2017年浙江高考理科数学压轴题评析

2017年浙江高考理科数学压轴题评析
宁波市效实中学（315012）吕孙忠
1 原题呈现
2017年浙江高考理科数学的压轴题为：
已知数 列
{x
n
}
满足：
x
1
?1
，
x
n
?x
n?1
?ln(1?x
n?1
)(n?N
?
)
.证明：
n?N
时，
（1）
0?x
n?1
?x
n
；
?
x
n
x
n?1
；
2
11
（3 ）
n?1
?x
n
?
n?2
.
22
2 试题评价
（2）
2x
n?1
?x
n
?
本题具有以下的特色：
首先，这是一道涉及数列、函数与导数、不等式的综合解答题，这些都是高中数学课程中的主
干 与核心知识，很好地体现了高考重点知识重点考察的原则，及在知识的交汇处命题的思路.同时考
查了数 学的重要思想方法，如数形结合、函数思想、分类讨论思想.是一道融知识与思想方法于一炉
的好题.
其次，本题面目温和、表述简洁、设问层层递进，易于入手而深入较难，是一道能较好甄别出
各 个思维层次的学生的知识与能力水平的一道试题.体现出高考试题应具有的选拔功能.
最后，本题较好 地与教材接了地气，如构造函数证明不等式的这个要构造的函数正是源于教材
的一道练习.体现出高考源 于课本而高于课本的原则，另外，本题具有深刻的高等数学背景，如泰勒
展开，对数均值不等式等.体现 出命题人高屋建瓴的高超命题技术，使试题具有一定的深度与广度.
3 解法探究
2.1第1问解答
分析：问题（1）的起步是比较低的，所以解题者起步的心情也是比较愉悦 的.最容易想到的就
是使用数学归纳法.
解法1（数学归纳法）先证明
x
n
?0
，
n?N
.用数学归纳法，当
n?1
时，命题显然成立 ，设
当
n?k
时，
k?N
时命题成立，即
x
k?0
，则考虑函数
f(x)?x?ln(1?x)
是单调递增函数，且
?
?
?x
有
f(0)?0
，
x
n
?f(x< br>n?1
)
，所以
f(0)?x
k
?f(x
k?1)?x
k
?ln(1
k
)?fx(
由单调性知
k
，
)
0?x
k?1
?x
k
，因此命题对
n?k? 1
也成立，且
0?x
n?1
?f(x
n?1
)?x
n
.
解法2（反证法）假设
?1?x
n?1
?0
，则ln(1?x
n?1
)?0?x
n?1
?ln(1?x
n?1< br>)?0
，即
x
n
?0
，
同理可得
x
n?1
?0
，
?
，
x
1
?0
，与已知x
1
?1
矛盾，所以假设不成立，所以
x
n?1
?0< br>.
下同解法一.
2.2第2问解答
分析：第2问的高等背景其实就是泰勒 展开，如果解题者通过作差，再构造函数求导，那么过
度会比较自然.

解法1 （导数）
2x
n?1
?x
n
?
x
n
xn?1
x
?2x
n?1
?[x
n?1
?ln(1?x< br>n?1
)](1?
n?1
)
，令
x
n?1
? t?0
，研
22
t
2
?11tln(t?1)
所以
g(t)
单调递减，
????0
，
2(1?t)222
究函数
g(t)?2t?[t?ln(1?t)](1?)
，
g
'
(t)?
所以
g(t)?g(0)?0
，即
2x
n?1
?x
n?
x
n
x
n?1
?0
.
2
x
4x
n?1
x
n?1
(x?0)
）即证
x
n?
.
ln(1?x
n?1
)?
，
1?x
2?x
n?1
1?x
n?1
解法2（利用不等式
ln(1?x)?
x
n
?x
n?1
?ln(1?x
n?1
)?x
n? 1
?
x
n?1
.
1?x
n?1
22
x< br>n?1
2x
n?1
?x
n
2x
n?1
?x< br>n
4x
n?1?1?1
化简可得，
x
n
?x
n?1
?ln(1?x
n?1
)?x
n?1
?
，
??
1?x
n?1
1?x
n?1
1?x
n?1
2? x
n?1
3
x
n
4x
n?1
?1
. ??0
，所以
x
n
?
2?x
n?1
(1?x< br>n?1
)(2?x
n?1
)
x
2
x
3
x
2
3
解法3（泰勒展开）
ln(1?x)?x???o(x)
，
ln(1?x)?x?

