青花瓷封面的高中数学教材-武汉高中数学慕课工作室
1.4.2 空间向量应用（二）
【题组一 空间向量求线线角】
1
．（
2020·
宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼
成一个平行四边形
ABCD
，将
平行四边形
ABCD
沿对
角线
BD
折起，使平面
ABD?
平面
BCD
，则直线
AC
与
BD
所成角余弦值为（
）
A
．
22
3
B
．
6
3
C
．
3
3
D
．
1
3
2
．
?BAD?60?
，
（
2020·
湖北武汉。月考）如图，直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形，
AA
1
?AB?2
，
M
是
BB
1
的中点，则异面直线
A
1
M
与
B
1
C
所成角的余弦值为（
）
A
．
?
10
5
B
．
?
1
5
C
．
1
5
D
．
10
5
3
．（
2019
·
绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
?AB?4
，AD?2
，
E
、
F
、
G
分别是
DD<
br>1
、
AB
、
CC
1
的中点，则异面直线
A<
br>1
E
与
GF
所成角的余弦值是（
）
11 11
A
．
0
B
．
10
5
C
．
2
2
D
．
15
5
4
．（
2019
·
浙江湖州
.
高二期中）在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，异面直线
AC
与
B1
D
所成的角为（
）
A
．
C
．
?
6
?
3
?
4
?
D
．
2
B
．
5
．（
2020·
武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥V?ABC
的侧棱长为
3
，底面边长为
2
，则
VA与
BC
所成角的余弦值为
______.
【题组二 空间向量求线面角】
1
．（
2020·
江苏高二）如图
，在三棱锥
P-ABC
中，
AC
⊥
BC
，且，
AC
=BC=2
，
D
，
E
分别为
AB
，
PB<
br>中点，
PD
⊥平面
ABC
，
PD=3.
11 11
(1)
求直线
CE
与直线
PA
夹角的余弦值；
(2)
求直线
PC
与平面
DEC
夹角的正弦值
.
CC
1
?
底面
ABCD
，
2
．（
2020·
沙
坪坝
.
重庆八中）如图，四棱台
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
是菱形，
且
?BAD?
60°
，
CD?CC
1
?C
1
D
1
?4
，
E
是棱
BB
1
的中点
.
（
1
）求证：
AA
1
?BD
；
（
2
）求直线
AA
1
与平面
A
1
EC
1
所成线面角的正弦值
.
11 11
3<
br>．
BC?1
，（
2020·
浙江金华
.
高二期末）在
三棱锥
C?ABD
中，
BC?CD
△ABD
是边长为
2的等边三角形，
且平面
CBD?
平面
ABD
，
P
，
E
分别为线段
BD
、
CD
的中点
.
（
1
）求证：
AE?CD
；
（
2
）求直线
AP
与平面
ABC
所成角的正弦值
.
4
（
2020·
浙江瓯海
.
温州中学高二期末）如图，已知三棱锥
P?ABC
，
PC?AB
，
ABC
是边长为
2
的正
三角形，
PB?4
，
?PB
C?60?
，点
F
为线段
AP
的中点．
（
Ⅰ
）证明：
PC?
平面
ABC
；
（
Ⅰ
）求直线
BF
与平面
PBC
所成角的正弦值．
5
．（
2020·
甘肃城
关
.
兰大附中）如图，在四棱锥
P?ABCD
中，
PA?
底
面
ABCD
，底面
ABCD
为直角梯
11 11
形，
AB?AD
，
BC
∥
AD<
br>，
AD?2BC?2PA?2
，
AB?1
，
E
，F
，
G
分别为线段
AD
，
DC
，
PB
的中点．
（
1
）证明：平面
PEF
∥平面
GAC
．
（
2
）求直线
GC
与平面
PCD
所成角的正弦值．
【题组三 空间向量求二面角】
1<
br>．（
2020·
全国）如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为边长为
3
的正方形，
AP?
平面
APD?
