高中数学二次函数方程根的分布

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课 题

教学目标


重点、难点

二次函数方程根的分布

1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．
2．二次函数的图象及性质；
3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．
二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化

教学内容

主要方法：
1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；
2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符
号；③对称轴与区间的相对位置．

一、知识回顾：
1、二次函数有以下三种解析式：
一般式：__________________________________
顶点式：___________________________________
零点 式：________________________其中
x
1
,x
2< br>是方程
ax?bx?c?0
的根
2、 研究二次函数的图像要抓住开口方向、 顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标
外，还要抓住对称轴与所给区间的相 对位置。
3、 二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化
①< br>f(x)?ax?bx?c(a?0)
的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根；
②当_______时，f(x)>0恒成立，当_______时，f(x)
?
0恒 成立。结论成立的条件是
x?R
。
4、 利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：
设
x
1
,x< br>2
是方程
f(x)?ax?bx?c?0(a?0)
的两个实根，写出下列各情 况的充要条件
①当
x
1
?m,x
2
?m
时，__ ___________________________________________
②当 在
(m,n)
有且只有一个实根时，__________________________ _________
③当在
(m,n)
内有两个不相等的实根时，________ _______________________
④当两根分别在
(m,n)
,< br>(p,q)
且
(m,n)?(p,q)??
时，______________ __
二、基本训练：
1、二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，若
f(x
1
)?f(x
2
)(x
1
?x
2
)
，则
f(
2
2
2
x
1
?x< br>2
)
等于（ ）
2
b
b
4ac?b
2
（A）
?
(B)
?
(C)
C
(D)
2a
a
4a
2
2
2、已知函数
f(x)?4x?m x?5
在区间
[?2,??)
上是增函数，则
f(1)
的范围是（ ）
1

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（A）
f(1)?25
(B)
f(1)?25
(C)
f(1)?25
(D)
f(1)?25

3、方 程
mx?2mx?1?0
有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______
4、若
a,b,c
成等比数列，则函数
y?ax?bx?c
的图像与 x轴的公共点个数为_________
5、函数
y?x?(a?2)x?3,x?
?
a,b
?
的图像关于直线
x?1
对称，则b=________
2
2
2
三、例题分析：
22
2
例1（1）设x,y
是关于m的方程
m?2am?a?6?0
的两个实根，则
(x?1 )?(y?1)
的最小值是
（ ）
493
(B)18 (C)8 (D)
44
a
2
（2）若函数
f(x)?log
a
(x?ax?3)
在区间
(??,]
上为减函数，则a的取值范围为（ ）
2
(A)
?
(A) (0,1) (B)(
1,??)
(C)
(1,23)
(D)
(0,1)?(1,23)

（3）方程
x?2ax?4?0
的两根均大于1，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿。

例2.
（05
全国卷Ⅰ）已知二次函数
f(x)
的二次 项系数为
a
，且不等式
f(x)??2x
的解集为
(1,3)
。
（Ⅰ）若方程
f(x)?6a?0
有两个相等的根，求
f(x)
的解析式；
（Ⅱ）若
f(x)
的最大值为正数，求
a
的取值范围。






例3、不等式
x?2x?a?a?2?0
恒成立，求实数a的取值范围。



例4、设
f(x)?ax?bx?c(a?b?c),f(1)?0,g (x)?ax?b

（1） 求证：函数
f(x)
与
g(x)
图像有两个交点；
（2） 设f(x)
与
g(x)
图像交于A,B两点，A,B在x轴上射影为A
1< br>,B
1
，求
A
1
B
1
的取值范围；
（3） 求证：当
x??3
时，恒有
f(x)?g(x)

2
2
2
422

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例5. 二次函数f( x)=ax
2
+bx+c的图象经过点(－1，0)，问是否存在常数a、b、c，使x≤f( x)≤
都成立？证明你的结论.

1
(1+x
2
)对一切实数
2



例6．
y?x
2
?bx?c (x?[0,??))
是单调函数的充要条件是 （
A
）
(A)
b?0

(B)
b?0

(C)
b?0

(D)
b?0



例7．已知二次函数的对称轴为
x??2
，截
x
轴上的弦长为
4
，且过点
(0,?1)
，求函数的解析式．



1
f(x)?(x?2)
2
?2
．
2
例8． 已知函数
f(x)?x
2
?(2a?1)x?a
2
?2
与非负
x
轴至少有一个交点，求
a
的取值范围．





?2?a?
9
．
4

例9．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使
f(x
0
)?x
0
，则称
x
0
是
f(x)
的一个不动点，已知函数
f(x)?ax
2
?(b?1)x?(b?1)(a?0)
，
（1）当
a?1,b??2
时，求函数
f(x)
的不动点；
（2）对任意实数
b
，函数
f(x)
恒有两个相异的不动点，求
a
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若
y?f(x)
的图象上
A,B
两点的横坐标是
f(x)
的不动点，且
A,B
两点关于
直线
y?kx?
1
2a?1
2
对称，求
b
的最小 值．
3

