高中二次函数知识点总结

二次函数知识点
一、二次函数概念：
b，c
是常数，
a?0
）的函数，叫做二次函数。 这里需要 强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如
y?ax?bx?c
（
a，
c
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数
a?0
，而
b，
2. 二次函数
y?ax?bx?c
的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是2． 2
2
b，c
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一 次项系数，
c
是常数项． ⑵
a，
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：
y?ax
的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2
a
的符号
a?0

开口方向
向上
顶点坐标 对称轴 性质






0
?

?
0，
0
?

?
0，
y
轴
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
随
x
的
增大 而减小；
x?0
时，
y
有最小值
0
．
a?0

向下
y
轴
x?0
时，
y随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
随
x
的
增大而增大；
x?0
时，
y
有最大值
0
．
2.
y?ax?c
的性质：
上加下减。






3.
y?a
?
x?h
?
的性质：
左加右减。


4.
y?a
?
x?h
?
?k
的性
质：
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线
解析式转化成顶点式
2
2
2
a
的符号
a?0

开口方向
向上
顶点坐标 对称轴 性质
c
?

?
0，
c
?

?
0，
y
轴
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
随
x
的
增大 而减小；
x?0
时，
y
有最小值
c
．
a?0

向下
y
轴
x?0
时，
y随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
随
x
的
增大而增大；
x?0
时，
y
有最大值
c
．
a
的符号
a?0

开口方向
向上
顶点坐标 对称轴
X=h
性质
0
?

?
h，
0
?

?
h，
x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
随< br>x
的
增大而减小；
x?h
时，
y
有最小值
0
．
a?0

向下 X=h
x?h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
随
x
的
增大而增大；
x?h
时，
y
有最大值
0
．
a
的符号
a?0

开口方向
向上
顶点坐标 对称轴
X=h
性质
?
h，k
?

?
h，k
?

x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
随
x
的
增大 而减小；
x?h
时，
y
有最小值
k
．
y?a?
x?h
?
?k
，确定
k
?
； 其顶点坐标
?
h，
2
a?0

向下 X=h
x? h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
随
x
的
增大而增大；
x?h
时，
y
有最 大值
k
．
k
?
处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线
y?ax
的形状不变，将其顶点平移到
?
h，
2

< br>y=ax
2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax< br>2
+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平 移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h )
2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)
2
+k

2. 平移规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
y?ax2
?bx?c
沿
y
轴平移:向上（下）平移
m
个单位，
y?ax
2
?bx?c
变成
y?ax
2
?bx? c?m
（或
y?ax
2
?bx?c?m
）
⑵
y? ax
2
?bx?c
沿轴平移：向左（右）平移
m
个单位，
y ?ax
2
?bx?c
变成
y?a(x?m)
2
?b(x?m )?c
（或
y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c
）

四、二次函数
y?a
?
x?h
?
?k
与
y ?ax?bx?c
的比较
2
2
从解析式上看，
y?a
?< br>x?h
?
?k
与
y?ax?bx?c
是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者，即
2
2
b
?
4ac?b
2b4ac?b
2
?
y?a
?
x?
?
?
，其中
h??
．
，k?
2a4a
2a4a
??
五 、二次函数
y?ax?bx?c
图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c
化为顶点式
y?a(x?h)?k
，确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标，然后在
对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
22
2
2
c
?
、
c
?
关于对称轴对称的点?
2h，c
?
、以及
?
0，
y
轴的交点
?
0，
0
?
，
?
x
2
，0
?< br>（若与
x
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与
x
轴的交 点
?
x
1
，
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与

