零失误高中数学选修2-1答案-高中数学教师 班主任 案例
二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点:
一元二次函数的区
间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置
关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中
间,右边三种情况.
设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,
求
f(x)
在
x?[m,n]
上的最大值与最小值。
?
b
4ac?b
2
?
b
分析:将
f(x)
配方,得顶点为
?
?,
、对称轴为
x??
?
4a
?
2a
?
2a
当
a?0
时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上
f(x)
的<
br>最值:
b
(1)当
??m,n
时,
f(x)
的最小
值是
2a
??
2
?
b
?
4ac?b
f?
?
?
?,f(x)
的最大值
?
2a
?
4a
是
f(m)、f(n)
中的较大者。
(2)当
?
b
?m,n
时
2a
b
若??m
,由
f(x)
在
m,n
上是增函数则
f(x)<
br>的最小值是
f(m)
,最大
2a
??
??
值是
f(n)
若
n??
值是
f(n)
当
a?0
时,可类比得结论。
二、例题分析归类:
(一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互
位置关系的讨论往往成为解
决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:
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b<
br>,由
f(x)
在
m,n
上是减函数则
f(x)
的最大
值是
f(m)
,最小
2a
??
(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,
区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定
二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数
y??x
2
?4x?
2
在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是
_______。
练习. 已知
2x
2
?3x
,求函数
f(x)?
x
2
?x?1
的最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定的,但它
的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情
况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.
如果函数
f(x)?(x?1)
2
?1
定义在区间
t,t?1
上,求
f(x)
的最值。
例3. 已知
f(x)??x
2
?4x?3
,当
x?[t,t?1](t?R)
时,求
f(x)
的最值.
第 2 页 共 10 页
??
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
当
a?0
时
b
1
?
f(m),??(m?n)(
如图1
)
?
?
2
a2
f(x)
max
?
?
f(x)
min
b1?
f(n),??(m?n)(
如图2
)
?
2a2
?<
br>b
?
f(n),??n(
如图3
)
?
2a
?
bb
?
?
?
f(?),m???n(
如图4
)
2a2a
?
b
?
f(m),??m(
如图5
)
?
2a
?
当
a?0
时
b
?
f(n),??n(
如图6
)
?
b1
?2a
f(m),??(m?n)(
如图9
)
?
?
?2a2
bb
?
f(x)
max
?
?
f(?),m???n(
如图7
)
f(x)
min
?
?b1
2a2a
?
f(n),??(m?n)(
如图10
)
?
?
b
?
2a2
?
f(m),??m(
如图8<
br>)
?
2a
?
3、轴变区间定
二
次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固
定的,我们称这种情况是“动二次
函数在定区间上的最值”。
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例4. 已知
x
2
?1
,且
a?2?0
,求函数<
br>f(x)?x
2
?ax?3
的最值。
例5. (1)
求
f(x)?x
2
?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。
(2)
求函数
y??x(x?a)
在
x?[?1,1]
上的最大值。
4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数,而
定义域区间也是变化的,我们称这种情况是
“动二次函数在动区间上的最值”。
222
y?4a(x?a)(a?0),u?(x?3)?y
例6.
已知,求的最小值。
第 4
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