高中数学二次函数试题

高中数学二次函数试题

二次函数

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法
若f
值． 2
xxbxc，且f10，f30，求f1的
变式1：若二次函数fxax
2,1，与y轴的交点坐标为2
(0,11)，则
A．a
C．a
1,b
3,b
4,c
6,c
x
11 B．a
11 D．a
xb
bxc的图像的顶点坐标为
3,b
3,b< br>2x
12,c
12,c
11
11
变式2：若f
c=_______． 2
3,x[b,c]的图像x=1对称，则
变式3：若二次函数f
点Ax1,0、2
B
fx
x2,0
3< br>xaxbxc的图像与x轴有两个不同的交
，且x12x22262，试问该二次函数的图像由< br>x1的图像向上平移几个9
单位得到？
2．（北师大版第52页例2）图像特征
将函数fx3x
的单调区间及最大值2
6x1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它
或最小值，并画出它的图像．
变式1：已知二次函数fxaxbxc，如果
fx1fx2(其中x1x2)，则2
xxf12 2

4acb2bbA． B． C． c D． 2aa4a
变式2：函数fxxpxq对任意的x均有
f1xf1x，那么f0、f1、2
f1的大小关系是
1
1
f
f0
1
f
x
f 0
1
ax
B．f
D．f
bx
0
1
f1
f0
f
f
1
1


A．f
C．f
变式3：已知函数fc的图像如右图所示， 2y
请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________． O x
1
3．（人教A版第43页B组第1题）单调性
已知函数f
(1)求fx
x< br>，g
x2x，gxx2xx[2,4]
x，g
,6
． 22
x的最小值． x的单调区间；(2) 求f
xx4ax2在区间 变式1：已知函数f
则a的取值范围是 2
A．a3 B．a
内单调递减，
3 C．a3 D．a
xa
3
1x5在区间(,1)上为增函 12变式2：已知函数fx
数，那么f2的取值范围2
是_________．
变式3：已知函数f
的取值范围． 2
xxkx在[2,4]上是单调函数，求实数k
4．（人教A版第43页B组第1题）最值
已知函数f
(1)求fx
x
，g
x2x，gxx2xx[2,4]
x，g
． 22
x的最小值． x的单调区间；(2) 求f

变式1：已知函数fx
值2，则m的取值范围2
是
A．1,
x2x3在区间[0,m]上有最大值3，最小
B．0,2 C．1,2 D．,2
变式2：

若函数y
知函数fx
值． 22
M，最小值为m，则M + m的值等于________． 变式3：已
4x4axa2a2在区间[0,2]上的最小值为3，求a的
5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，
fxx1x．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．
22变式1：若函数fx
,0上fx是
m1xm1x1是偶函数，则在区间
A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数 变式
2：若函数fxaxbx3aba1x2a是偶函数，则点
a,b的坐标是2
________．
变式3：设a为实数，函数f(x)x|xa|1，xR．
(I)讨论f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值．

2
2
6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

< br>x2
2
4x
x
3,
6x
3x0
5,1x已知f(x)
6
3x3,0x1．
(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最
小值．
变式1：指出函数yx2x3的单调区间．
变式2：已知函数f(x)|x22axb|(xR)．
给下列命题：①f(x)必是偶函数；
② 当f(0)f(2)时，f(x)的图像必关于直线x=1对称；
2③ 若ab0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数； 2
④f(x)有最大值|a2b|．
其中正确的序号是________．③
变式3：设函数f(x)x|x|bxc,给出下列4个命题：

①当c=0时，yf(x)是奇函数； ②当b=0，c>0时，方程f(x)
有一个实根； ③yf(x)的图象关于点（0，c）对称；
④方程f(x)0至多有两个实根．
上述命题中正确的序号为
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
求二次函数f(x)2x6x在下列定义域上的值域：
(1)定义域为xZ0x3；(2) 定义域为2,1．
变式1：函数f(x)2x6x2x2的值域是 22
9 A
0只

