浙江省衢州市高二数学《27 随机变量》教案

§2.1.1离散型随机变量
一、教材分析：
随机变量在概率统计研究中起 极其重要的作用，它通过实数空间来刻画随机现
象，从而使得更多的数学工具有了用武之地。随机变量是 连接随机现象和实数空间的
一座桥梁，它使得我们可以在实数空间上研究随机现象。离散型随机变量是最 简单的
随机变量，本节通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。

二、学情分析：
学生刚接触随机变量可用熟悉的实例来描述，以加深他们对随机变量的理解。 学
生可能在理解离散型随机变量会有困难，我通过例题和练习来为学生巩固本节知识。
学生有过 探究、交流的课堂教学的尝试。
三、教学目标：
1、知识与技能
理解随机变量的意义，学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随
机变量的例子。
2、过程和方法：
通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解理解随机变 量所表
示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量，发展抽象、概括能力，提高实际解决
问题的 能力。
3、情感和价值：
学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣。
四、教学重点、难点：
重点：随机变量、离散型随机变量的意义。
难点：随机变量、离散型随机变量的意义。
五、教学过程
（一）复习引入：
1. 展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件
辅助教学)， 激发学生的求知欲

某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结 果，即可能
出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；
某次产品检验，在可能含有 次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的
次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可 能出现的结果可以由0，1，2，3，4
这5个数表示
在这些随机试验中，可能出现的 结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验
前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不 变?
观察，概括出它们的共同特点
（二）新课讲授
【思考1】：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那
么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
掷一枚硬币 ，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果
不具有数量性质，但我们可以用数1 和 0分别表示正面向上和反面向上。

在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对 应关系，使得每一个试验结
果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而 变化．
定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随
机变量常用字母 X , Y，
?
，
?
，… 表示．
【思考2】：随机变量和函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随 机试验的结果映为实数，函数把
实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域 ，随机变量

的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值 域．
例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数
X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝
表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件
以上次品”又如何用 X 表示呢？
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete
random variable ) .
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散
型随机变量， 它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数
Y也是一个离散型随机变量， 它的所有可能取值为0, 1,2，….
思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？
电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列
出，所以 X 不是离散型随机变量．
在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我
们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：
?
0，寿命<1000小时；

Y=
?
?
1,寿命?1000小时.
与电灯泡的寿命 X 相比较， 随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，
是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．[
三、讲解范例：
例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试
验的结果.
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取
出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
解：(1) ξ可取3，4，5.
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个 球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，
4，5.

（2）η可取0，1，…,n，….
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,….
例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点
数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结 果之一，由已知得-5
≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6 点，第二枚
为1点.
例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km， 则按10元的标
准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的 部
分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场
与 此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程
(这个城市规定，每停车 5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程
ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可 也是一个随机变量.
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)已知某旅 客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途
中因故停车累计最多几分钟?
解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2.
(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
（三）．学生练习板演 课时作业习题
六、课时小结：

本节主要学习了随机变量与离散型随机变量的意义。理解随机 变量ξ是关于试
验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数。
七、课时作业：
BC级练习：
1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数
?
；②长江上某 水文站观察到一天中的水位
?
；③某超市一天中的顾客量
?
其中的
?
是连续型随机变量的是（ ）
A．①； B．②； C．③； D．①②③
２.随机变量
?
的所有等可能取值为
1,2,…,n
， 若
P
?
?
?4
?
?0.3
，则（ ）
A．
n?3
； B．
n?4
； C．
n?10
； D．不能确定
3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）
A．
111
315
； B．； C．； D．
1212
3636
4.如果
?
是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A.
?
取每一个可能值的概率都是非负数；B.
?
取所有可能值的概率之和为1；
C.
?
取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D.
?
在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
答案：1.B 2.C 3.B 4.D
八、板书设计：

离散型随机变量

1、 定义：随着试验结果变化
而变化的变量称为随机变
量（random variable
)．随机变量常用字母 X ,
Y，
?
，
?
，… 表示．
2、

2、所有取值可以一一列出的
随机变量，称为离散型随机
变量
例1． 写出下列随机变量可能取的
值，并说明随机变量所取的值表示
的随机试验的结果.
(1)一袋中装有5只同样大小
的白球，编号为1，2，3，4，5 现
从该袋内随机取出3只球，被取出
的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位
时间内收到的呼叫次数η.
学生练习：
课堂练习

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学校名录参见：