232
2
x
n
xx
x
n
?x
n?1
?ln(1?x
n?1
)?x
n ?1
?x
n?1
?
?1
?2x
n?1
?
n n?1
.
22
解法4（对数均值不等式）由对数—算术平均数可得，
1?x
n?1
?11?x
n?1
?1
，上式可化
?
ln( 1?x
n?1
)?ln12
为
x
n
x
n?1
x
n?1
2?x
n?1
2
2x?x?
，即.
?
?2x
n
?x
n
x
n?1
?4x
n?1< br>?x
n
?4x
n?1n
?1n?1
2
x
n< br>?x
n?1
2
2.3第3问解答
分析：第3问是该问题的核心和精髓 部分.直接用数学归纳法的话，其实就进入了解题的陷阱，
并且第3问的解答还用到了第2问的结论，这 是浙江高考题的一贯特色.
解法1 我们熟知
lnx?x?1
，因此有
x< br>n
?x
n?1
?ln(1?x
n?1
)?2x
n?1
，于是
x
n?1
1
?
，这样就有
x
n2
x
n
n?1
x
k?1
1
n?1
21 1
?
，
?
?
?()
，左边不等式成立.根据第（2）小题 结论，我们有
?
x
n
x
n?1
2
x
1k?1
x
k
2
11
?
x2
11
11< br>?2
，因此可得
??2
n?2
，从而
x
n
?
考虑不动点，有
n?1
?
n?2
，右边不等式成
11
1
2
x
n
2
?
2
n?2
?
x< br>n
2
2

立，综上所述，原命题得证.
解法2 将（ 2）中的结论变形为
111
121
??
，即
n?1
?
n
?
n?2
，递推可得
2x
n?1
2x
n
2
x
n?1
x
n
2
111111
??(???
?)??
2
n
x
n
2x
1
2
3
2
4
2
n?1
2
8(1?
1
)
2
n?1
?
1
?
1
，故
x?
1
(n?N
?
)
.
n
n?1
1
2
n?2< br>42
1?
2
解法3（不等式左边可利用几何意义）由（1）可知
xn?1
?x
n
，所以点
(x
2
,x
1
)
，
(x
3
,x
2
)
，
(x
4< br>,x
3
)
，
?
，
(x
n?1
,x< br>n
)
在
f(x)?x?ln(1?x)
的图象上从左到右排列，
x
n
的几何意义为点
(x
n?1
,x
n
)
与原
x
n?1
点连线的斜率，由图象可知
半同解法1.
x
n
xx
xx
???
3
?
2
?
1
?f
'
(0)
，而
f
'
(0)?2
，所以
n
?2
，后一
x
n?1
x
4
x
3
x
2
x
n?1
解法4（数学归纳法）证明
x
n
?< br>1
2
n?2
?
1
1
2
（2）可知
x
n?1
?
(n?N
?
)
.由
2x
n
2x
，函数
f(x)?
4?x
4?x
n
在
(0, 1)
上单调递增.当
n?1
时，
1
2
n?2
?2
?1
，
x
1
?1
，命题成立；
1
2
k?2
?
1
2
假设当
n?k(k?1,k?N)
时命题成立，即
x
k
?
?
(n?N
?
)
；
2x
k
222
.所以当
n?k?1
时，结
??k
?
11
4?x
k
4(2
k?2
?)?12?1
2
(k?1)?2
?
22
11
论也成立. 所以 对一切正整数
n
，
x
n
??
n?2
.后一半同解法 1.
1
2
2
n?2
?
2

4加强与推广
当
n?k?1
时，
x
k?1
?
4.1 第2小问加强
2
4x
n?1
?x
n?1
结论1
x
n
?

2?x
n?1
第二问即证
xn
?
2
4x
n?1
?x
n?1
.
?
2?x
n?1
2x
4x
n?1
2x
n?1
.由
ln(1?x)?
，∴
x
n
?x
n?1
?ln (1?x
n?1
)?x
n?1
?

2?x
2?x
n?1
2?x
n?1
4.2 第3小问加强

结论2
x
n
?
1
2
n?2
?
1
2
110
结论3
x
n
?
n?2
?
n?1
(n?2)

23
4.3 改编和推广
结论4：将
x
1
?1
改 为
x
1
?0
，原数列单调递减收敛于
0
；
将x
1
?1
改为
?1?x
1
?0
，原数列单调递 增收敛于
0
.
结论5：已知数列
{x
n
}
满足：
x
1
?1
，
x
n
?x
n?1
?l n(1?kx
n?1
)(n?N
?
,k?0)
.则（1）
( n?N
?
)

(1?k)x
n?1
?x
n
?
k
12
x
n
x
n?1
；（2）
?x?< br>.
n
n?1n?1
2
(1?k)1?(1?k)
2x
?ln(1?x)?x(x?0)
，这里便不作详细解答.
2?x
分析：该结论的证明也只用到了
5题源与背景分析
一般情况下，我们 需要用到一些重要结论对函数进行放缩，寻找到合适的隔离函数.下面，主要
谈一谈
ln(1? x)
与
e
有关的函数不等式结论.
x
e
x
?1?
111
x?x
2
???x
n
??,x?R