．
2
B． C． D． 20,420,2920,
变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．
变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠
0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．
(1)求 f (x) 的解析式；
3
(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为
[m,n] 和 [3m,3n]，如果 存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理
由．
8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
当a,b,c具有什么关系时，二次函数fx
于零？恒小于零？
2
变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．
(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (II)若函数
f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．
变式2：已知函数f(x)x2ax3
f(x)2恒成立，求a的取值范围．
a，若x2,2时，有
axbxc的函数值恒大
变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 、 为何实数，恒有 f
(sin )≥0，f (2 + cos )≤0． (I) 求证：b + c = －1； (II) 求
证： c≥3；
(III) 若函数 f (sin ) 的最大值为 8，求 b、c 的值． 9．（北
师大版第54页B组第1题）根与系数关系

右图是二次函数fx
和x2,0，试确定
2
a,b,c以及x1x2，x1
axbxc的图像，它与x轴交于点x1,0
x2的符号．

变式1：二次函数y
坐标系的图像为

2

y

y
O

y

y
x

x
OA．
axb与一次函数yaxb(ab)在同一个直角

x
OB．
2
x
C．
2
D．
2
变式2：直线ymx
C1:yx5mx4m,C2:y
C3:yx23mx2m
3与抛物线
x(2m1)xm3,
3中至少有一条相交，则m的取值范围是．

4
变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 R，使 f (x0) = x0 成立，
则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a >
0）有两个相异的不动点 x1、x2．

1(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证
m > ； 2
(II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．
二次函数答案
1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法


b

b
a
2a2
b变式1： 解：由题意可知1，解得324ac
12，故选D．
114acc11
20c1，解得b=0，∴1，解得 变式2： 解：由题意可知b
c=2． 22
2变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为
fx3x1k，
展开得f
∴x1x2
x
2,x1x2
x1
3x
3
x2
6x3k， 2
k， 3
2x1x223k262644，即，解得 222∴x1x2
k． 9339
24所以，该二次函数的图像是由f
单位得到的，它的解析3
式是fx3x1
x3x1的图像向上平移
2452，即fx3x6x． 33
2．（北师大版第52页例2）图像特征
2x1x2bx1x24acb
f，故选D． 22a4a2
变式2： 解：∵f1
的对称轴是x1， 2
xf
变式1： 解：根据题意可知，∴
1x，∴抛物线fxxpxq

∴
2∴f
f1
5
p
x
1
1即p2， 2
q、f13q、x2xq，∴f0
q，
故有f1f0f1，选C．
变式3： 解：观察函数图像可得：
① a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；
③ 4a
⑤ b2
2b
4a
10(和x轴的交点)；④a
y b
b10(f10)；
0(判别式)；⑥ 12(对称轴)． 2a
O x 3．（人教A版第43页B组第1题）单调性
变式1： 解：函数fx
其对称轴是x2a，
,6内单调递减可知区间
6，解得a3，故选D．
xa1x
,6应在直线
x4ax2图像是开口向上的抛物线，2
由已知函数在区间
x2a的左侧， ∴2a
12变式2：解：函数fx
数，由于其图像(抛物线)开2
口向上，所以其对称轴x
∴ a111a
22222f24
11
5在区间( ,1)上为增函
解得a2，
，或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有
a1257，即f27．
xxkx的图像是开口向下的抛物线，经 2变式3：解：函数f
过坐标原点，对称轴是
xk， 2
∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线x

即有k的左侧或右侧， 2kk
y
2或4，解得k4或k8． 22
24．（人教A版第43页B组第1题）最值 变式1： 解：作出函数
fxx2x3的图像，

∴m的取值范围是1m2，故选C． O 开口向上，对称轴上x=1，顶
点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)， x
6
变式2： 解：函数有意义，应有
∴ 0x2

02

06，

44
x240，解得2x2，
∴ M=6，m=0，故M + m=6．
a
fx
变式3： 解：函数fx的表达式可化为
4x22a． 2
a4时，fx有最小值22a，依题意应有 ① 当02a2，即0
22a3，解得2
1a，这个值与0a4相矛盾． 2
0a2a2是最小值，依题意应有 a22②当0，即a0时，f
a2a2

