高一数学三角函数公式推倒及口诀

一、高一数学三角函数诱导公式全集：











































































常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）

cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）

tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）

cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π2＋α）＝cosα

cos（π2＋α）＝－sinα

tan（π2＋α）＝－cotα

cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα





















cos（π2－α）＝sinα

tan（π2－α）＝cotα

cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα

ta n（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα
sin（3π2－α）＝－ cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα






cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于π2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时 ，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→co
t,cot→tan.< br>
（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4?π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k?36 0°+α（k∈Z），-α、180°
±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

＃

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二 正
弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

＃

还有一种按照函数类型分象限定正负：

函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

正弦 ...........＋............＋....... .....—............
—........

余弦 ..... ......＋............—............—............
＋ ........

正切 ...........＋............—... .........＋............
—........

余切 . ..........＋............—............＋............< br>—........

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ?cotα＝1

sinα ?cscα＝1

cosα ?secα＝1

商的关系：

sinαcosα＝tanα＝secαcscα

cosαsinα＝cotα＝cscαsecα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上
函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（ 3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值
的平方和等于下面顶点上的三角 函数值的平方。

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα?tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin ^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα[1－tan^2(α)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2(α2)＝(1－cosα)／2

cos^2(α2)＝(1＋cosα)／2

tan^2(α2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α2)=(1－cosα)sinα=sinα(1+cosα)

万能公式

万能公式

sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]

cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]

tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+ sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα(1＋tan^2(α))

然后用α2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3αcos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3 (α)－cosαs
in^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

★记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音
似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表
示。

★另外的记忆方法:

正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是倍α, 无指
的是减号, 四指的是倍立指的是sinα立方

余弦三倍角: 司令无山 与上同理

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα ?cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosα ?sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

cosα ?cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

sinα ?sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cos a*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cos
a*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb
+sina*sinb



















所以,把两式 相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2

好,有了积化 和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积
的四个公式.

我 们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)
2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)

sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)

cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)

cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)