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高中数学基本不等式精选讲解及归纳

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 22:02
tags:高中数学基本不等式

高中数学优秀免费课件ppt-南航附中高中数学周老师

2020年10月7日发(作者:邵善康)


高中数学基本不等式精选讲解及归纳

典题精讲
例1(1)已知0 <x<
(2)求函数y=x+
1
,求函数y=x(1-3x)的最大值;
3
1
的值域.
x
思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和 为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)
中,未指出x>0,因而不能直接使用基本 不等式,需分x>0与x<0讨论.
1
,∴1-3x>0.
3
113x?(1?3x)
2
111
∴y=x(1-3x)= ·3 x(1-3x)≤[]=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,
332
1266
1
函数取得最大值.
12
11
解法二:∵0<x<,∴-x>0.
33
1
x? ?x
11
11
3
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]
2< br>=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.
33
126
2
11
∴x=时,函数取得最大值.
612< br>(1)解法一:∵0<x<
(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+
1
1
≥2
x?
=2,当且仅当x=1时,等号成立.
x
x
当x<0时,y=x+
1
1
=-[(-x)+]. < br>(?x)
x
∵-x>0,∴(-x)+
1
1
≥2,当且仅当- x=
,即x=-1时,等号成立.
(?x)
?x
∴y=x+
1
≤-2.
x
1
的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
x
综上,可知函数 y=x+
绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件 ,同时要
注意等号成立的条件是否具备.
1
的最小值.
x?1
1
思路分析:x>-1
?
x+1>0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
x?1
变式训练1当x>-1时,求f(x)=x+
解:∵x>-1,∴x+1>0.
∴f(x)=x+
11
1
=x+1+-1≥2
(x?1)?
-1=1.
x?1x?1
(x?1)


当且仅当x+1=
∴f (x)
min
=1.
1
,即x=0时,取得等号.
x?1
x
4
?3x
2
?3
变式训练2求函数y=的最小值.
2
x?1
思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最 值的方法不易求
解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.
解:令t=x
2
+1,则t≥1且x
2
=t-1.
1x
4
?3x
2
?3
(t?1)
2
?3(t?1 )?3t
2
?t?1
??t??1
. ∴y==
2
ttt< br>x?1
∵t≥1,∴t+
≥2
t?
1
t
1
1
=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.
t
t
∴当x=0时,函数取得最小值3.
例2已知x>0,y>0,且
1
9
+=1,求x+y的最小值.
x
y
思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必 要的变形,下
面给出三种解法,请仔细体会.
解法一:利用“1的代换”,

1
9
+=1,
x
y
y9x
1
9
+)=10+
?
. xy
x
y
y9x
?
≥2
xy
∴x+y=(x+ y)·(
∵x>0,y>0,∴
y9x
=6.
?
xy
当且仅当
y9x
?
,即y=3x时,取等号.
xy

1
9
+=1,∴x=4,y=12.
x
y
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
解法二:由
y
1
9
+=1,得x=.
y?9
y
x
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=
y< br>y?9?9
99
+y=y+=y++1=(y-9)++10.
y?9
y?9y?9y?9
∵y>9,∴y-9>0.



y?9?9
9
≥2
(y?9)?
=6.
y?9
y?9
当且仅当y-9=
9
,即y=12时,取得等号,此时 x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由
y?9
1
9< br>+=1,得y+9x=xy,
x
y
∴(x-1)(y-9)=9.
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2
(x?1)(y?9)
=16,
当且仅当x-1=y-9时取得等号.又
1
9
+=1,
x
y
∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
绿色通道:本题给出了三种解法,都用到 了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足
的条件,这是经常需要使用的方法,要学 会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问
题,要注意根据被代换的变量的范围对 另外一个变量的范围的影响.
黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:
1
9
9
6
+
≥2
①,即
≤1,∴
xy
≥6.
x
y
xy
xy
∴x+y≥2
xy
≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12.
产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是
1
9
= ,不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目
x
y
中连续运用了两次基本不等式 ,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.
变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,
思路分析:本题属于“1”的代换问题.
解:x+y=(x+y)(
ab
?
=1,x+y的最小值为18,求a,b的 值.
xy
abbxaybxay
?
)=a+
??
+b=10+.
xyyxyx
∵x,y>0,a,b>0,
∴x+y≥10+2
ab
=18,即
ab
=4.
又a+b=10,
?
a?2,
?
a?8,

?

?

b?2.
b?8
?
?