平面
ABCD
，
E
为
AP
的中点，
F
为
CD
的中点．
6
，
PD?3
，
（
Ⅰ
）求证：
EF
平面
PBC
；
（
Ⅰ
）求二面角
A?BP?C
的余弦值．
2
．（
2020·
全国）已知三棱柱
ADEBCF
中，侧面
ABCD
是矩形，
ABFE
是
?AEF?60?
的菱形，且平面
11 11
ABCD?
平面
ABFE
，
M
，
N
，
P
分别是
DE
，
AE
，
BF
的中点
.
（
1
）证明：
EP
平面
CMN
；
（
2
）若
AB?2AD
，求二面角
M?NP?C
的余弦值
.
3
．（
2020
·
全国高三其他（理））如图
1
，平面四边形
ABPC
中，
ABC
和
PBC
均为边长为
23
的等边
三角形，现沿
BC
将
PBC
折起，使
PA?32
，如图
2.
（
1
）求证：平面
PBC?
平面
ABC
；
（
2
）求二面角
A?PB?C
的余弦值
.
4
．（
2020·
全国）如图
1
，等
腰梯形
ABCD
中，
ABCD
，
AB?2AD?4
，
P
为
AB
的中点，对角线
AC
平分
?DAB
，将
△ACD
沿
AC
折起到如图
2
中
△ACD
?
的位置
.
11 11
（
1
）求证：
PD
?
?AC
.
（
2
）若二面角
B?AC?D
?
为直二面角，
M
为线段AB
上的点，且二面角
A?D
?
C?M
与二面角
M?D
?
C?B
大小相等，求出
AM
AB
的值
.
【题组四
空间向量求距离】
1
．已知正方体
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
，点
E
是<
br>A
1
B
1
的中点，则点
A
到直线
BE
的距离是
(
)
11 11
A
．
65
5
25
5
B
．
45
5
5
5
C
．
D
．
2
．（
2020·
全国高二课时练习）在直三棱柱中，
AA
1
?AB?BC?3
，AC?2
，
D
是
AC
的中点
.
（
1
）求证：
B
1
C
平面
A
1
BD
；
（
2
）求直线
B
1
C
到平面
A
1
BD
的距离
.
3
．（
2020·
全国高二课时练习）如图，在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中，∠
ABC=90°
，
BC=2
，
CC
1
=4
，点
E
在棱
BB
1
上，
EB
1
=1
，
D
，
F
，
G
分别
为
CC
1
，
B
1
C
1
，
A
1
C
1
的中点，
EF
与
B
1
D
相交于点
H.
11 11
（
1
）求证：
B
1
D
⊥平面
ABD
；
（
2
）求证：平面
EGF
∥平面
ABD
；
（
3
）求平面
EGF
与平面
ABD
的距离
.
4
．（
2020·
全国高二课时练习）在三棱锥
S?ABC
中，
ABC
是边长为
4
的正三角形，平面
SAC?
平面
ABC
，
SA?SC?
23
，
M
，
N
分别为
AB
，
SB
的中点，如图所示
.
求点
B
到平面
CMN
的距离
.
11 11
5
．（
2020·
江苏常熟
.
高二期
中）如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，
PA?AD?4
，
AB?2
，M
是
PD
上一点，且
BM?PD
.
（1
）求异面直线
PB
与
CM
所成角余弦的大小；
（
2
）求点
M
到平面
PAC
的距离
.
6
．（
2020·
安
徽）如图，边长为
2
的等边
ABC
所在平面与菱形
A
1ACC
1
所在平面互相垂直，
AC?3AC
1
，
1M
为线段
AC
的中点
.
11 11
（
1
）求证：平面
BMC
1<
br>?
平面
A
1
BC
1
；
（
2
）求点
C
到平面
A
1
BC
1
的距离.
7.
（
2020·<
br>福建）如图，四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，点
E
在
PA
线段上，
PC
平面
BDE
（
1
）请确定点
E
的位置；并说明理由
.
平面
PAD
?
平面
ABCD
，（
2）若
△PAD
是等边三角形，
AB?2AD
，四棱锥
P?ABC
D
的体积为
93
，
求点
E
到平面
PCD
的
距离
.
11 11