珠海高中数学老师招聘-高中数学老师压轴题
2019
届浙江省超级全能生新高考考前终极提分信息卷（二）
数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23
题（含选考题）。
全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将
自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡
上的相应位置，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷
类型A后的方框涂黑。
3、选择题
的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡
上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉
原来的答案，然后再写
上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
5、选考
题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用
0.5毫米黑色签字笔写
在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选
修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合
题目要求的．
1.（原创）设全集
U?
R，集合
A?xx?2
，
B?xx
2
?3x?4?0
，则
A?B
=（ ）
A．
x?2?x?4
B．
x-1
C．
x-2≤x≤2
D．
x-1≤x≤2
2.（原创）已知复数
z
1
=a+2
i
，
z
2
?2?i
，若
z
1
z
2
为实数，则实数
a
的值为（ ）
A．2
B．—2 C．4 D．
?4
?
?
??
?
{
?
{}
}{}
3.（原创）已知条件p
：
3?x?5
，q：
lnx<2
，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
- 1 -
4.（教材改编）如图所示是一个几何体的三视图，则该
几何体的表面积为
A.
20?4
?
B.
20?3
?
C.
24?4
?
D.
24?3
?
5.（教材改编）在等比数列
若数列
A.
中，=2，前n项和为，
1
1
正视图
2
22
4
侧视图
俯视图
也是等比数列，则等于（ ）
B.3
n
C.2
n
D.
6.（教材改编）设
x，y
满足约束条件
A.15
B.8 C.6
，则
3y?3
的最大值是（
）
x?1
D.10
2x
2
?5x
7.（改编）函数
f(x)?
的大致图象是(
)
x
2e
（改编于杭州地区七校共同体2018学年第一学期期末复习卷第7题）
8.已知
a
，
b
，
c
和
d
为空间中的4个单位向量，且
a
＋
b
＋
c
＝0，则｜
a
-
d
｜
+
｜
b
-
d
｜+｜
c
-
d｜
=0不可能等于（ ）
A. 3 B.
2
3
C.4 D.3
2
x
2
y
2
9.已知双曲线
C:
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，
P
为双曲线
C
上一点，
ab<
br>Q
为双曲线渐近线
C
上一点，
P,Q
均位于第一象限，且2QP?PF,QF?QF?0
，则双曲
212
线C的离心率为（ ）
A.
3?1
B.
3?1
C.
13?2
D.
13?2
????
10.已知<
br>f(x)?(3?a)x?
11
?b(a,b?R),x?[,3]
，记
f(x)
的最大值为
M(a,b)
，则
x3
- 2 -
M(a,b)
的最小值是（ ）
A.
B.
1
3
2
3
C.
4
3
D.
5
3
二、填空题：本题共7道小题,多空题每题每空6分，单空题每题4分，共36分.
11.（教材改编）双曲线的焦点在
x
轴上，实轴长为4，离心率为
3
，则
双曲线的标准方程
为 ，渐近线方程为 .
12.（教材改编
）已知
f(x)
在R上是偶函数,且满足
f(x+4)=f(x)
,当
x∈(0,2)
时,
f(x)=x
,则
f(-3)=
；
f()=
.
13.（教材改编）随机变量
X的分布列如右表所示，若
E(X)?
则
ab
=
；
D(3X?2)?
.
3
7
2
1
，
3
14.（教材改编）在△ABC中，D是AC边的中点，∠BAC=
π
，
3
cos∠BDC=
?
2
，△ABC的面积为6
7
，则AC= ；sin∠ABD= .
15.（教材改编）有3
所高校欲通过三位一体招收21名学生，要求每所高校至少招收一名且认
识各不相同，则不同的招收方法
有 种.
16.在
?ABC
中，
AC?6,BC?7
,cosA?,O是?ABC
的内心，若
OP?xOA?yOB
，
1
5
其中0?x?1,0?y?1
，则动点
P
的轨迹所覆盖的面积为
.
17.已知向量
a
，
b
满足
为
.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．
18.（教材改编）（本题满分14分）已知向量
a?(2sinx,cosx),b?(3cosx,
2cosx)
.
（1）若
x?k
?
?
=3，=2，若恒成
立，则实数t的取值范围
?
2
,k?Z
，且
a?b
，求2sin
2
x?cos
2
x
的值；
?
??
