高一数学二次函数知识点归纳

高一数学二次函数知识点归纳


二次函数相比于一次函数更难 ，但只要做好总结，做做题，
还是很快可以掌握的，下面就是给大家带来的高一数学二次函数
知 识点归纳，希望大家喜欢！
高一数学二次函数知识点归纳
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开
口方向向上，a0时， 开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，
IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，
0)的抛 物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b2ak=(4ac-b^2)4ax?，x?=(-bb^2-4ac)2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b2a，(4ac-b^2)4a)
当-b2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的`位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有 交点。X的取值是虚数
(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2，y=a(x -h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各
式中，a0)的图象形状相同， 只是位置不同，它们的顶点坐标及
对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
(0，0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h，0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h，k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b2a，[4ac-b^2]4a)

x=-b2a
当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移
动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h0，k0时，将抛物线y=ax ^2向右平行移动h个单位，再
向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再
向下移动|k|个单位 可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位 ，再向上移
动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0，k0时，将抛 物线向左平行移动|h|个单位，再向下移
动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一
般式化为y= a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛
物线的大体位置就很清楚了.这给画图象 提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b2a，顶点坐标是(-b2a，
[4ac-b^2]4a) .

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，当x-b2a时，y随 x的增
大而减小;当x-b2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x-b2a时，
y随x的 增大而增大;当x-b2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b^2-4ac0，图象与x 轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，
其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c= 0
(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的 上方，
x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x为任
何实数时，都有y0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，则当x=-b2a时，y
最小( 大)值=(4ac-b^2)4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，
是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三
对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称 轴时，可设解析
式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a0).
(3)当题给条件为 已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解
析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复
杂的综合题目。因此，以二次 函数知识为主的综合性题目是中考
的热点考题，往往以大题形式出现。

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