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答案：（1）
f(x)的不动点为
?1
和
3
．（2）
a
的取值范围为
(0,1)
．（3）
b
的最小值为
?
（四）巩固练习：
1 ．若函数
y?x
2
?(a?2)x?3(x?[a,b]
的图象关于
x?1
对称则
b?
6 ．



2．二次函数
f(x)
的二次项系数为负值，且
f(x?2)?f(2?x)(x ?R)
，问
f(1?2x
2
)
与
f(1?2x?x
2
)
满
足什么关系时，有
?2?x?0
．




3．
m
取何值时，方程
7x
2
?(m ?13)x?m
2
?m?2?0
的一根大于
1
，一根小于



作业：

1、二次函数
y?x?2(a?b)x?c ?2ab
的图像的顶点在x轴上，且a,b,c为
?ABC
的三边长，则
?A BC
为
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
2、下列图中
y?ax?bx
与
y?ax?b(ab?0 )
的图像只可能是
2
22
2
．
4

3、已知函数
y?x?bx?c
且
f(1?x)?f(?x)
，则下列不等 式中成立的是( )
(A)
f(?2)?f(0)?f(2)
(B)
f(0)?f(?2)?f(2)
(C)
f(0)?f(2)?f(?2)
(D)
f(2)?f(0)?f(?2)

2
2
4、已知函数
f(x)?mx?(m?3)x?1
的图像与x轴 的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是
4

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(A)
(0,1]
(B)(0,1) (C)
(??,1)
(D)
(??,1]
< br>5、（05全国1）设
b?0
，二次函数
y?ax?bx?a?a?1
的图像为下列之一，则
a
的值为
22
（A） 1 (B) -1 (C)
?1?5

2
(D)
?1?5

2
6、不等式
(a?2)x
2
?2( a?2)x?4?0
对一切
x?R
恒成立，则a的取值范围是________
7、二次函数
y?ax?bx?c
的图像如图所示，
记
N?a?b ?c?2a?b,M?a?b?c?2a?b
，则M与N的大小关系是_______________ __
8、（04年北京卷.文理13）在函数
f(x)?ax?bx?c
中，若a， b，c成等比数列且
f(0)??4
，则
f(x)
有最
_____值 （填“大”或“小”），且该值为____

2
9、已知
f(x)
为二次函数，且
f(x?1)?f(x?1)?2x?4x
，求
f(1?
2< br>2
2)
的值。


10、设函数
f(x)?ax? 2ax?1
在
?
?3,2
?
上有最大值4，求实数a的值。
2





11、若不等式
8x?8( a?2)x?a?5?0
对一切实数x均成立，求实数a的取值范围。





42
12、(05
浙江)
已知函数f(x)和g(x) 的图象关于原点对称，且f(x)＝x
2
＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)
－
|x
－
1|；
(Ⅲ) 若h(x)＝g(x)
－
?
f(x)＋1在[
－
1，1]上是增函数 ，求实数
?
的取值范围．

5

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答案：
基本训练：1、D 2、A 3、
?
?,0
?
4、0 5、6
?
1
?
3
?
?
例题：1（1）C （2）C （3）
?
2,
1
2
63
?
5
?
2、（Ⅰ）
f(x)??x?x?.

?
555
?
2
?
（Ⅱ）当
f(x)
的最大值为正数时，实数a的取值范围是
(??,?2 ?3)?(?2?3,0).

3、
a?2或a??1
4（2）
?
111
?
3
?
,23
?
5、存在唯一一组常数(,,), 满足题没条件.
424
?
2
?
作业：1、B 2、D 3、C 4、D 5、C 6、
?
?2,2
?
7、M＜N 8、大 ； -3 9、0 10、
－3或

31
?
1
?
2
11、
?
,5
?
12、（I）g(x)＝
?x?2x
. (II)原不等式的解集为[-1, ]；(III)
?
?0

82
?
2
?
辅助例题：
例1， 求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0
(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2) 有两个实根，且都比1大；
(3) 有两个实根α，β，且满足0〈α〈1〈β〈4；
(4) 至少有一个正根








练习：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（1） 两个正根 (0,1］
6

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（2） 有两个负根 ［９，＋＋)
（3） 两根都小于１ [9,++)
（4） 两根都大于１／２ (56,1］










例2在下列条件下，分别求出 的取值范围
（1）方程x2-mx+4=0在[-1，1]有解；
（2）函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在[-1，1]上有交点。










练习：
1．关于 x的方程2kx2-2x-3k-2=0 的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数 k的取值范围。






2．已知关于x 的方程 kx2+12kx+k-2=0有两个实根，其中一根在（0，1）之间，求实数 k的取值范围。









3．关于x的方程2x2-3x-3+2m=0的两根均在[-1，1]之间，求 m的范围。
7

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4．集合A={(x,y )|y=x2+mx+2},B={(x,y)|x-y+1=0且
0?x?2},若A?B??
,
求实数 m的取值范围。












8