3，解得2
a

0，∴a
小值， 2
1 ③当a2，即a4时，f2168aa22a2是最
1，又∵a
2依题意应有16

3，解得a

4，∴a
求．

综上所述，a

a5
1
5为所
5a
8aa2a2
5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
222变式1： 解：函数f
m10 m1，
当m
区间
xm1xm1x1是偶函数
1时，fx1是常数；当m
,0上fx是2
1时，fx2x1，在
增函数，故选D．

变式2：解：根据题意可知应有a1
标是,0．
2a0且b0，即a
2变式3： 解：（I）当a0时，函数
f(x)(x)| x|1f(x)，此时，f(x)为偶函1且b
a,b的坐313
数；
22当a
f(a)
函数．
f(
0时，f(a)
a)，f(a)
a1，f(a)a2|a|1，
0，∴点
f(a)，此时f(x)既不是奇函数，也不是偶
22（II）（i）当xa时，f(x)
23， 4
7
若a1，则函数f(x)在(
(,a]上的最小值2
xxa1(x)a1
,a]上单调递减，从而函数f(x)在
为f(a)a21． 1131，则函数f(x)在(
f()a，且f()f(a)． 2242
1232（i i）当xa时，函数f(x)xxa
,a]上的最小值为
1(x)a
)
， 24
a，且 1131若a，则函数f(x)在(
f()f(a)， 2242
1若a，则函数f(x)在[a,
[a,)上的最小值2若a
为f(a)
24
112当
13当a
a21． 综上，当a
,a]上的最小值为f(< br>)上单调递增，从而函数f(x)在
13时，函数f(x)的最小值为a；
a时，函数f(x)的最小值为a1； 22
a． 24 时，函数f(x)的最小值为

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，
由图像可得单调区间．
2当x
2当x
0时，y
0时，y
x
x
2x 3
2x3
x
x
1
1
4，
4． 22y
作出函数图像，由图像可得单调区间．

O x
在
1,
,1和0,1上，函数是增函数；在
上，函数是减函数．
|x2x1|x
1,0和
变式2： 解：若a1,b1,则f(x)
是偶函数，所以①是不正确的；
2x1，显然不
若a1,b4,则f(x)|x2x4|，满足f(0)
图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的 ；
222若ab0，则f(x)
的抛物线，其对称222 8
轴是x|x2axb|x2ax
f(2)，但f(x)的
b，图像是开口向上
a，∴f( x)在区间[a，＋∞)上是增函数，即③是正确的；
|x2axb|xR没有最大值，所以④是不正确 显然函数f(x)
的．
2
2xbxc,x0
x|x|
0
bxc2， 变式3： 解：f(x)
xbxc,x

(1)当c=0时，f(x)
以①是正确的；
x2c,x0
xxbx，满足f(x)fx，是奇函数，所
(2)当b=0，c>0时，f(x)

x2
x
c
c,x
0
0即

0x2c
无解；方程

0
0
x2c
或
0
xxc2，
方程f(x)
x

0x
x2c
0
，
显然方程


x0
x0
的唯一解是x，所以② 是正确的；
(3)设x0,y0是函数f(x)x|x|bxc图像上的任一点，应有
y0x0|x0|bx0c， 而该点关于（0，c）对称的点是x0,2cy0
代入检验2cy0x0|x0|bx0c即
y0
x0,2c
x0|x0|bx0c，也即y0
y0也是函数
x|x|bx
x0|x0|bx0c，所以
，
f(x)c图像上的点，所以③是正确的；
x|x|x，显然方程x|x|x0有三个 (4)若b1,c0，则f(x)
根，所以④ 是不正确的．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
变式1： 解：作出函数f(x)
现在2,上是增
2x6x2x2的图象，容易发

2
2

3
函数，在,2上是减函数，求出f(2)20，f(2)4，f()
32
329
，注意到函数定义不包2
含x2，所以函数值域是20,．
2

9
变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx
1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中t [－1,1]，
99
∴y [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
88变式3： 解：(I) ∵
f (1 + x) = f (1－x)，
b
∴ － = 1，