（2）定义函数
f(x)=a?b+1
，求函数
f(x)
的单
调递减区间；并求当
x?[0,]
时，函数
f(x)
2
的值域.
- 3 -
19.（本题满分 15 分） 在三棱锥 D ?
ABC中，AD?DC，AC?CB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面 ABD
? 平面 BCD
，E 为 AC 的中点．
（1）证明： AD ? BC ；
（2）求直线
DE
与平面
ABD
所成的角的正弦值．
20.（本题满分15分）已知在数列
?
a
n
?
中，
a
1
+2
a
2
+3<
br>a
3
+…+
n
a
n
=
n
(2
n
+1) (n
?N
?
)
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）求数列
?
2
y
2
x
21.（本题满分15分）已知椭圆
E
：
2
?
2
?
1(a?b?0)
，不经过原点
O
的直线
ab
?
nan
?
的前n项和
T
n
.
n
?
?
2
?
- 4 -
l:y?kx?m(k?0)
与椭圆
E
相交于不同的两点
A、
B
,直线
OA,AB,OB
的斜率依次构成等
比数列.
（1）求
a,b,k
的关系式.
（2）若离心率
e?
1< br>7
且
AB?
，当
m
为何值时，椭圆的焦距取得最小值？
|m|
2
22.（ 本小题满分15分）设函数
f(x)?
1
4
x?x
3
，x?
R．
4
（1）求函数
f(x)
在
x?1
处的切线方程；
（2）若对任意的实数
x
，不等式
f(x)?a?2x
恒成立，求实数a
的最大值；
（3）设
m?0
，若对任意的实数
k
，关于
x
的方程
f(x)?kx?m
有且只有两个不同的实根，
求实 数
m
的取值范围．
- 5 -
数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共
10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号
答案
1
B
2
C
3
A
4
D
5
C
6
A
7
B
8
A
9
C
10
B
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
x
2
y
2
321
11
-=1
，
y=±2x
；12. 1， ；13. ，5 ；14. 12，11. ；
48
14
86
15. 352 ；16.
106
1
；17.
t??3或t?
3
3
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. <
br>18.解：（1）因为
a⊥b
，所以
23sinx+2cosx=0
，
因为
x?k
?
?
2
2
?
2
,k?
Z
，所以
cosx?0
，即
tanx??
2
3
，
3
2tan
2
x?11
??
所以
2sinx?co
sx?
． .………7分
2
tanx?14
（2）
f(x)=a-b+1=23sinxcosx+2cos
2
x+1=3sin2x+cos2x+2
=
2sin(2x+)+2
，
.………9分
π
6
3
?
?
2
?
,k?Z
，得
k
?
??x?k
?
?,k?Z
， <
br>26263
?
2
?
所以函数
f(x)
的单调递减区间
是
[k
?
?,k
?
?],k?Z
．
.………11分
63
?
??
7
?
?
1
因
为
x?[0,]
，所以
2x??[,]
，
sin(2x?)?[?,
1]
，
266662
令
2k
?
?
?
?2
x?
?
?2k
?
?
- 6 -
所以当
x?[0,
?
2
]
时，函数
f(x)的值域[1,4]． .………14分
19．解：（I）法一：过
C
做CH?BD
，（其中
H
与
B,D
都不重合，否则，若
H
与
B
重合，
则
CB?BD
与
CD?1?CB?面
ABD?
面
BCD
2
矛盾；若
H
与
D
重合，则
AD?BD?1
，与
AB?2
矛盾）
?
CH?
面
BCD
?
CH?
AD
，又
AD?
CD
?
AD?
面
BCD
?
AD?
BC
法二：参见第（II）问的法三
（II）
法一：做
EQ?AH
，则
EQCH
，由（1）知：
EQ?
面
ADB
.………7分
?
?EDQ
即
DE与面
ABD
所成角，且
DE?
22
,EQ?
2
23
.………15
A
C
E
?
sin?EDQ?
分
QE3
?
ED3
Q
D
H
B
法二
：由（I）知：
AD?BD,BD?3
，且
AC?BC?2
EC
记
AB
的中点为
F
，
AF
的中点为
M
E
是
AC
的中点，
?
AB?EM<
br>，
AB?DM
A
M
F
H
B
?<
br>AB?
面
DEM
?
面
ABD?
面
DEM
D
?
?
EDM
即
DE
与面
ABD
所成角，且
ME?
132
,MD?,ED?
