【精选】浙江版高考数学一轮复习专题8.6空间直角坐标系空间向量及其运算练

第06节 空间直角坐标系、空间向量及其运算
A 基础巩固训练
1.在空间直角坐标系中，点M的坐标是
A．
【答案】B
B． C．
，则点M关于y轴的对称点坐标为（ ）
D．

2.如图，在正方体
（ ）
，若，则的值为

A．3 B．1 C．－1 D．－3
【答案】B
【解析】
.

3. 在正方体
AB CD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
为正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
四边上的动点，
O
为底面正方形
ABCD
的中心，M
，
N
分别为
AB
，
BC
的中点，点
Q
为平面
ABCD
内一点，线段
D
1
Q
与
OP
互相平分，则满足
的实数λ的值有( )
＝λ

A．0个
C．2个






B．1个
D．3个

【答案】C

4.已知
a
＋3
b
与7
a
－5
b
垂直，且
a
－4
b
与7
a
－2
b
垂直，则〈
a
，
b
〉＝________.
【答案】60°
【解析】由条件知(
a
＋3< br>b
)·(7
a
－5
b
)＝7|
a
|＋16< br>a·b
－15|
b
|＝0，
及(
a
－4
b
)·(7
a
－2
b
)＝7|
a
|＋8|
b
|－30
a·b
＝0.
1
22
两式相减，得46
a·b
＝23|
b
|，∴
a·b
＝|
b
|. 2
代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|
a
|＝|
b
|.
1
|b|2
2
a·b1
∴cos〈
a
，
b
〉＝＝＝.
|a||b||b|22
∵〈
a
，
b
〉∈[0°，180°]，∴〈
a
，
b
〉＝60°.
→→→→
5. 在四面体
O
—
ABC
中，OA＝
a
，OB＝
b
，OC＝
c
，
D
为
BC
的中点，
E
为
AD
的中点，则OE＝
_____________ _(用
a
，
b
，
c
表示)．
22
22

111
【答案】
a
＋< br>b
＋
c

244
11
→
1
→
1
→
1
→
1
→
1
→
1
【解析】 OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC=
a
＋
b
＋
c.

22244244
B能力提升训练
1. 已知空间四点
【答案】
共面，则=

2.【2016届湖 南长沙市一模】在空间直角坐标系中，已知点
长度为__________．
【答案】
．
， 分别为棱， 的中点，则
，则线段的
【解析】根据两点间距离公式得 ：
3．如图，四面体的每条棱长都等于，点
__________；__________．

【答案】
【解析】设

中点为，以点为坐标原点，， ， 分别为， ， 轴，建
立空间直角坐标系，

，， ，， ，，
，， ，，
，∴，，故
答案为，.
中，
与分别是线段
，
与
，已知与分4．如图，在直三棱柱
别是棱和的中点，上的动点（不包括端点）．若< br>，则线段的长度的取值范围是__________．

【答案】

，，，，，
∵，∴，
，
当时，，
当时，（不包含端点故不能取），，
∴长度取值为．
12
5.如图所示， 平行六面体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1D
1
中，
E
、
F
分别在
B
1
B
和
D
1
D
上，且
BE
＝
BB
1
，
DF
＝
DD
1
.
33

(1 )求证：
A
、
E
、
C
1
、
F
四点 共面；
-→-→-→-→
(2)若EF＝
x
AB＋
y
AD ＋
z
AA1，求
x
＋
y
＋
z
的值． 1
【答案】（1）
A
、
E
、
C
1
、< br>F
四点共面．（2）.
3

∴
A
、
E
、
C
1
、
F
四点共面．
-→-→-→
(2)∵EF＝AF－AE
-→-→-→-→
＝AD＋DF－(AB＋BE)
-→
2
-→-→
1
-→
＝AD＋DD1－AB－BB1
33
-→-→
1
-→
＝－AB＋AD＋AA1.
3
1
∴
x
＝－1，
y
＝1，
z
＝.
3
1
∴
x
＋
y
＋
z
＝.
3
C思维扩展训练
1. 已知，当取最小值时，的值等于（ ）
A．B．－C．19D．
【答案】A

2.【全国卷2】直三棱柱ABC -A
1
B
1
C
1
中，∠BCA=90°，M，N分别是A< br>1
B
1
，A
1
C
1
的中点，BC=CA=C C
1
，
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A.
【答案】C
B. C. D.
【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线
，
所以
，A（1，0，0），，故
为轴，则设CA=CB=1，则
，，
，故选C.
3.【江西卷】如右图，在长方体
顶点A射向点
点之间的线段记为
大致的图形 是（ ）
中，=11，=7，=12，一质点从
次到第次反射，遇长方体的面反射（反射 服从光的反射原理），将
，，将线段竖直放置在同一水平线上，则

z

E


y

D C
A B X

A B
【答案】C
【解析】
AE E3 F
E
A
E
M



C



D

因为
情况：由于
在线段
，所以延长交于，过作
在线段垂直于在矩形中分析反射
,第三次反射点为，第二次反射点为
上，此时
上，此时< br>,第四次反射点为
，.
.
在线段上,由图可知，选C.
4. 已知向量
（1）计算
（2）求
【答案】(1)
.
和
；.(2).

试题解析：
（1）
.
.
（2），
又
故.
，
5.如图，在直三棱柱





中，平面

侧面



，且

（1）求证：
（2）若直线 与平面

所成的角为
，请问在线段

上是否存在点 ，使得二面角


的大小为
，请说明理由.


【答案】(1)详见解析， (2)



（2）由（1） 平面

，则 直线 与平面

所成的角
所以 ，又

，所以




假设在线段

上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为



由





是直三棱柱，所以以点 为原点，以 、

所在直线分别为 轴建立空间直角

坐标系 ，如图所示，且设





，则由

，

，得






，

所以











设平面 的一个法向量




，由

，

得：







，取










由（1）知

平面

，所以平面 的一个法向量

所以

































，解得


∴点 为线段

中点时，二面角 的大小为