最新高中数学二次函数分类讨论经典例题

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例
1
（1）关于
x
的方程
x2
?2(m?3)x?2m?14?0
有两个实根，且一个大
于1，一个小于1， 求
m
的取值范围；
（2）
关于
x
的方程
x
2
?2(m?3)x?2m?14?0
有两实根都在
[0,4)
内，求m
的取值范围；
⑶关于x的方程
x
2
?2(m?3)x?2m ?14?0
有两实根在
?
1,3
?
外，求m的取值范围
（ 4）关于
x
的方程
mx
2
?2(m?3)x?2m?14?0
有两实根，且一个大于4，一个小
于4，求
m
的取值范围.
例
3 已知函数
f(x)?ax
2
?(2a?1)x?3
在区间
[?,2]
上的最大值为1，求实数
a
的值。
3
2
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解（1）令
f(x)?x
2
? 2(m?3)x?2m?14
，∵对应抛物线开口向上，∴方程有
两个实根，且一个大于1，一 个小于1等价于
f(1)?0
（思考：需要
??0
吗？），
即
m??
21
.

4
（2）令
f(x)?x
2?2(m?3)x?2m?14
，原命题等价于
?
f(0)?0
?2m?14?0
?
f(4)?0
?
16?8(m?3)?2m?14?0
?
27
??
?
?
???m??5.

2( m?3)
?
?7?m??3
5
0???4
??
2
? ?
?
m??5,m?1
2
?
4(m?3)?4(2m?14)?0< br>?
（3）令
f(x)?x
2
?2(m?3)x?2m?14
， 原命题等价于
?
f(1)?0
?
1?2(m?3)?2m?14?0
21
即得
m??.

??
4
f(3)?09?6(m?3 )?2m?14?0
??
（4）令
g(x)?mx
2
?2(m?3) x?2m?14
，依题得
?
m?0
?
m?0
19
或得
??m?0.

,
?
?
13
?
g(4)?0
?
g(4)? 0
例
2
（1）已知函数
f(x)?ax
范围；
值范围。
2
?a?2
，若
f(x)?0
有解，求实数
a
的取 值
（2）已知
f(x)??x
2
?4x
，当
x?[?1,1 ]
时，若
f(x)?a
恒成立，求实数
a
的取
解：（1）< br>f(x)?0
有解，即
ax
2
?a?2?0
有解
?a (x
2
?1)?2
有解
?a?
有解
?
a?|
2
|
max
?2.
所以
a?(??,2).

2
x?1
（2）当
x?[?1,1]
时，
f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a.
又当
x?[?1,1]
时，
2
x
2
?1
[f(x)]
min
?f(?1 )??5
，所以
a?(??,?5).

【评注】“有解”与“恒成立”是很 容易搞混的两个概念。一般地，对于“有
解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）
f(x) ?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a
；（2）
（ 4）
f(x)?af(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
max
?a
;（3）
f(x)?a
有解
?
[f(x)]
max< br>?a
；
有解
?
[f(x)]
min
?a.

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数
a
是否为零， 如果
a?0,f(x)
的最大值与二次函数系数
a
的正负有关，也与对称轴< br>精品文档

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x
0
?
1?2a
的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必
2a
须用讨论法。
解、
a?0
时，
f(x)??x?3
，

3f(x)
在
[?,2]
上不能取得1，故
a?0
.

2

f(x)?ax
2
?(2a?1)x?3(a?0)
的 对称轴方程为
x
0
?
1?2a
.
2a


（1）令
f(?)?1
，解得
a??

此时
x
0
??

因为
a?0
，
f (x
0
)
最大，所以
f(?)?1
不合适。

（2）令
f(2)?1
，解得
a?

此时
x
0
???[?,2]
，

313

?0,x
0
???[?,2]
，且距右端点2较远，所以
f(2)< br>最大，合适。
432
1
（3）令
f(x
0
)?1，得
a?(?3?22)
，
2
1
3
3
2
3
，
4
3
2
233
?[?,2]
，
202
3
2
10
，
3
因为
a?

验证后知只有
a?(?3?22)
才合适。
综上所述，
a?

1
2
31
，或
a??(3?22).

42
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