例3求f(x)=3+lgx+
4
的最小值(0<x<1).
lgx
思路分析:∵0<x<1,
∴lgx<0,
4
<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理 方法是加上负
lgx
号变正数.
解:∵0<x<1,∴lgx<0,
44
<0.∴->0.
lgxlgx< br>∴(-lgx)+(-
4
4
)≥2
(?lgx)(?
)
=4.
lgx
lgx
∴lgx+
44
≤-4.∴f(x)=3+ lgx+≤3-4=-1.
lgxlgx
4
1
,即x=时取得等号.
lgx
100
4
(0<x<1)的最小值为-1.
lgx
当且仅当lgx=
则有f(x)=3+lgx+
黑色陷阱:本题容易忽略0<x<1这一个条 件.
1
5
,求函数y=4x-2+的最大值.
4x?5
4
5
思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x<,则4x-5<0.
4
5
解:∵x<,∴4x-5<0.
4
11
y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3
4x?55?4x
变式训练1已知x<
≤-2
(5?4x)?
1
+3=-2+3=1.
5?4x
当且仅当5-4x=
1
,即x=1时等号成立.
5?4x
所以当x=1时,函数的最大值是1.
8
3
时,求函数y=x+的最大值.
2x?3
2
8
思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一
2x?3
83?2x8
133
?
些技巧对原式变形.可以变为y=(2x- 3)++=-()+,再求最值.
2x?3
2
23?2x
22
83 ?2x8
133
?
解:y=(2x-3)++=-()+,
2x?3
2
23?2x
22
变式训练2当x<


∵当x<
3< br>时,3-2x>0,
2

3?2x8
3?2x83?2x8
1
?

2
=4,当且仅当,即x=-时取等号.
??
23 ?2x
23?2x23?2x
2
于是y≤-4+
355
=
?
,故函数有最大值
?
.
222
例4如图3-4-1,动物园要围成 相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.

图3-4-1
(1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24 m
2
,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度
最小?
思路分析:设每间虎笼长为x m,宽为y m,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大 值;而(2)则是在
xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.
解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S,则S=xy.
方法一:由于2x+3y≥2
2x?3y
=2
6xy
,
∴2
6xy
≤18,得xy≤
2727
,即S≤.
22
当且仅当2x=3y时等号成立.

?
?
2x?2y ,
?
x?4.5,
解得
?

?
2x?3y?18,
?
y?3.
3
y.
2
故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=9-
∵x>0,∴0<y<6.
S=xy=(9-
33
y)y= (6-y)y.
22
∵0<y<6,∴6-y>0.
∴S≤
3
(6?y)?y
2
27
[]=.
22< br>2
当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:∵2x+3y≥2
2x?3y
=2
6xy
=24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.
?
x?6,
?
2x?3y,

?
解得
?

y?4.
xy?24,
?
?
故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小.


方法二:由xy=24,得x=
24
.
y
∴l=4x+6y=
1616
96
16
+6y=6(+y)≥6×2
?
y
=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6 .
yy
y
y
故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋总长最小.
绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意:
(1)x,y都是正数;
(2)积xy(或x+y)为定值;
(3)x与y必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4- 2所示),由
于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道 隔墙建造单价为每米
248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理 池的长和宽,使总造价最低,并
求出最低造价.

图3-4-2
思路分析 :在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性
进行 求解.
200200
米(0<x≤16,0<
≤16),∴12.5≤x≤16.
xx
200200
于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80 ×200.
xx
解:设污水处理池的长为x米,则宽为
=800(x+
32 4
324
)+16 000≥800×2
x?
+16 000=44 800,
x
x
当且仅当x=
324
(x>0),即x=18时等号成立,而18
?
[12.5,16],∴Q(x)>44 800.
x
下面研究Q(x)在[12.5,16]上的单调性.
对任意12.5 ≤x
1
<x
2
≤16,则x
2
-x
1
>0 ,x
1
x
2
<16
2
<324.
Q(x
2
)-Q(x
1
)=800[(x
2
-x
1
)+3 24(
11
?
)]
x
2
x
1
=800×
(x
2
?x
1
)(x
1
x
2
?3 24)
<0,
x
1
x
2
∴Q(x
2
)> Q(x
1
).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数.
∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.
问题探究
问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度 升高.当住第n层楼时,上下楼
造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因 此随着楼层的升高,环境不满意度降低.


设住第n层楼时,环境不满意程度为
8
.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.
n
导思:本问题实际是求n为何值时, 不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据
基本不等式求解即可.
探究:设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.
由题意知y=n+
8
.
n
∵n+
8
8
≥2
n??
42
,
n
n
当且仅当n=
8
,即n=
22
时取等号.
n
但考虑到n∈N
*
,
∴n≈2×1.414=2.828≈3,
即此人应选3楼,不满意度最低.


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