六、二次函数
y?ax?bx?c
的性质
2
y
轴的交点.
?
b4ac?b
2
?
b
，
1. 当
a ?0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x??
，顶点坐标为
?
?
?
．
2a4a
2a
??
4ac?b
2
bbb< br>当
x??
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x? ?
时，
y
随
x
的增大而增大；当
x??
时，
y
有最小值．
2a2a2a
4a
?
b4ac?b
2?
bb
，
2. 当
a?0
时，抛物线开口向下，对称轴为< br>x??
，顶点坐标为
?
?
时，
y
随
x
的增大而增大；当
?
．当
x??
2a4a
2a2a
??< br>4ac?b
2
bb
．
x??
时，
y
随x
的增大而减小；当
x??
时，
y
有最大值
2a2a< br>4a
七、二次函数解析式的表示方法
2
1. 一般式：
y?ax?b x?c
（
a
，
b
，
c
为常数，
a?0）；

2
2. 顶点式：
y?a(x?h)?k
（
a
，
h
，
k
为常数，
a?0
）；
3. 两根式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
（
a?0
，
x
1
，
x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非 所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
?4ac?0
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
a
二次函数
y?ax?bx?c
中，
a
作为二次项系数，显然
a? 0
．
⑴ 当
a?0
时，抛物线开口向上，
a
的 值越大，开口越小，反之
a
的值越小，开口越大；
⑵ 当
a?0
时，抛物线开口向下，
a
的值越小，开口越小，反之
a
的值越大，开 口越大．
总结起来，
a
决定了抛物线开口的大小和方向，
a
的正负 决定开口方向，
a
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
b

在二次项系数
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在
a?0
的前提下，
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
2
b
?0
，即抛物线的对称轴在
y
轴左侧；
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
?0
，即抛物线对称轴在
y
轴的右侧．
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴在
y
轴右侧；
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
?0
，即抛物线对称轴在
y
轴的左侧．
2a
⑵ 在
a?0
的前提下，结论刚好与上述相反，即
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
当
b?0< br>时，
?
总结起来，在
a
确定的前提下，
b
决定了抛物 线对称轴的位置．
ab
的符号的判定：对称轴
x??
总结：
3. 常数项
c

b
在
y
轴左边则
ab?0
，在
y
轴的右侧则
ab?0
，概括的说就是“左同右异”
2a< br>y
轴的交点在
x
轴上方，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当
c?0
时，抛物线与
y
轴的交点为坐标原点，即抛 物线与
y
轴交点的纵坐标为
0
；
⑶ 当
c?0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为负．
总结起来，
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置．
⑴ 当
c?0
时，抛物线与
b，c
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要
a，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利 用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，
才能使解题简 便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
x
轴交点情况）：
2< br>一元二次方程
ax?bx?c?0
是二次函数
y?ax?bx?c
当函 数值
y?0
时的特殊情况.
2
图象与
x
轴的交点个数：

① 当
??b?4ac?0
时，图象与
x
轴交于两点
A
?
x
1
，0
?
，B
?
x
2
，0
?
(x
1
?x
2
)
， 其中的
x
1
，x
2
是一元二次方程
2
b
2
?4ac
.
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的 两根．这两点间的距离
AB?x
2
?x
1
?
a
2< br>② 当
??0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
③ 当
??0
时，图象与
x
轴没有交点.
1'
当
a ?0
时，图象落在
x
轴的上方，无论
x
为任何实数，都有
y ?0
；
2'

当
a?0
时，图象落在
x
轴的下方，无论
x
为任何实数，都有
y?0
．
2. 抛物线
y?ax?bx?c
的图象与
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判 断二次函数
y?ax?bx?c
中
a
，
b
，
c的符号，或由二次函数中
a
，
b
，
c
的符号判断图象的 位置，要数形
结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对 称的点坐标，或已知与
x
轴的一个交点坐标，可由对称性求出
另一个交点坐标.
2
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母
x
的二次函数；下面以
a?0
时为例，揭示
2
2
y
轴一定相交，交点坐标为
(0
，
c)
；
二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：







图像参考：
y=2x
2
+2
y=2x
2
??0

抛物线与
x
轴有两
个交点
二次三项式的值可正、可
零、可负
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个不相等实根
??0

抛物线与
x
轴只有
一个交点
抛物线与
x
轴无交
点
一元二次方程有两个相等的实数根
??0

二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
y=2x
2
y=x
2
y=2x
2
-4
y=
x
2< br>2
y= -
x
2
2
y= -x
2
y=-2x
2

a与图像开口方向及大小的关系

图像平移

十一、函数的应用
y=2x
2
y=2(x-4)
2


y=2(x- 4)
2
-3
?
刹车距离
?
二次函数应用
?
何时获得最大利润

?
最大面积是多少
?

