
＝1≥
2n
.
n＋1
2
；
1＋1
2k
②假设当n＝k(k≥1， k∈N
*
)时，a
k
≥，
k＋1
1
2?k＋k＋ 1?2?k＋1?
则当n＝k＋1时，a
k
＋
1
＝
?
1＋
k
2
＋k
?
a
k
≥≥.
???k＋1?
2
k＋2
2n
综上可知，当n∈N
*
时，a
n
≥.
n＋1
1
由a
n
＋
1
＝
?
1＋
n
2
＋n
?
a
n
，得
2
??
1
111
ln a
n
＋
1
－ln a
n
＝ln
?
1＋n
2
＋n
?
≤
2
＝－
??
n＋nn
n＋1
，
1
en
1
1＋
n
?
＝ln所以ln a
n
≤1－
n
≤1－ln
?
.
??
n＋1
所以a
n
≤
en
.
n＋1< /p>

2nen
综上可知，当n∈N
*
时，≤a
n
≤ .
n＋1n＋1
考点三 归纳—猜想—证明?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
a
n
1
已知数列{a
n
}的前n项 和S
n
满足：S
n
＝＋－1，且a
n
＞0，n∈N
*
.
2
a
n
(1)求a
1
，a
2
，a
3
，并猜想{a
n
}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
a
1
1
解：(1)当n＝1时，由 已知得a
1
＝＋－1，a
2
1
＋2a
1
－2＝0.
2a
1
∴a
1
＝3－1(a
1
＞0)．
a
2
1
当n＝2时，由已知得a
1
＋a
2
＝＋－1 ，
2a
2
将a
1
＝3－1代入并整理得a
2
2< br>＋23a
2
－2＝0.
∴a
2
＝5－3(a
2
＞0)．
同理可得a
3
＝7－5.
猜想a
n
＝2n＋1－2n－1(n∈N
*
)．
(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N
*
)时，通项公式成立，
即a
k
＝2k＋1－2k－1.
由于a
k
＋
1< br>＝S
k
＋
1
－S
k
＝
a
k
＋
1
a
k
11
＋－－
a
，
2
a
k
＋
1
2
k
将a
k
＝2k＋1－2k－1 代入上式，整理得
a
2
k
＋
1
＋22k＋1a
k
＋
1
－2＝0，
∴a
k
＋
1
＝2k＋3－2k＋1，
即n＝k＋1时通项公式成立．
由①②可知对所有n∈N
*
，a
n
＝2n＋1－2n－1都成立．
[由题悟法]
“归纳—猜想—证明”的3步曲
(1)计算：根据条件，计算若干项．
(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论．
(3)证明：用数学归纳法证明．
[即时应用]
(2018·常德模拟)设a＞0 ，f(x)＝
ax
，令a
1
＝1，a
n
＋
1
＝f(a
n
)，n∈N
*
.
a＋x

(1 )写出a
2
，a
3
，a
4
的值，并猜想数列{a
n
}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)∵a
1
＝1，
∴a
2
＝f(a
1
)＝f(1)＝
a
；
1＋a
a
a·
1＋a
a
a
3
＝f(a
2< br>)＝＝；
a
2＋a
a＋
1＋a
a
a·
2＋ a
a
a
4
＝f(a
3
)＝＝.
a
3＋a
a＋
2＋a
猜想a
n
＝
a
(n∈N
*)．
?n－1?＋a
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k(k≥1且k∈N
*
)时猜想正确，
即a
k
＝
a
，
?k－1?＋a
a·a
k

a＋a
k
则a
k
＋
1
＝f(a
k
)＝
a
a·
?k－1? ＋a
＝
a
a＋
?k－1?＋a
＝
＝
a

?k－1?＋a＋1
a
.
[?k＋1?－1]＋a
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n∈N
*
，
都有a
n
＝
a
.
?n－1?＋a

一保高考，全练题型做到高考达标
111
1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
*
)，则f(1)为( )
23
6n－1
A．1
1
B.
5

1111
C．1＋＋＋＋
2345
D．非以上答案
解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则 当
n＝1时，最大分母为5，故选C.
2．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) … (n＋n)＝2
n
×1×3×…×(2n－1)，n∈N”时，
*
从“n＝k ”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A．2k＋1
2k＋1
C.
k＋1
解析：选B 当n＝k(k∈N)时，
左式为(k＋1)(k＋2) ·…·(k＋k)；
当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1) ·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，
?2k＋1??2k＋2?
则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．
k＋1
3．用数学归纳法证明“n
3
＋(n＋1)
3
＋(n＋2)
3(n∈N
*
)能被9整除”，利用归纳法假设证
明n＝k＋1时，只需展开( )
A．(k＋3)
3

C．(k＋1)
3



B．(k＋2)
3

*
B．2(2k＋1)

2k＋3
D.
k＋1
D．(k＋1)
3
＋(k＋2)
3

解析：选A 假设n＝k时，原 式k
3
＋(k＋1)
3
＋(k＋2)
3
能被9整除，当n＝ k＋1时，(k
＋1)
3
＋(k＋2)
3
＋(k＋3)
3< br>为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)
3
展开，让其出现k
3
即 可．
4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1
n
2
＋n＋2
C.
2


B．2n
D．n
2
＋n＋1
解析：选C 1条 直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)
＝4个区域；3条直线最多可 将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将
n?n＋1?n
2
＋n＋2
平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
22
n
4
＋ n
2
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋ n＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的
2
2
基础上加上的项为_________ _____．
解析：当n＝k时左端为
1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k
2
，
则当n＝k＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k
2
＋(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2
，
故增加的项为(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2
.