1!2!n!
n?1
x
2
x
3
n
x
ln (1?x)?x???
?
?(?1)?
?
,x?1

23n ?1
x2x
?ln(x?1)?x(x??1)
，
ln(x?1)?(x?0 )
，
x?12?x
2(x?1)11112(x?1)
?lnx?(x?) (x?1)
，
(x?)?lnx?(0?x?1)
，
x?12x2xx?1
111111
1??lnx?x?1(x?0)
，
??lnx?x(x?0)
，
?ln(1?)?(n?N
?
)
等.
xexen?1n n
e
2x2
x
xx
涉及到
e
的不等式：
e ?x?1(x?R)
，
e?ex(x?0)
，
e?x?x(x?0)
，
2
e1
e
x
?x
3
?x
3
(x ?0)
等.
63
涉及到
ln(1?x)
的不等式：
一题一 世界，一解一源泉.解题的根本在于寻根探源，这样才可以深化对解题过程的理解.
以与
ln (1?x)
和
e
为背景的函数不等式题目，在各地的高考和各校的自主招生里都扮演着 重要
的角色.
（2005年重庆卷第22题）已知
a
1
? 1,a
n?1
?(1?
x
11
)a?
.（Ⅰ）用数学归纳法 证明
n
n
2
?n2
n
a
n
?2(n?2)
；（Ⅱ）对
ln(1?x)?x
对
x?0
都成立，证明
a< br>n
?e
2
（无理数
e?2.71828?
）

（2018年浙江名校联盟第一次联考）数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?(1?
明：当
n? N
?
时，（Ⅰ）
a
n?1
?a
n
；（Ⅱ）
1
)a
n
(n?N*)
．证
2
n?n
2nen.
≤a
n
≤
n?1n?1
x(1?
?
x)
(2013广西理22)已知函数
f(x)?ln(1?x)?
.（Ⅰ）若
x?0时，
f(x)?0
，求
?
的
1?x
1111
? ln2
. 最小值；（Ⅱ）设数列
{a
n
}
的通项
a
n
?1?????
，证明：
a
2n
?a
n
?23n4n
ax
(a?1)
.（1）讨论
f(x)
的单调性；（ 2）设(2014广西理22)函数
f(x)?ln(x?1)?
x?a
23
?a
n
?
.
a
1
?1,a
n?1
?ln (a
n
?1)
，证明：
n+2n?2
e
x
?1xx
（2012年清华）
f(x)?ln
，
a
1
?1< br>，
a
n?1
?f(a
n
)
.（1）求证：
e x?e?1?0
恒成立；
x
（2）试求
f(x)
的单调区间；（3 ）求证：
{a
n
}
为递减数列，且
a
n
?0
恒成立.
（2013年华约）已知
f(x)?(1?x)e?1
.（1）求证：当
x?0
时，
f(0)?0
；（2）若数列
{x
n
}
满足
x
n
e
x
n
?1
x
?ex
n
?1
，
x
1
?1
，求证：
{x< br>n
}
递减.
2x
（2017年清华）已知
f(x)?e值范围是
(
?e
x
?ax
，对任意实数
x?0
，均有
f(x)?2
，则实数
a
的取
)

A.(??,2]

B.(??,3]

C.(??,2)

D.(??,3)

4 教学反思与建议
本题是一道综合了数列、函数与不等式的一道难题.要想成功解法，需具备扎实的基本 功及解题
能力.因此，教师在教学的过程中，应做到如下几点：
（1）教师要重视教材，重视 学生的基本功训练.本题虽然是一道压轴题，但其中体现出的数学
思想与方法却并非高不可攀.教材中有 大量值得教师与学生一起探究与学习的材料，教师应充分利用
这些资源，激发学生学习的兴趣，使学生在 探究中提高基本技能.教师要在平时的教学中重视教材、
引领学生进行探究，做到触类旁通、心中有数.
（2）教师要重视学生数学思想的培养，在教学中要重视学生的数学思想方法的发生、生成、内
化、升华过程.这是数学基本功中的“内力”，并非一朝一夕能改变，教师要意识到这是细水长流的
过程 ，不能急功近利，使学生在长期接触与体会得到升华.
（3）教师应善于学习，努力提高自己的业务能 力，要能站在较高的角度看待和审视问题.这样
才能深刻识别出隐藏在试题背后的核心数学思想.并发掘 其中有价值的东西传授给学生，做到“会当
凌绝顶，一览众山小”.