222
.………15分
?
sin?EDM?
ME3
?
MD3
法三：由（
I）知
AD?
平面
BCD
，
?AD?BD
，以
D<
br>为原点，分别以射线
DB,DA
为
x
轴，
y
轴的正半
轴，建立空间直角坐标系
D?xyz
z
C
E
- 7 -
y
A
D
B
x
由题意知
：
D(0,0,0),A(0,1,0),F(
112
,0,0),C(,0,)
333
∴
E(
11111
,,)
，
?DE?
(,,)
22
236236
1
∵平面
ABD
的法
向量为
n?(0,0,1)
，
设
DE
与面
ABD
所成角为
?
∴
sin
?
?|cosDE,n|?|
n?DE3
|?
3
|n|?|DE|
.………15分
法四：以
D
为坐标原点，DC,DA
为
x,y
轴，建立空间直角坐标系
D?xyz
则
C
?
1,0,0
?
,A
?
0,1,0
?
，设
B
?
a,b,c
?
，面
ABD
的
法向量为
n
1
，面
BCD
的法向量为
n
2
，则
?
a?
?
b?1
?
?c?4
?
AB?
2
?
a?1
?
?
?
?
1,?1,0?1?a,?b
,?c?0
，即，则
AC?BC?0
????
?
??
b?
0
?
??
n?n?0
n?n?0
?
c??2
?12
?
?
12
22
2
y
C
E
x
A
D
B
?
AD?BC?0
，
?
AD?<
br>BC
?
sin
?
?
z
DE?n
1
DE?n
1
?
3
3
，即
DE
与面
ABD
所成角的正弦值为.
3
3
.………15分
20.（1）
n?2
时，
a
1
+2
a
2
+3
a
3
+…+（
n
-1）
a
n?1
=（
n-1）(2
n
-1)，
?na
n
?4n?1
，
11
a
n
?4?
，当
n?1
时，
a
1<
br>?3
满足上式，
?
a
n
?4?
(n?N
?<
br>)
.
nn
na
4n?1
（2）记
b
n?
n
n
，则
b
n
?
,
n
2
2
37114n?1137114n?1
?T
n
??
2
?<
br>3
??
n
,
T
n
?
2
?
3
?
4
??
n?1
,
222222222
分
两式相减，得
T
n
?
.………7分
.………9分
.………12
1
2
74n?74n?7
.
.………15分
?
n?1
，
?T
n
?7?
n222
2
21. 解：（Ⅰ）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由题意得
k?k
OA<
br>?k
OB
?
y
1
y
2
x
1
x
2
?
x
2
y
2
222222222<
br>?
2
?1
2
(b?ak)x?2akmx?am?ab?0
由
?
可得
?
ab
?
y?kx?m
?
- 8 -
故
??(2akm)?4(b?ak)(am?ab)?0
，即b
222222222
2
?m
2
?a
2
k2
?0
?
x?x??
2a
2
km
2
?
1
22
(b
2
?a
2
k
2)
?
yykxx?km(x?x)?m
2
1212
?
k
?
12
?
2222
，
x
1
x
2
x
1
x
2
?
x?x
2
?
am?ab1
?
(b
2
?a
2
k
2
)
?
2
.……3分
222
2akm
?m
2
?0即
km(x
1
?x
2
)?m?0
，
?
2
又直线不经过原点，所以
m?0
22
(b?ak)
所
以
b
2
?a
2
k
2
即
b?ak
.………7分
（Ⅱ）若
e?
13
3
2
k?
a?2c,b?3c
k?
k?0
，则，，又，得<
br>24
2
.………9分
2
?
2akm
??
23m
x?x??
2
?
1
3
(b
2
?a
2
k
2
)
?
?
.………11分
2
222
?
x?x?
am?ab
?
2
m
2
?
2c
2
2
1
?
(b
2
?a
2
k<
br>2
)
3
?
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?
7723m
2
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x<
br>1
?x
2
?(?)?4(m
2
?2c
2
)<
br>
2233
2
2
77
2
2
m
4m<
br>?
1
2
?
23
（
??0
恒成立）
……14分
???8c?
化简得
2c?
3
m
3
23|m|
4
当
m??3
时，焦距最小 .………15分
32
22.（Ⅰ）解：
f
?
(x)?x?3x
，
f'(1)??2
.
.………1分
且
f(1)??
35
，所以在
x?1
处的切
线方程为
y??2x?