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出
现在选择题中，如：
已知以
x
为 自变量的二次函数
y?(m?2)x
2
?m
2
?m?2
的图 像经过原点， 则
m
的值是
2． 综合考查正比例、反比例、 一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为
选择题 ，如：
如图，如果函数
y?kx?b
的图像在第一、二、三象限内，那么函数
y?kx
2
?bx?1
的图像大致是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次 函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛 物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为
x
y=3(x+4)
2
?< br>5
，求这条抛物线的解析式。
3
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、< br>y=3x
2
y=3(x-2)
2
对称轴、二次函数的极值，有关试题< br>为解答题，如：
已知抛物线
y?ax?bx?c
（a≠0）与x轴的
两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐
2
y=-2(x+3)
2
y =-2x
2
y=-2(x-3)
2
3
标是－
2
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确
定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
为专项压轴题。 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数
y?ax?bx?c
的图像如图1，则点
M(b,
2
c
)
在（ ）
a
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下 列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；
④当y=-2时，x的 值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2

(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例 2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x
1
，0)，且1 1
<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：
①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的 一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米秒的速度 沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角
形与正方形重叠部分的面积为ym．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、
对称轴.
2
22
2
例5、已知抛物线y=
1
2
5
2
x+x-
2

．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二 次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二 次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于
A(x
1
,0)
，
B(x
2
,0)
两点
(x
1
2
?x
2
)
，交y轴负半轴于C点，
且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请 你求出M点的横坐标的取值范围；若不
存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x
1
，0)，B(x2，O)，
则 x
1
·x
2
=3<0，又∵x
1
2
，
∴x
2
>O，x
1
2
=-3x
1
．
∴x
1
·x
2
= -3x
1
=-3．∴x
1
=1.
x
1
<0，∴x
1
=-1．∴．x
2
=3．
∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6．
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，
∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．
∴符合题意的x的范围为-1当点M的横坐标满足-1∠ACO．
例7、 “已知函数
2
22

y?
1
2
x?bx?c
的图象经过点A（c，－2），
2

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨 水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？ 若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，

请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的 结论“函数图象的对称轴是x=3”当
作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以 列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函
数解析式。对于第（2）小题 ，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点 的坐标等。
[解答] （1）根据
y?
1
2
x?bx?c
的图象经过点
2
A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得
?
1
2
?
2
c?bc?c??2,
?

?
b
? ?3,
?
1
?
2?
2
?
解得
?
?
b??3,

c?2.
?
所以所求二次函数解析式为
（2） 在解析式中令y=0，得
y?
1
2
x?3x?2.
图象如图所示。
2
1
2
x?3x?2?0
，解得
x
1
?3 ?5,x
2
?3?5.

2
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的 坐标是（3+
令x=3代入解析式，得
所以抛物线
5,0)
”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是
(3?5,0).

5
y??,

2
5
1
2
x?3x?2
的顶点坐标为
(3,?),

2
2
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为
(3,?)
等等。
2
y?
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助 多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之
间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函 数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去 一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最 大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合 在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给
学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元） 15 20 30 …
y（件） 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则
?
?
15k?b?25, 解得k=-1，b=40，?即一次函数表达式为y=-x+40．
?
2k?b?20
2
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题 应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或< br>2

最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设 为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例3.你知道吗?平时我们在跳大 绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为
4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙
的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：本题考查二次函数的应用
答案：B