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高中数学二次函数最值知识点全总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 22:20
tags:高中数学二次函数

零失误高中数学选修2-1答案-高中数学教师 班主任 案例

2020年10月7日发(作者:解如森)



二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点:
一元二次函数的区 间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置
关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中 间,右边三种情况.

f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
, 求
f(x)

x?[m,n]
上的最大值与最小值。
?
b 4ac?b
2
?
b
分析:将
f(x)
配方,得顶点为
?
?,
、对称轴为
x??
?
4a
?
2a
?
2a

a?0
时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上
f(x)
的< br>最值:
b
(1)当
??m,n
时,
f(x)
的最小 值是
2a
??
2
?
b
?
4ac?b
f?
?
?
?,f(x)
的最大值
?
2a
?
4a

f(m)、f(n)
中的较大者。
(2)当
?
b
?m,n

2a
b
??m
,由
f(x)

m,n
上是增函数则
f(x)< br>的最小值是
f(m)
,最大
2a
??
??
值是
f(n)


n??
值是
f(n)


a?0
时,可类比得结论。
二、例题分析归类:
(一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互
位置关系的讨论往往成为解 决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:

第 1 页 共 10 页
b< br>,由
f(x)

m,n
上是减函数则
f(x)
的最大 值是
f(m)
,最小
2a
??



(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,
区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定
二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数
y??x
2
?4x? 2
在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是
_______。


练习. 已知
2x
2
?3x
,求函数
f(x)? x
2
?x?1
的最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定的,但它 的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情
况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数
f(x)?(x?1)
2
?1
定义在区间
t,t?1
上,求
f(x)
的最值。







例3. 已知
f(x)??x
2
?4x?3
,当
x?[t,t?1](t?R)
时,求
f(x)
的最值.


第 2 页 共 10 页
??



对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:

a?0

b 1
?
f(m),??(m?n)(
如图1
)
?
?
2 a2
f(x)
max
?
?
f(x)
min
b1?
f(n),??(m?n)(
如图2
)
?
2a2
?< br>b
?
f(n),??n(
如图3
)
?
2a
?
bb
?
?
?
f(?),m???n(
如图4
)
2a2a
?
b
?
f(m),??m(
如图5
)
?
2a
?



a?0

b
?
f(n),??n(
如图6
)
?
b1
?2a
f(m),??(m?n)(
如图9
)
?
?
?2a2
bb
?

f(x)
max
?
?
f(?),m???n(
如图7
)
f(x)
min
?
?b1
2a2a
?
f(n),??(m?n)(
如图10
)
?
?
b
?
2a2
?
f(m),??m(
如图8< br>)
?
2a
?


3、轴变区间定
二 次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固
定的,我们称这种情况是“动二次 函数在定区间上的最值”。

第 3 页 共 10 页



例4. 已知
x
2
?1
,且
a?2?0
,求函数< br>f(x)?x
2
?ax?3
的最值。





例5. (1) 求
f(x)?x
2
?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数
y??x(x?a)

x?[?1,1]
上的最大值。





4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数,而 定义域区间也是变化的,我们称这种情况是
“动二次函数在动区间上的最值”。

222
y?4a(x?a)(a?0),u?(x?3)?y
例6. 已知,求的最小值。






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