. ………3分
44
（Ⅱ）
证明：因为对任意的实数
x
，不等式
f(x)?a?2x
恒成立.
x
4
?x
3
?2x
恒成立.
.………4分
所以
a?
4
x
4
?x
3
?2x
， 设g(x)?
4
则
g'(x)?x?3x?2?(x?1)(x?2x?2)
?(x?1)(x?1?3)(x?1?3)
322
- 9
-
所以
g(x)
在
1?3,1
，
1+3,
??
单调递增，
在
??,1?
?
???
3
?，
?
1,1+3
?
单调递减.
………6分
?
所以
g(x)
min
?min{g(1?3),g(
1?3)}
，
因为
1?3
，
1+3
是方程
x2
?2x?2=0
的两根.
4
x
0
(2x
0
?2)
2
3
?x
0
?2x
0
??x
0
(2x
0
?2)?2x
0
所以
g(x
0)?
44
2
2
??x
0
?2x
0
?1
??1
. （其中
x
0
?1?3
）
?
(x
0
?1)
2
?2x
0
所以
a
的最大值
为
?1
.
………9分
（Ⅲ）解:若对任意的实数
k
，关于
x
的方程
f(x)?kx?m
有且只有两个不同的实根，
当
x?0
，得
m?0
，与已知矛盾.
x
4
?4x
3
?4mx
4
?4x
3
?4m
所以
k?
有两根，即
y?
与
y?k
有两个交点. …10分
4x4x
x
4
?4x
3
?4m3x
4
?8x
3
?4m
令
h(x)?
，则
h'(x)?
.
4
x4x
2
令
p(x)?3x?8x?4m
，
p'(x)?12x(x
?2)
，则
p(x)
在
(??,2)
单调递减，
432(2,??)
单调递增，所以
p(x)
min
?p(2)?4m?16<
br>. …11分
（ⅰ）当
4m?16?0时，即
m?4
时，则
h'(x)?0
，即
h(x)
在<
br>(??,0)
，
(0,??)
单调
递增，且当
x???
时，
h(x)???
；当
x?0
?
时，
h(x)???<
br>；当
x?0
?
时，
h(x)???
；当
x???时，
h(x)???
.此时对任意的实数
k
，原方程恒有且只有
两个不同的解.
………12分
（ⅱ）当
0?m?4
时，
p(x)
有两个非负根x
1
，
x
2
，所以
h(x)
在
(??
,0)
，
(0,x
1
)
，
(x
2
,??)
单调递增，
(x
1
,x
2
)
单调递减，所以当k?(h(x
2
),h(x
1
))
时有4个交点，
k=
h(x
1
)
或
k=h(x
2
)
有3个交点，均与题
意不合，舍去. ………13分
（ⅲ）当
m?0
时，则<
br>p(x)
有两个异号的零点
x
1
，
x
2
，不
妨设
x
1
?0?x
2
，则
h(x)
在
- 10 -
(??,x
1
)
，
(x
2
,??)
单调递增；
h(x)
在
(x
1<
br>,0)
，
(0,x
2
)
单调递减.
又
x?
??
时，
h(x)???
；当
x?0
?
时，
h(x
)???
；当
x?0
?
时，
h(x)???
；当
x
???
时，
h(x)???
.
所以当
h(x
1
)
?h(x
2
)
时，对任意的实数
k
，原方程恒有且只有两个不同的解
.
4343
所以有
3x
1
?8x
1
?4m?0<
br>，
3x
2
?8x
2
?4m?0
，得
223(x
1
2
?x
2
)(x
1
?x
2<
br>)?8(x
1
2
?x
2
?x
1
x
2
)
.
3232
22
由
h(x
1
)?h(
x
2
)
，得
x
1
?3x
1
?x
2
?3x
2
，即
x
1
?x
2
?x
1
x
2
?3(x
1
?x
2
)
.
2
2
所以
x
1
?x
2
?8
，
x
1<
br>x
2
??2
，
x
1
?x
2
?2.
3344
故
8m?8(x
1
?x
2
)?3
(x
1
?x
2
)
222
?8(x
1?x
2
)(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
)?3[(x
1
2
?x
2
)?2(x1
x
2
)
2
]
??8
.
所以
m??1
.
所以当
m?4
或
m??1
时，原方程对任意实数
k
均有且只有两个解.………15分
- 11
-