－ [

2a
又方程 f (x) = x 有等根
∴ △= (b－1) 2 = 0
21
∴ f (x) = － x 2 + x．
2
(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1
时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数， 1
∴ 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n (*)，
2

1
3n = f (x)max = f (m) = m 2 + m，
2
1
两式相减得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)，
2∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n
2－8n + 48 = 0 无实数解． 2 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函
数， 1
∴ 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m，
2

当 m≥1
a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， 1
a = ， b = 1

1
3n = f (x)max = f (n) = － n 2 + n，
2∴ m = －4，n = 0．
3 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 [m,n]，
11
∴ 3n = f (x)max = f (1) =
26
综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．
8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x +
1 > 0 的解集为 R，
a > 0
a > 1，
n = 与 n≥1 矛盾．
∴应有
△= 4－4a < 0
) ．
)
∴ 实数 a 的取值范围是(1,+
(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+
的所有值．
1

2

当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；
a > 0
当 a ≠ 0 时，应有
△= 4－4a ≥0
0 < a≤1．
∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)
f(x)2在2,2
2,2上恒成立．
⑴



2

f(2)
⑵


a2
5
22
a222． 解法二：（运用根的分布） ⑴当
f(
a
a2
0
2)
2或
4(1

0，5a2．
a)0
2a2；
a41a
上恒成立，即f(x)x2ax1a0在
0，
综上所述
a5
2，即a
存在； 23
aa2a
a3
4时，应有g(a)f(2)73a2， 即a，a不
2， ⑵当22，即4a4时，应有g(a)f(
224

即－22
a

2a222，4a222； ⑶当
2，即a4时，应有g(a)
5a4 2
5a222．
f(2)7a2，即a5 ，
综上所述
变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos
= f (1)≤0，
2
∴ f (1) = 0 1 + b + c = 0 b + c = －1， (II) 由 (I)
得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos
+ c≤0
(1 + cos
)≤0 (2 + cos ) 2－(c + 1) (2 + cos
)
)
) [c－(2 + cos
≥0 c≥2 + cos
)]≥0，对任意 成立．
， ∴ c≥(2 + cos )max = ∵ 1 + cos
3．
(III) 由 (*) 得：f (sin ) = sin 2－(c + 1) sin + c，
设 t = sin ，则g(t) = f (sin ) = t 2－(c + 1) t + c，－
1≤t≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = 3 + 1
由 (II) 知：t≥= 2，
2
∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．
∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3
∴ b = －c－1 = －4．
9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

变式1： 解：二次函数yax
(o,b)、(1,ab)，由二次函
2

b与一次函数图象yaxb交于两点
c + 1
， 2
数图象知a,b同号，而由B,C中一次函数图象知a,b异号，互相矛盾，
故舍去B,C．
又由ab知，当ab0时，与D中图形相符． 变式
3x25mx4m， 2： 解：原命题可变为：求方程mx
bb

mx
1，此时与A中图形不符，当0
3x2(2m1)xm23，
ab时，1，aa
“三个方程均无实mx3x23mx2m3中至少有一个方程有实数
解，而此命题的反面是 ：数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实
数解的m的值，即得所求．


(4m)2
322
(m
2m)
1)4m0,得 m1，
4(4m3)0,
解不等式组
2

3
4m2

4(0,
故符合条件的m取值范围是m或m1．

2
b
变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = －，
2a
∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0，
由 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2，
∴ g(1) < 0 a + b < 0 －> 1 － > ，即 m > ．
a2a22(II) △= (b－1) 2－4a > 0 (b－1) 2 > 4a，

x1 + x2 =
1－b1
，x1x2 = ， aa
1－b 24
∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = ( )= 2 2，
aa∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*)
又 | x1－x2 | = 2， ∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x =
1－b
的距离都为1， 2a
要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)， 则 g(x) 对称轴 x = ∴ －
1－b
(－3,3)， 2a
3 <
bb11

b－11
< 3
21
把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，
a > | b－1 |， 2a6
3917
解得：b < 或 b > ，
44
17
∴ b 的取值范围是：
44









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