[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《基本不等式》说课(浙江石小丽)doc高中数学

[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动
《基本不等式》说课（浙江石小丽 ）doc高中数学

授课教师：浙江省桐乡第一中学 石小丽
教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学目标
1．通过两个探究实 例，引导学生从几何图形中获得两个差不多不等式，了解差不多不
等式的几何背景，体会数形结合的思想 ；
2．进一步提炼、完善差不多不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析
证明 方法，加深对差不多不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．结合课本的探究图形，引导学生进一 步探究差不多不等式的几何讲明，强化数形结
合的思想；
4．借助例1尝试用差不多不等式解 决简单的最值咨询题，通过例2及其变式引导学生
领会运用差不多不等式
ab?
a?b
的三个限制条件〔一正二定三相等〕在解决最值中的作
2
用，提升解决咨询题的能力， 体会方法与策略．
以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维 目
标融入各个教学环节．
二、教学重点和难点
重点：应用数形结合的思想明白得差 不多不等式，并从不同角度探究不等式
ab?
的证明过程；
难点：在几何背景下抽象出差不多不等式，并明白得差不多不等式．
三、教学过程：
1．动手操作，几何引入
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标
是依照我国古代数学家赵爽的〝弦图〞设计的，该图给出了迄今为止
对勾股定理最早、最简洁的 证明，表达了以形证数、形数统一、代数
和几何是紧密结合、互不可分的．
探究一：在这张〝弦图〞中能找出一些相等关系和不等关系吗？
a?b

2

在正方形
ABCD
中有4个全等的直角三角
形．设直角三角形 两条直角边长为
a,b
，
那么正方形的边长为
a
2
?b
2
．因此，
4个直角三角形的面积之和
S
1
?2ab
，
正方形的面积
S
2
?a
2
?b
2
． 由图可知
S
2
?S
1
，即
a
2
?b< br>2
?2ab
．
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角
三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形〔两边分不等于两个
直角三角形的直角边，余外 部分折叠〕．假设两个正方形的面积分不
为
a
和
b
〔
a?b
〕，考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能
发觉一个不等式吗？
通过学生动手操作，探究发觉：
ab?
2．代数证明，得出结论
依照上述两个几何背景，初步形成不等式结论：
假设
a,b?R
?
，那么
a?b?2ab
．
假设
a,b?R
?
，那么
ab?
22
b

a

a?b

2
a?b
．
2
学 生探讨等号取到情形，教师演示几何画板，通过展现图形动画，使学生直观感受不等
关系中的相等条件， 从而进一步完善不等式结论：
〔1〕假设
a,b?R
?
，那么
a< br>2
?b
2
?2ab
；〔2〕假设
a,b?R
?
，那么
ab?
请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．
证法一〔作差法〕：
a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2
?0

?a
2
?b
2
?2ab
，当
a?b
时取等 号．
a?b

2
〔在该过程中，可发觉
a,b
的取值能够是全体实数〕
证法二〔分析法〕：由于
a,b?R
?
，因此

要证明
a?b
?ab
，
2
只要证明
a?b?2ab
，
即证
a?b?2ab?0
，
即
(a?b)
2
?0
，该式明显成立，因此
得出结论，展现课题内容
差不多不等式:
假设
a,b?R
?
，那么
ab?
a?b
?ab
，当
a?b
时取等号．
2
a?b
〔当且仅当
a?b
时，等号成立〕
2
假 设
a,b?R
，那么
a
2
?b
2
?2ab
〔当且仅当
a?b
时，等号成立〕
深化认识：
称
ab
为
a,b
的几何平均数；称
差不多不等式
ab?
a?b
为a,b
的算术平均数
2
a?b
又可表达为：
2
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
3．几何证明，相见益彰
探究三：如图，
AB
是圆
O
的直径，点
C
是
AB
上一点，
AC?a
，
BC?b
．过点
C
作
垂直于
AB
的弦
DE
，连接
AD,BD
．
依照耀影定理可得：
CD?AC?BC?ab

由于Rt
?COD
中直角边
CD?
斜边
OD
，
因此有
ab?
D
B
E
A
O
C
a?b

2
当且仅当点
C
与圆心
O
重合时 ，即
a?b
时等号成立．
故而再次证明：
当
a?0,b?0时，
ab?
a?b
〔当且仅当
a?b
时，等号成立〕
2
〔进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性〕
4．应用举例，巩固提高 < br>例1.〔1〕用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，咨询那个矩形的长、宽各为多
少时， 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

〔2〕一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园， 咨询那个矩形的长、宽为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少？
〔通过例1的讲解，总结归纳利用差不多不等式求最值咨询题的特点,实现积与和的转
化〕
关于
x,y?R
?
，
〔1〕假设
xy?p
〔定值 〕，那么当且仅当
a?b
时，
x?y
有最小值
2p
； s
2
〔2〕假设
x?y?s
〔定值〕，那么当且仅当
a?b时，
xy
有最大值．
4
〔鼓舞学生自己探究推导，不但可使他们加深差 不多不等式的明白得，还锤炼了他们的
思维，培养了勇于探究的精神．〕
例2.求
y?x?
1
(x?0)
的值域．
x
1
的最小值．
x?2
1
使
(x?0)
的函数图象，
x
变式1. 假设
x?2
，求
x?
在运用差不多不等式解题的基础上，利用几何画板展现< br>y?x?
学生再次感受数形结合的数学思想．
并通过例2及其变式引导学生领会运用差 不多不等式
ab?
a?b
的三个限制条件〔一
2
正二定三相等〕在解 决最值咨询题中的作用，提升解决咨询题的能力，体会方法与策略．
练一练〔自主练习〕：
1.
x?0,y?0
，且
28
??1
，求
xy
的最 小值．
xy
2.设
x,y?R
，且
x?y?2
，求
3
x
?3
y
的最小值．
5．归纳小结，反思提高
差不 多不等式：假设
a,b?R
，那么
a
2
?b
2
?2 ab
〔当且仅当
a?b
时，等号成立〕
假设
a,b?R
?
，那么
ab?
a?b
〔当且仅当
a?b
时，等号成立〕
2
〔1〕差不多不等式的几何讲明〔数形结合思想〕；
〔2〕运用差不多不等式解决简单最值咨询题的差不多方法．
媒体展现，渗透思想：
假设将算术平均数记为
z
1
?
x?y
，几何平均数记为
z
2
?xy

2
利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展现差不多不等式的几何背景：

平面
z
1
?

x?y
在曲面
z
2
?xy
的上方
2

6．布置作业，课后延拓
〔1〕差不多作业：课本P100习题
A
组1、2题
〔2〕拓展作业：请同 学们课外到阅览室或网上查找差不多不等式的其他几何讲明，整
理并相互交流．
〔3〕探究作业：
现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人讲要用它称物体的重量， 只需将物体
放在左右托盘各称一次，那么两次所称重量的和的一半确实是物体的真实重量．这种讲法对< br>吗？并讲明你的结论．